12、初中数学.角、角平分线.第12讲

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       内容基本要求略高要求较高要求角、角分线会识别角并会表示；认识角、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示会尺规作图：作一个角等于已知角，做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系  一、角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.    (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.    (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；（2）顶点是这两条边的交点；（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 二、角的表示方法①   利用三个大写字母来表示，如图1.1． 注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．②     利用一个大写字母来表示，如图1.2．注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2.1．③   用希腊字母来表示角，如图2.2．三、单位换算1度＝60分()    1分=60秒() 四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒．把平角分成等份，每一份就是一度的角，记做．把一度的角等分，每一份叫做分的角，记做．把一分的角等分，每一份叫做秒的角，记做．角度之间的关系周角=           平角＝        直角＝周角＝平角         平角＝直角角的分类：锐角（），直角（），钝角（）． 五、两角的和、差、倍、分（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？         六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于两点；（2）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，画弧交于点；（3）过C点作射线OC。所以，射线OC就是所求作的。七、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.（3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等. 八、 方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向. 九、 钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度；分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。  一、角的概念及表示【例1】角是由有　　　的两条射线组成的图形，两条射线的　　　是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线　　　　　　　　　　．  【例2】下列语句正确的是（   ）①角的大小与边的长短无关。②如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个③如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个。④两条射线组成的图形叫做角A  ①、②     B  ①、③     C  ①、④      D  ②、③  【例3】如图，角的顶点是          ，边是           ，用三种方法表示该角分别为                    ．        【巩固】              在右图中，角的表示方法正确的是（    ）A．       B．       C．    D．  【巩固】              如图，以为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以为顶点的角呢?  【例4】下图中，以为顶点的角是_________。有一边与射线在同一条直线上的角有__________个。  【例5】判断（  ）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（  ）用倍的放大镜看的角，这个角就变成了．（  ）由两条射线组成的图形叫做角．（  ）延长一个角的两边．（  ）平角就是一条直线；周角就是一条射线．  二、角的分类【例6】下列语句正确的是（　　） A、平角就是一条直线      B、周角就是一条射线 C、小于平角的角是钝角  D、一周角等于四个直角  【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（　　） A、4个  B、5个 C、6个  D、7个  【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（　　） A、4个  B、7个 C、9个  D、10个  【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（　　） A、10个  B、15个    C、20个  D、25个  【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（　　）个，钝角至少有（　　）个． A、4，3  B、3，2 C、6，3  D、4，2  三、角度的换算及运算【例11】（1）（2）  【巩固】          （1）；（2）；（3）；（4）．  【例12】（1）。（2）  【巩固】              （1）；        （2）；（3） ；（4）；（5）；       （6） （7）；          （8）   【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（     ）个A．4个    B．7个     C．11个      D．16个  【例14】如右图，是直线，，求的度数．  四、余角和补角【例15】如图，于，，平分，则图中与互余的角有______个；互补的角有_________对；  【巩固】               如图，是直线上的一点，，，平分，则图中彼此互补的角共有______对．  【例16】如下图，，，在一条直线上，是锐角，则的余角是（   ）A．                    B．C．                   D．  【例17】一个角和它的余角的比是，则这个角的补角是        【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．  【例19】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数．  【巩固】               一个角与角之和的等于角的余角，求．  【巩固】               已知的余角是的补角的，并且，试求的度数．  【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半。  五、角平分线【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．　　（填“正确”或“错误”）  【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（　　） A、35°  B、55° C、70°  D、110°  【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（　　） A、40°  B、50° C、80°  D、100°  【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（　　） A、80°  B、90° C、100°  D、70°  【例25】如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC的度数为（　　） A、68°  B、112° C、121°  D、136°         【例26】下列说法正确的是（　　） A、两点之间直线最短  B、用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C、将一个角分成两个角的射线叫角的平分线  D、直线l经过点A，那么点A在直线l上六、方位角【例27】下面图形中，表示北偏东的是（    ）            【巩固】               下列说法不正确的是（     ）  A．方向是北偏东                    B．方向是北偏西  C．方向是南偏西  D．方向是东南方向  【例28】如图，平面内有两点（1）分别画出点处北偏东的方向和点处北偏西的方向．（2）点位于的什么方向（精确到）  【例29】如图，、、、是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点的位置）建立了位置指示图，直线相交于，，请按要求完成下列问题：①若在图上测得，，，则可知场馆的位置是北偏西，据中心，可简记为（，北偏西）．据此方法，场馆的位置可简记为（_________，________）．②可求得________；③在现有的图形中（不增加新的字母），与_____________是互补的角．  七、共定点角的相关计算【例30】如图，在直线上取一点，在同侧引射线，，，使和互余，射线和分别平分和，求证：．  【巩固】              如图，直线，相交于点，作，平分，若，求．  【例31】如图所示，，是内部的任意一条射线，若平分，平分，试求的度数．        【例32】如图，是一个平角，求的度数．   【例33】已知：如图，是外的一条射线，平分．平分．①若，，  问：②若，求的度数并说明理由．        【例34】为外的一个锐角，射线、分别平分、．（1），，求的度数；（2），，求的度数；（3），，还能否求出的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？       【例35】已知：、、是从点引出的三条射线，，求.     【巩固】               已知一条射线，若从点再引两条射线与，使，，求的度数.     【例36】已知都是钝角，计算，正确的结果只可能是（     ）A．     B．     C．       D．  【巩固】、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求的值．      【例37】在同一平面内有射线平分，的3倍比的2倍多，，求的度数.         【例38】以的顶点为端点引射线，使得，且，均小于，若，求的度数.             八、钟表角度问题【例39】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（　　） A、30  B、60° C、90°  D、120°   【例40】下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（　　） A、90°  B、105° C、120°  D、135°   【例41】由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（　　） A、30°  B、45° C、60°  D、90°     【例42】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？     【例43】钟表在12点钟时三针重合，经过分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则的值是多少?            一个角的补角和它的余角的倍的和等于周角的，求这个角．  下列图形中，表示南偏西的是（    ）                     下列说法中，正确的是（　　）   A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线  B、两个锐角的和为钝角   C、相等的角互为余角  D、钝角的补角一定是锐角 一个角的余角的倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数．  已知一个角的补角等于这个角余角的倍，那么这个角等于多少？    如图，平分，平分，若，，求的小．