2023届辽宁省葫芦岛市普通高中高三二模数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省葫芦岛市普通高中高三二模数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先化简两个集合,再利用交集运算求解答案.
【详解】因为,所以，
所以.
故选：C.
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出复数，再求出其共轭并代入计算作答.
【详解】由，得，则，，
所以.
故选：D
3．游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化
B．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱
C．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差
D．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值
【答案】D
【分析】根据走势图，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：由走势图可得，青少年上网打《王者荣耀》的人数没有周期性变换，故A错误；
对于B：从2月开始，青少年上网打《王者荣耀》的人数上升，故B错误；
对于C：去年10月份波动较大，方差大，去年11月波动较小，方差小，故去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误，
对于D：由走势图可得，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正确；
故选：D
4．函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据特殊点处函数值的正负即可排除求解.
【详解】由于函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，故图象关于轴对称，
且，故此时可排除AD,当时，，
因此排除C，
故选：B
5．的展开式中的系数为（ ）
A．-336B．-28C．56D．112
【答案】A
【分析】将多项式按第一项展开，再将各项通过二项式定理拼成形式，计算出结果.
【详解】，
展开式的通项公式为，
将含项记为，则，
故含项的系数为-336，
故选：A.
6．若，则的最小值是 （ ）
A．B．1
C．2D．
【答案】C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
7．设F1，F2是双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，先得到，，的长再分别在和中，利用余弦定理求得，建立等式求解.
【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
则，，
，
在中，，
在中，，
，即，
所以
故选：A ．
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】变形给定的不等式，构造函数并探讨单调性，借助单调性可得，再逐项判断作答.
【详解】不等式，令函数，
因为函数在R上都是增函数，因此函数是R上的增函数，
又，于是，即，
则，从而，A正确，B错误；
给定条件不能比较与1的大小，当时，，CD错误.
故选：A
二、多选题
9．过四点中的三点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项.
【详解】对于A，点在圆上，故A正确；
对于B，点在圆上，故B正确；
对于C，点都不在圆上，故C错误；
对于D，点都不在圆上，故D错误；
故选：AB.
10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是；
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则；
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.
【答案】AD
【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，根据二项分布的期望公式可判断C，根据条件概率的计算可判断C，根据对立重复事件的概率可求D.
【详解】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是,故A正确，
对于B, 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即，故B错误，
对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为，故C错误，
对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为，没有取到白球的概率为，
所以取球3次没有取到白球的概率为，
.所以至少有一次取到白球的概率为，故D正确，
故选：AD
三、单选题
11．已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】C
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：C.
四、多选题
12．已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（ ）
A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是
C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是
【答案】BD
【分析】根据给定条件，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出点的坐标，逐项分析点的轨迹并推理计算、判断作答.
【详解】因为，即有，则以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立平面直角坐标系，

则，由，得，
点确定的直线方程为：，即，
当点在直线上时，，即，，
因此当时，取得最大值，此时，，A错误；
在上的投影的数量，
当时，，当时，，当且仅当时取等号，即，
当时，，因为恒成立，则，
所以，即在上的投影的数量的取值范围是，B正确；
当点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上时，因为与直线AB相切，
且半径为的圆的圆心轨迹是与直线平行，到直线距离为的两条平行直线，
设这两条与平行的直线方程为，则，解得或，
因此动圆圆心的轨迹为直线或直线，
设圆心为，则点在圆上，其中或，
于是令，
，显然点是直线或上任意一点，
即，从而无最大值，即无最大值，C错误；
，其中锐角满足，
显然，当圆心在直线时，，则，
当圆心在直线时，，则，
所以的范围是，D正确.
故选：BD
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
五、双空题
13．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）：
如果甲乙只有1人能入选，则入选的最佳人选应是________；理由是________.
【答案】 甲 甲乙平均水平一样，但甲的方差更小些，说明甲发挥更稳定
【分析】根据数据计算两人射击成绩的平均数和方差，比较可得结论.
【详解】甲的平均环数为：，
方差为：；
乙的平均环数为：，
方差为：；
因为两人的平均水平一样，但甲的方差更小些，说明甲发挥更稳定.
故答案为：甲；甲乙平均水平一样，但甲的方差更小些，说明甲发挥更稳定
六、填空题
14．如图（1）所示，已知点B在抛物线上，过B作轴于点A，且．将曲边三角形如图（2）所示放置，并将曲边三角形沿平面的垂线方向平移一个单位长度（即），得到相应的几何体．取一个底面面积为高为a的正四棱锥放在平面上如图（3）所示，这时，平面平面，现用平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为矩形，四边形，截面与平面的距离为（），试用祖暅原理求曲边三角形的面积________．

