02、初中数学.有理数的运算.第02讲

模块一、有理数加法运算

有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

③一个数同0相加，仍得这个数.

有理数加法的运算步骤：

法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：

①确定和的符号；

②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.

有理数加法的运算律：

①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.(加法交换律)

②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

(加法结合律)

有理数加法的运算技巧：

①分数与小数均有时，应先化为统一形式.

②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.

③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.

④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.

⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

⑥符号相同的数可以先结合在一起.

【例1】  同号两数相加

某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？ 

为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：

 (1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？

 (2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？

总结：__________________________________________________.

     异号两数相加

（3）某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？

 (4)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？

 (5)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？

总结：_______________________________________________________.

【例2】计算下列各题：

  (1) (一11)+(一9)；         (2) (一3.5)+(+7)；

(3)(一1.08)+0；             (4)()+()

(5)[(-22)+(-27)]+(+27)；     (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．

【巩固】计算：（1）

【例3】小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃，调高4℃后的温度为（　　）

A、4℃    B、9℃    C、-1℃      D、-9℃

【例4】绝对值不大于10的所有整数的和等于（　　）A、-10     B、0     C、10     D、20

【例5】已知a，b，c的位置如图，化简：|a-b|+|b+c|+|c-a|= ­­­­­­______________

模块二、有理数减法运算

有理数减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数.

有理数减法的运算步骤：

①把减号变为加号（改变运算符号）

②把减数变为它的相反数（改变性质符号）

③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

有理数加减混合运算的步骤：

①把算式中的减法转化为加法；

②省略加号与括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.

【例6】 计算                          

【巩固】              ⑴      ⑵

⑶       ⑷

【例7】对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（　　）

A、-（-3+a）     B、-a       C、-|a+1|       D、-|a|-1

【例8】a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，a+b，a-b中，负数的个数是（　　）

A、1个     B、2个    C、3个    D、4个

【例9】两个数的差是负数，则这两个数一定是（　　）

 A、被减数是正数，减数是负数     B、被减数是负数，减数是正数

 C、被减数是负数，减数也是负数   D、被减数比减数小

【例10】如果a，b均为有理数，且b＜0，则a，a-b，a+b的大小关系是（　　）

A、a＜a+b＜a-b   B、a＜a-b＜a+b   C、a+b＜a＜a-b    D、a-b＜a+b＜a

模块三、有理数的乘法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.

有理数乘法运算律：

①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.  (乘法交换律)

②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.  (乘法结合律)

③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.

(乘法分配律)

有理数乘法法则的推广：

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.

②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.

③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.

【例11】下面计算正确的是（　　）

A、-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80        B、12×（-5）=-50

C、（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180               D、（-36）×（-1）=-36

【巩固】（- ）× =­­­­­­­­________     （- ）×（- ）=___________

【巩固】                ；

【例12】若两个有理数的和与积都是正数，则这两个有理数（　　）

A、都是负数    B、一正一负且正数的绝对值大    C、都是正数    D、无法确定

【例13】 、、为非零有理数，它们的积必为正数的是（    ）

A．，、同号           B．，、异号

C．，、异号           D．、、同号

【例14】 已知|x|=3，|y|=2，且x•y＜0，则x+y的值等于（　　）

A、5或-5    B、1或-1    C、5或1    D、-5或-1

【例15】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：

（1）abc＜0                （2）|a-b|+|b-c|=|a-c|
（3）（a-b）（b-c）（c-a）＞0       （4）|a|＜1-bc
其中正确的命题有（　　）A、4个B、3个C、2个D、1个

模块四、有理数的除法

有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.，()

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.

【例16】下列关于0的说法中，正确的个数是（　　）
①0既不是正数，也不是负数；②0既是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有绝对值．

A、1     B、2     C、3    D、4

【例17】-8的倒数的绝对值是（　　）A、8 B、 C、-8 D、

【例17】下列运算有错误的是（　　）

A、 ÷（-3）=3×（-3）  B、  C、8-（-2）=8+2  D、2-7=（+2）+（-7）

【巩固】计算：              

；                          ；

【例18】两个有理数的商为正，则（　　）

A、和为正      B、和为负     C、至少一个为正     D、积为正数

【例19】用“＞”或“＜”填空

⑴如果，那么 _____ 0 ；

⑵如果，那么_______0 .

模块五、有理数的乘方

求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂。

注意： 

【例20】计算：（1）    （2）

【例21】 计算：

【例22】 观察下面三行数：

、、、、、…… ①

、、、、、…… ②

、、、、、…… ③

（1）第①行按什么规律排列？

（2）第②③行与第①行分别有什么关系？

（3）取每行第10个数求这几个数的和？

模块六、有理数的混合运算

要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．

3＋50÷22×()－1              

 (－)×(－)－×(－)＋×(－)

模块七、有理数的大小比较

【例23】（2011•临沂）下列各数中，比-1小的数是（　　）

A、0     B、1    C、-2    D、2

【例24】（2005•无锡）比较的大小，结果正确的是（　　）

A、           B、

C、           D、

【例25】给出两个结论：（1）|a-b|=|b-a|，（2） ．其中（　　）

A、只有（1）正确   B、只有（2）正确   C、（1）和（2）都正确    D、（1）和（2）都不正确

【例26】a，b，c在数轴上的位置如图．则在- ，-a，c-b，c+a中，最大的一个是（　　）

A、-a       B、c-b     C、c+a     D、-

【27】若b＜0，则a+b，a，a-b的大小关系为（　　）

A、a+b＞a＞a-b     B、a-b＞a＞a+b     C、a＞a-b＞a+b     D、a-b＞a+b＞a

1.  式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（　　）

A、2+1-3+2        B、-2+1+3-2          C、2-1+3-2           D、2-1-3-2

2.  计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100=_______

3. 请你列出一个至少有加数是正整数且和为-5的算式: ­­_________

4. （2011•台湾）计算4 之值为何（　　）

A、-1.1         B、-1.8          C、-3.2         D、-3.9

5.  下列判断：①若ab=0，则a=0或b=0；②若a2=b2，则a=b；③若ac2=bc2，则a=b；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a-b）是正数．其中正确的有（　　）

A、①④         B、①②③         C、①        D、②③

6.  对于两个非零有理数a、b定义运算*如下：a*b= ，则（-3）*（- ）=（　　）

A、-3    B、      C、3     D、-

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1.  下列计算正确的是（　　）

A、         B、-32-（-2）3=1          C、6÷3× =6     D、 -（-1）2005=3

2.  下列算式中：（1）0-（-3）=-3；（2）（-2）×|-3|=-6；（3）5÷ ×5=5；（4）23=6，正确的个数有（　　）A、4个   B、3个    C、2个    D、1个

3.  已知|x|=0.19，|y|=0.99，且，则x-y的值为（　　）

A、1.18或-1.18    B、0.8或-1.18    C、0.8或-0.8    D、1.18或-0.8

4. （1）计算：-2-（-3）+（-8）+42= ______；
   （2）计算：（ ）×（-42）= ________.

5. 若a、b、c在数轴上位置如图所示，则必有（　　）

A、abc＞0     B、ab-ac＞0    C、（a+b）c＞0     D、（a-c）b＞0

5. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，a-b，ab，a3，a2b3这五个数中，正数的个数是（　　）

A、2    B、3   C、4    D、5

6.   （2009•荆门）定义a※b=a2-b，则（1※2）※3= -2_________

7.  如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为-16时，最后输出的结果y是____________12