2023年天津市河东区中考数学二模试卷（含解析）

2023年天津市河东区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据新华社年月电，截至年底，中国铁路营业里程约为千米，将数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，从其正面看，得到的平面图形是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  估计的值在(    )

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间

7.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知点、在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  方程的根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，，分别在轴上：若，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，若点是等边的边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，则下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知抛物线为常数，的对称轴为，下列结论：：关于的方程必有两个不等的实数根；当时，则其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  因式分解的结果是______ ．

14.  计算：的结果为______ ．

15.  不透明的袋子里装有个球，其中有个黑色球和个红色球，它们除颜色外其余均相同从袋子中任意摸出一个球是黑色球的概率为______ ．

16.  若一次函数为常数的图象经过第二、三、四象限，则的值可以是______ 写出一个即可

17.  如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，圆上的点，，及线段上的点，均在格点上．
线段的长等于______ ；
圆上有一个动点，若点为线段的中点，在线段上有一点，当取得最大值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
所以原不等式组的解集为：______ ．

20.  本小题分
为提高学生的综合素养，某校准备开设四个课后兴趣小组，“摄影”、“建模”、“阅读”、“编程”，为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机调查了部分学生每人喜爱兴趣小组的个数根据统计的结果，绘制出如图的统计图和图．

请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
求被抽查的学生人数和的值；
求统计的部分学生每人喜爱兴趣小组的个数的平均数、众数和中位数．

21.  本小题分
已知，的半径为，点，，在上．

如图，若四边形是平行四边形，求的大小和的长；
如图，是的直径，为弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，若，求的长．

22.  本小题分
海河与长江、黄河、珠江、淮河、松花江、辽河并称为中国七大河流某数学兴趣小组利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的海河宽度他们先在河岸设立，两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点测得，，请你根据测得的数据，求出这段河流的宽度结果取整数参考数据：，．

 

23.  本小题分
在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境已知驻地与旅游景点、依次在同一条直线上，景点与驻地的距离为，景点与注地的距离为，游客甲从驻地出发，匀速步行了到景点；在景点停留后，匀速步行了到景点；在景点停留后，沿原路匀速步行了返回驻地给出的图象反映了这个过程中游客甲离驻地的距离与离开驻地的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
填表：

填空：
景点到景点的距离为______ ；
游客甲从景点返回驻地的速度为______ ；
当游客甲离驻地的距离为时，游客甲离开驻地的时间为______ ．
当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，为原点，中，，顶点，满足，，，，垂足为点．
如图，求点的坐标；
将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，；
如图，若，与线段分别相交于点，点与点不重合，当与重叠部分为四边形时，记该四边形的面积为，设，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
当取得最小值时，求点的坐标直接写出结果即可．

 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点．
若，，求点的坐标；
若抛物线与轴的另一个交点为，与轴交于点，点是常数，且是抛物线上一点，直线与轴交于点，连接，的面积为．
求的值；
点是线段上的动点，点关于直线的对称点为点，连接，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
计算的结果等于．
故选：．
根据有理数乘法法则，求出计算的结果即可．
此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据的正切值是解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记的正切值是是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
的值在到之间，
故选：．
直接利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数，进而得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据分式的减法法则计算．
本题考查了分式的减法，掌握减法法则是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例函数中的，
该双曲线经过第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
点，是反比例函数的图象上的两点，，
点位于第二象限，点位于第四象限，
．
故选：．
先判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限即可得到答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，过作轴，如图：

四边形是矩形，是对角线，
、、三点共线，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
点的坐标为
故选：．
连接，过作轴，先根据矩形的性质得出、、三点共线及是等边三角形，从而推出，，，然后利用勾股定理求出的长即可得出点的坐标．
本题考查了矩形的性质及特殊三角形的性质，利用已知条件求出、的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
是等边三角形，
旋转角不确定，
不确定，故A选项不正确；
，
，
的大小不确定，故B选项不正确；
是等边三角形，
，故C选项正确；
，
错误，故D选项不正确．
故选：．
根据等腰三角形的性质，旋转的性质，平行线的判定即可求解．
本题主要考查等边三角形的变换，掌握等边三角形的性质，旋转的性质，平行的判定等知识是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
对称轴为，
当时，，
，故错误；
对称轴为，
，
，，
关于的方程，，
必有两个不等的实数根，故正确；
当时，，


，故正确；
正确的有．
故选：．
根据，可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴，又对称轴为，可知当时，，即可判断；根据，得，，所以关于的方程，，即可判断；当时，，所以，即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
利用提公因式法因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握并应用因式分解的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有个球，其中有个黑色球和个红色球，它们除颜色外其余均相同，
从袋子中任意摸出一个球是黑色球的概率为．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率，比较简单．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一次函数为常数的图象经过第二、三、四象限，
，
的值可以为，
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的图象与系数的关系可知，进一步给取值即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过作交延长线于，延长交于，如图：

四边形和四边形均为正方形，
，，
，
≌，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
在中，
，
故答案为：．
过作交延长线于，延长交于，根据四边形和四边形均为正方形，可得≌，即得，，故E，，再用勾股定理可得答案．
本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题．
 