【答案】/
【分析】根据给定的条件，结合图形探讨矩形与四边形的面积始终相等，再借助祖暅原理求解作答.
【详解】依题意，在图（2）中，当时，，而，
则矩形的面积，
在正四棱锥中，截面四边形为正方形，其中心为，令正方形的中心为，
则点共线，连接，，如图，

平面平面，平面平面，平面平面，
因此，有，于是，
而，则，由祖暅原理知，
而几何体可视为以曲边三角形为底面，高为的柱体，其体积，
所以曲边三角形的面积.
故答案为：
15．已知函数，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【分析】分析函数的性质，借助函数单调性和代入求解不等式作答.
【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，是增函数，且，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当，即时，恒有成立，则，
当时，，不等式化为，解得，则，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．已知函数，则的最大值是________．
【答案】
【分析】利用导函数分析单调性求最值即可.
【详解】因为，
所以
.
当时，，
所以在单调递增；
当时，，
所以在单调递减；
所以.
故答案为：.
七、解答题
17．在中，角的对边分别是，从下列条件中任选一个补充到题中解决题.条件：①：; ②：; ③：.
(1)求的值;
(2)， 求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别根据选择条件应用二倍角及正弦定理余弦定理求解即可；
（2）根据二倍角公式化简解析式，再根据角的范围求出值域即得.
【详解】（1）选①：由得，
解得：或，
，，
所以.
选②：由得，
又，代入整理得，
又在中，所以，
又 ，，故.
选③：由得，，
即，，所以.
（2）由题意
，
所以，
由（1）可知， 所以.
于是有
故.
18．已知{an}是各项为正数的等比数列，{bn}为公差是2a1的等差数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)若an>bn，求n的取值范围;
(2)若a1=1，求集合中元素的个数.
【答案】(1)n≥4且n∈N*
(2)4
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再写出通项公式解不等式即可；
（2）写出通项公式，求出范围内的元素个数可得.
【详解】（1）依题意，设等比数列{a}的公比为q，且，
由a2-b2=a3-b3，得a1q-b1-2a1=a1q2-b1-4a1，
整理化简得：q2-q-2=0，解得：q=2或（舍去），所以a1q-1=2n-1a1.
由a2-b2=b4-a4，可得a1q-b1-2a1=b1+6a1-a1q3.
将q=2代入整理可得a1=b1，.
由a得：，
解得：n≥4且n∈N*.
（2）因为a1=1，由（1）知q=2，a2n-1，
由，可得22k-1=lg22m-1，
整理得22k-1=m-1.
∵4≤m≤800且m∈Z，∴3≤m-1≤799.
∴3≤22k-1≤799，2≤k≤5，k∈Z.
又k∈Z，故集合中元素的个数为4.
19．某科研所为了研究土豆膨大素对土豆产量的影响，在某大型土豆种植基地随机抽取了10亩土质相同的地块，以每亩为单位分别统计了在土豆快速生长期使用的膨大素剂量xi（单位：g），以及相应的产量yi（单位：t），数据如下表：
并计算得，，.
(1)估计该试验田平均每亩使用膨大素的剂量与平均每亩的土豆产量;
(2)求该试验田平均每亩使用膨大素的剂量与土豆产量的样本相关系数（精确到0.01）;
(3)现统计了该大型土豆种植基地所有地块（每块1亩）的膨大素使用剂量，并计算得总使用剂量为1080g. 已知土豆的产量与其使用膨大素的剂量近似成正比.利用以上数据估计该基地土豆的产量.
附: 相关系数r=，.
【答案】(1)平均每亩使用膨大素的剂量12g，平均每亩的土豆产量为3.9t；
(2)0.97；
(3)351吨.
【分析】（1）根据给定的数表，求出作答.
（2）利用给定的数据，结合相关系数公式计算作答.
（3）利用（1）的结论，列式计算作答.
【详解】（1）依题意，，
，
所以该试验田平均每亩使用膨大素的剂量12g，平均每亩的土豆产量为3.9t.
（2）依题意，所求样本相关系数
.
（3）由已知及（1），得该基地的土豆产量的估计值为吨.
20．在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.

