2023届山东省高三下学期二模考前适应性练习（一）数学试题含解析

这是一份2023届山东省高三下学期二模考前适应性练习（一）数学试题含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省2023届高三下学期二模考前适应性练习（一）数学试题一、单选题1．已知集合，，且，则的所有取值组成的集合为（    ）A． B． C． D．2．已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（    ）A．－ B． C．－ D．3．济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（    ）A． B． C． D．4．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（    ）．A． B． C． D．5．圆的公切线的条数为 A．4 B．3 C．2 D．16．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种7．已知的三个内角A，B，C满足，则（    ）A．是锐角三角形 B．角的最大值为C．角的最大值为 D．8．已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（    ）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关10．已知函数，则（    ）A．在上的最小值是B．的最小正周期是C．直线是图象的对称轴D．直线与的图象恰有个公共点11．已知，，则可能等于（    ）A． B． C． D．12．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（    ）A．的一个方向向量为B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为C．与直线垂直D．与直线平行 三、填空题13．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.14．已知正方体的棱长为1，若M、N、P、Q分别为、、、DC的中点，则直线MN与直线PQ之间的距离为______．15．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为______．16．已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求边上的高.18．已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.(1)求；(2)求.19．在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE.(1)求证：；(2)若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.20．改革开放以来，我国经济持续高速增长.如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为：产业差值)的折线图，记产业差值为(单位：万亿元).注：年份代码1-10分别对应年份2010-2019.（1）求出关于年份代码的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2010-2019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；（3）结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1).附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.样本方差公式：.参考数据：，，.21．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．(1)求双曲线的方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．22．设函数，，其中为实数.(1)若在处的切线方程为，求实数的值；(2)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
参考答案：1．D【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解.【详解】因为，所以，所以，若，则或，经检验均满足题意，若，则或，经检验满足题意，与互异性矛盾，综上的所有取值为：，0,2，故选:D.2．B【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数∴有：b＝0，且a－1＝－2a∴a＝∴a＋b＝故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值3．A【分析】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，表示出，由求出，再进一步求出，即可求出答案.【详解】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故选：A.4．A【分析】利用坐标法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，∴，∴，即异面直线EF与所成角的余弦值为.故选：A.5．A【分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线．【详解】 ∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线．故选A．【点睛】本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题．6．A【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，故不同的安排方法共有 种；故选：A.7．D【分析】由正弦定理化边为角可得，即可判断A；再由余弦定理结合基本不等式可判断B；化简可得，取特例即可判断C；根据得出即可得出.【详解】由得，则，所以是钝角三角形，故A不正确；由得，则，整理得，所以，当且仅当等号成立，∴，故B不正确；由得，化简可得，则，因为为钝角，所以为锐角，取，得，，符合题意，即可以取大于的值，故C错误；由得，，，所以，即，结合正弦定理可得，故D正确.故选：D.8．A【分析】利用奇函数得到，再判断，利用二次求导判断在上单调递增，从而可判断.【详解】因为，所以在上是奇函数.所以对求导得，令，则当时，，所以在上单调递增，则时，，即，所以在上单调递增.因为，所以，因为在上单调递增，所以.令，则所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以，而，即，所以，即.所以，即，则所以所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：构造函数，判断.9．AC【分析】根据条形图提供的数据判断．【详解】解：由条形图可知，五年基础研究经费随年份的增长而增长，呈线性相关，故选项A正确；由折线图可知，从2018～2019，2019～2020的折线的斜率反生变化，故年增长率发生变化，故选项B错误；由条形图对应的斜率以及折线图对应的斜率可知，基础研究经费支出的增长率大于发明专专利授权数的增长率，故选项C正确；由统计图可知，发明专利授权数与基础研究经费支出呈正相关，故选项D错误．