18.【答案】  即为所求，首先找圆心，连接，交网格线于点；
连接，找到的中点，
在圆上找任意一点，连接，确定中点，
连接，则在中，点，均为边，的中点，故，
根据点的轨迹为圆，则点的运动轨迹也为以点为圆心，为半径的圆，点在线段上，当取得最大值时，即连接，并延长与圆交于一点，该点即为取得最大值时点的位置，此时点在点上，故点即为所求 

【解析】解：在方格中找到以为斜边的直角三角形，
用勾股定理求解为：，
如图：点即为所求，
说明：首先找圆心，连接，交网格线于点；
连接，找到的中点，
在圆上找任意一点，连接，确定中点，
连接，则在中，点，均为边，的中点，故，
根据点的轨迹为圆，则点的运动轨迹也为以点为圆心，为半径的圆，点在线段上，当取得最大值时，即连接，并延长与圆交于一点，该点即为取得最大值时点的位置，此时点在点上，故点即为所求．
根据勾股定理计算即可求得；
根据点的轨迹为圆，则点的运动轨迹也为圆，确定点的运动的圆心，即可推得．
本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．勾股定理的应用．
 

19.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把把不等式和的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组的解集为．
故答案为：；；．
先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，根据数轴找出不等式组公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组，不等式的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
 

20.【答案】解：被抽查的学生有：人，
，
即被抽查的学生有人，的值是；
平均数为：，
众数是，
中位数是，
即统计的部分学生每人喜爱兴趣小组的个数的平均数是，众数是，中位数是． 

【解析】根据个数为的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的学生人数，再根据扇形统计图中的数据，即可计算出的值；
根据条形统计图中的数据，可以计算出统计的部分学生每人喜爱兴趣小组的个数的平均数、众数和中位数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
；
作于，连接，，
，
为弧的中点，
，
，
，
，
，
切圆于，
，
四边形是矩形，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得到，又，得到是等边三角形，因此；
由条件证明四边形是矩形，得到，由勾股定理求出，得到．
本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，关键是证明四边形是矩形，得到．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为．
在、中，
，，
，
．
，
．
．
答：这段河流的宽度约为． 

【解析】过点作，利用直角三角形的边角间关系用含的代数式分别表示出、，再根据线段的和差关系得方程，求解即可．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

23.【答案】          或 

【解析】解：由图可知，游客由驻地匀速至景点，速度为，
当游客离开驻地时，离驻地的距离为；
游客从景点到景点时的速度为，
当游客离开驻地时，离驻地的距离为；
由图可知，时，游客在景点休息，此时离驻地的距离为；
故答案为：，，；
由图可知，景点到景点的距离为；
游客甲从景点返回驻地的速度为；
，
或，
游客甲离驻地的距离为时，游客甲离开驻地的时间为或．
故答案为：；；或；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，关于的函数解析式为．
求出游客的速度，结合图象求值即可；
由图象数据求出景点到景点的距离；
游客甲从景点返回驻地的速度；
分两种情况计算即可；
根据图象分段求出函数解析式即可．
本题考查一次函数的应用，关键是从图象中读取有效信息．
 

24.【答案】解：如图，作，

，，
，
坐标，即，
，
，
，
，
，
点坐标．
，
，
，，
≌，
，
在中，，
且，
当，如图，

，，
，
，
，
，



；
当，如图，设与交于点，

，，
，
，
，
，


．
过作轴的平行线，作关于的对称点，连接，
将向右平移至位置，满足经过点时，点的横坐标是符合题意的点的横坐标，
设与交于点，
由对称得，，
轴，
，
点坐标，
点坐标．
 

【解析】作，分别求出、即可．
当，，当，，分别根据图形，用表示即可．
过作轴的平行线，作关于的对称点，连接，将向右平移至位置，满足经过点时，点的横坐标是符合题意的点的横坐标，求出点的横坐标即可．
本题考查了解直角三角形、图形的平移、线段最值等知识点的应用，准确识图、分情况讨论及辅助线的应用是解题关键．
 

25.【答案】解：，，
，
把代入得：
，
解得：，
，
顶点的坐标为；
如图：

把，代入得：
，
解得：，
，
令得，
，
把代入得：
，
，
由，可得直线解析式为，
在中，令得，
，
，
，
，
的面积为，
，
解得：，
；
的值为；
当在第一象限时，

设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，
，，
，，
，
，
直线与直线相交所成锐角为，
，
由对称可知，，，
在中，，
，
，
在中，，
解得，
，
，
；
当在第二象限，时，如图：

，
轴，
由，关于对称得：，，，
，
，
，
四边形是菱形，
由得：，
解得或，
，
，
；
综上所述：的坐标为或 

【解析】把代入得，由，即得顶点的坐标为；
把，代入可得，，把代入得，，由，可得直线解析式为，，根据的面积为，有，，故；
分两种情况：当在第一象限时，求出直线的解析式，设，根据直线与直线相交所成锐角为，可得，在中，可得，即可解得；当在第二象限，时，可得四边形是菱形，有，即可解得
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．