(1)求证：平面
(2)确定在线段上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为，若存在，求出的值;若不存，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，或0.
【详解】（1）因为侧面为菱形，，则是等边三角形，取中点O，连接，于是有，
又平面⊥平面，且平面，平面∩平面，于是⊥平面，
又平面，即有，
又，且，因此平面，而平面，则，
由四边形为菱形，得，又平面，，
所以平面.
（2）由（1）可知，，平面，且平面，有，

取中点D，连结，有，，
以O为原点，为空间正交基底建立直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，则，令z=1，得，
令，则，，
依题意，，
整理得，，解得或，
所以存在满足条件的点P，的值或0.
21．已知直线l1: 过椭圆C: 的左焦点，且与抛物线M: 相切.
(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;
(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）由直线l1过椭圆C的左焦点，求出得出椭圆方程，利用直线l1与抛物线M相切，联立两个方程，通过判别式为零进行求解；
（2）分成直线l2斜率存在与不存在两种情况进行讨论，斜率存在时可设直线方程，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示两点坐标，利用进行求解.
【详解】（1）由，得，
因为直线与抛物线只有1个公共点，
所以，解得，
故抛物线的方程为.
由直线过椭圆C的左焦点得得
所以，，3，
所以椭圆C的方程为.
（2）如图1，
设，，
当直线l2斜率存在时，可设直线方程：
由得，
所以，
，.
所以，
，
直线的方程为，同理可得，直线的方程为，
令得，，，
假设椭圆C上存在点，恒有.
则
即，
即，
即，
令，可得或.
由于点不在椭圆C上，点在椭圆上，
所以椭圆C上存在点，使恒成立
如图2，当直线斜率不存在时，直线过抛物线的右焦点，
则直线方程为，与抛物线交于，，
则直线OA方程为：，直线OB方程为：，
椭圆的过右顶点的切线方程为，切线方程与直线OA交于，与直线OB交于，由上面斜率存在可知恒过，经验证满足，
所以当斜率不存在时候也满足以MN为直径的圆恒过定点.

22．已知函数， 且.
(1)求a；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令且，讨论、研究单调性，求其最小值，结合恒成立，利用导数研究恒成立求参数即可；
（2）利用导数研究的单调性、极值情况，依据单调性证极大值的范围.
【详解】（1）由恒成立，
令且，
①当时，（舍）；
②当时， ，
在上，递减，在上，递增，
令，，
在上，递增，在上，递减，
所以，则.
（2）由（1）知：，所以，则，
令，则，
在上，则递减，在上，则递增，
，，
有两个根，图象如下，

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴存在唯一极大值为，又，
所以，
令，在上，故单调递增.
，故，且为极大值，
所以，
，
所以.
【点睛】关键点点睛：第一问，讨论参数并应用导数研究且最小值，根据不等式恒成立确定参数值；第二问，导数研究极值点分布，进而证极大值的范围.
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
膨大素用量xi
8
12
8
16
16
10
10
14
14
12
亩产量yi
2.5
4
2.2
5.4
5.1
3.4
3.6
4.6
4.2
4