故选：AC．10．ACD【分析】利用正弦型函数的最值可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用函数的对称性可判断C选项的正误；利用图象法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，，且，则当时，函数取最小值，即，A选项正确；对于B选项，，，，则，故函数的最小正周期不是，B选项错误；对于C选项，若为奇数，则；若为偶数，则.由上可知，当时，，所以，直线是图象的对称轴，C选项正确；对于D选项，，所以，为函数的周期.当时，；当时，.综上可知，.当时，，，即函数与在上的图象无交点；当时，，，所以，函数与在上的图象也无交点.作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数在上的图象有两个交点，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求函数在区间上最值的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的最值.11．BD【分析】由诱导公式，即，再结合范围求解即可.【详解】解：因为，所以由得，所以，因为所以可能等于或故选：BD12．AC【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线重合，D错误；，因此是直线的一个方向向量，A正确；在直线方程中令得，令得，直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；由于，C正确故选：AC13．112【分析】由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．【分析】根据给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两直线的距离作答.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，显然，而点P不在直线MN上，则有，因此，直线MN与直线PQ之间的距离即为点P到直线MN的距离，而，所以直线MN与直线PQ之间的距离.故答案为：15．【分析】首先利用正弦定理求出底面外接圆的半径，设正三棱柱外接球的半径为，则，最后根据球的表面积公式计算可得；【详解】解：因为正三棱柱的底面边长，侧棱长，所以底面外接圆的半径，设正三棱柱外接球的半径为，则，所以外接球的表面积；故答案为：16．【解析】根据题意，求导，令 ，求出极值点，，分类讨论求出的单调性，由于存在，使得成立，转化成在，成立即可，通过导数得到的单调性判断极值，进而求出最值，即可得出实数的取值范围.【详解】解：由，得，令： ，即：，解得：，，（1）当时， ，则或，，则，即：，时，为增函数，时，为减函数，由于存在，使得成立，则要求，成立即可，且，，，，，已知时，， ，①当时，只需，则： ，解得：或解得：；②当时，只需或即可，即或，解得：或，（2）当时， ，，时，为增函数，，时，为减函数，则此时，所以存在，使得成立，解得：.综上得：实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的存在性问题，通过导数判断函数的额单调性、极值、最值，考查分类讨论思想和综合分析能力.17．(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理,得，再结合余弦定理求解即可；（2）根据条件求出，再利用等面积法求解即可.【详解】（1），故，整理得，故，又，故．（2），即，解得或（舍去），由，解得.18．(1)，(2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，解之即可求出首项和公差，进而即可求解；（2）结合（1）的结论求出，然后利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为d，，，即整理得，解得，或（舍）所以故，（2）由（1）知，，所以，所以，则，.19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先通过面面平行的判断证明平面平面，再由面面平行的性质证明，即是中位线，由此得到是的中点；（2）设，通过勾股定理计算将到的距离和到平面的距离用表示，根据二面角的正弦值列方程求出，再代入体积公式计算即可.【详解】（1）如图，连接，，因为为母线，所以,又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.又因为平面平面，平面平面，所以，因为是的中点，所以是的中点，即.（2）如下图，作，，.设到的距离为，则到的距离为.设，则有，，，，，因为，所以.因为平面，所以到平面的距离即是到平面的距离，即.所以，解得.所以.20．（1）；（2）2010-2019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，预测我国产业差值在2029约为34万亿元；（3）平均值为，方差为．【分析】求出回归系数，求出回归方程即可；根据的值，即可分析变化情况，令即可求解；结合折线图求出平均值和方差即可．【详解】解：（1）由题意可得，，，，所以，故，所以回归直线为；（2）由（1）值，，故2010-2019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，令，解得，故预测我国产业差值在2029约为34万亿元；（3）结合折线图，2014年产业差值为10.8万亿元，除去2014年(时)产业差值外的9年的产业差值的平均值为，又，故除去2014年(时)产业差值外的9年的产业差值的方差为．21．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设,通过,求解,通过在圆上,求解,得到双曲线的标准方程.（2）当动直线的斜率不存在时,求解三角形的面积;当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,联立直线与双曲线方程,求出,然后求解的坐标,求解,结合原点到直线的距离,求解的面积是为定值即可.【详解】（1）不妨设 , 因为,从而 故由 , 又因为, 所以 ,又因为 在圆 上, 所以 所以双曲线的标准方程为：（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,当动直线的斜率不存在时, ,，,当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 , 故由 依题意，且, 化简得 ,故由 , 同理可求,,所以又因为原点到直线的距离,所以,又由所以,故的面积是为定值,定值为22．(1)(2)2，答案见解析 【分析】（1）求出函数导数，由题可得可求解；（2）由题可得，的零点个数等价于和的交点个数，利用导数求出的变化情况，画出函数图象，数形结合可得.(1)由题，因为切线方程为，即切线斜率为，，∴.(2)由题在上恒成立，∴在上恒成立，∴，由得，令，则的零点个数等价于和的交点个数，则，当时，，递增，当时，，递减，∴时，最大值为，又时，；时，，据此作出的大致图象，由图知：当或时，的零点有1个；当时，的零点有2个.