2023届天津市河西区高三三模数学试题含解析

2023届天津市河西区高三三模数学试题

一、单选题

1．已知集合,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合,进而求得,由,求出即可.

【详解】解:因为或,

所以,又有,

所以.

故选:C

2．不等式“”成立，是不等式“”成立的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分、必要条件的定义判断.

【详解】由，但，所以由“”不能推出“”；

又，但，所以由“”不能推出“”，

即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.

故选：D

3．函数在区间的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.

故选：A.

4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程的约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（    ）

A．56万元 B．57万元 C．58万元 D．59万元

【答案】B

【分析】首先求出，然后利用样本中心点在回归方程上即可求出，然后将代入回归方程即可求解.

【详解】，所以，，则，

所以时，，所以销售额约为57.

故选：B

5．设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

6．若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．

【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．

所以外接球的表面积为：．

故选：C

【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．

7．已知，，则（    ）

A． B． C．25 D．5

【答案】A

【分析】由指对互换，表示出，代入原式即可.

【详解】由， .

故选：A.

8．已知双曲线：的左右焦点分别为、，且抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设双曲线焦点，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点做，垂足为，根据题意有，可得轴，进而将用表示，结合双曲线定义，即可求解.

【详解】设双曲线焦点，则抛物线的准线方程为，

过做，垂足为，则，

，

，

又点在双曲线上，，

.

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线和抛物线的性质，应用曲线的定义是解题关键，注意几何方法的合理运用，属于中档题.

9．已知函数，则下列结论中正确个数为（    ）

①著对于任意，都有成立，则

②若对于任意，都有成立，则

③当时，在上单调递增，则的取值范围为

④当时，若对任意的，函数在至少有两个零点，则的取值范围为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】①结合三角函数的值域来处理恒成立问题；

②根据题干可得到函数的周期，结合三角函数的最小正周期和周期的关系进行判断；

③根据三角函数的单调性进行求解；

④由于的任意性，类比至少一个周期才保证至少有两个零点.

【详解】对于①，若恒成立，只需要，根据正弦函数的值域可知，只需要，则，①正确；

对于②，说明周期是，但不能说明最小正周期是，最小正周期的倍数是均符合题意，例如最小正周期是，此时，显然也成立，②错误；

对于③，时，当，，根据正弦函数在上单调递增可知，，解得，③正确；

对于④，时，，当，，若，有两个零点，则中至少包含一个完整的周期，即，得到，④正确.综上所述故有3项正确.

故选：C

二、填空题

10．已知是虚数单位，若复数满足，则__________.

【答案】

【分析】先根据复数的除法算出，然后用模长公式进行求解.

【详解】由题意，，于是.

故答案为：

11．若直线是圆的一条对称轴，则__________.

【答案】/0.5

【分析】由已知，直线过圆心即可求解.

【详解】由题，直线过圆心，将代入直线方程得，解得：.

故答案为：.

12．在的展开式中，则的系数为________.

【答案】240

【分析】写出二项展开式的通项公式，令的幂指数为，求出通项中的即可求解.

【详解】依题意可得，的展开式的通项为

，

令，解得，

故项的系数为.

故答案为：240

【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；正确写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.

13．设a、b是正实数，且，则的最小值是_________．

【答案】

【分析】将所求式子变为，整理为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.

【详解】

是正实数        

当且仅当，即时取等号

本题正确结果：

【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是构造出符合基本不等式的形式，从而得到结果，属于常规题型.

三、双空题

14．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．

【答案】     ，     /

【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.

【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，

由已知可得的取值有1，2，3，4，

，，

，

    所以,

故答案为：，.

15．在平面四边形中，，，若，则_____；若为边上一动点，当取最小值时，则的值为_____．

【答案】         

【分析】根据题意可知是等边三角形，是有一个内角为60°的直角三角形，又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．

【详解】解：∵平面四边形中，，，

∴是边长为2的等边三角，

在中，，所以，

又，

∴是边的四等分点．

如图建立坐标系：则：，

，

所以

，

再设，则，

∴，

显然时，最小，此时，

∴．

故答案为：，．

【点睛】本题考查平面向量在几何问题中的应用，涉及向量的数量积和向量夹角的余弦值，通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法，同时考查学生的转化思想和数形结合思想.

四、解答题

16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.

(1)求的值；

(2)若，

（i）求的值；

（ⅱ）求的值.

【答案】(1)

(2)（i）；（ⅱ）

【分析】（1）根据题意利用正弦定理运算求解；

（2）（i）利用余弦定理运算求解；（ⅱ）根据三角恒等变换运算求解.

【详解】（1）由，且C是三角形的内角，则，

因为，由正弦定理得，

所以.

（2）（i）由余弦定理得，

即，解得或.

（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，

所以，

，

所以.

17．已知直三棱柱中，，，，E为的中点，F为CD的中点.

(1)求证：//平面ABC；

(2)求平面CED与平面夹角的余弦值；

(3)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直平面的法向量即可；

（2）利用空间向量求出两个平面的法向量，然后用夹角公式计算；

（3）利用点到面距离的向量的公式计算.

【详解】（1）  

在直三棱柱中，平面，且，

以点B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

则，，，，.

易知平面ABC的一个法向量为，则，故，又因为平面，故//平面

（2），

设平面CED的法向量为，则，

不妨设，因为，

设平面CED的法向量为，则，不妨设

则

因此，平面CED与平面夹角的余弦值为.

（3）因为，根据点到平面的距离公式，

则

即点到平面CED的距离为.

18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为，原点到直线的距离是．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知直线与椭圆相切，切点在第二象限，过点作直线的垂线，交椭圆于，两点（点在第二象限），直线交轴于点，若，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出直线的方程，由原点到直线的距离是，列方程解出，进而求出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，令，解出和切点的坐标；由已知，直线的方程为，与椭圆方程联立，可得的坐标；由于与的面积相等，且，可得，结合列方程，求出，得到直线的方程．

【详解】（1）因为点，且直线的倾斜角为，

所以直线的方程为，所以，即

又原点到直线的距离是，

所以，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为，

设直线的方程为，则直线的方程为．

联立，消去，化简得．

因为直线与椭圆相切，所以，即，

化简得，且切点为．

联立，消去，得，解得，

所以，．

因为为的中点，所以与的面积相等，

又，所以，

所以，即．

所以，即．

又，所以，解得．

因为，，所以，，

故直线的方程为．

19．设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，.

（1）求和的通项公式;

（2）设数列的通项公式.

（i）求数列的前项和；

（ii）求.

【答案】（1），；（2）（i）；（ii）

【分析】（1）因为，是和的等比中项，根据等比中项可求得，再根据等差数列的通项公式求出，利用与的关系，证出是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项公式；

（2）根据（1）中和的通项公式，列出数列的通项公式，利用分组求和法，分成奇数组和偶数组，即可求出数列的前项和；

将分为奇数和偶数两种情况，当为奇数时，设，运用裂项相消法化简求出结果；当为偶数时，设，运用错位相减法求出结果；分别求解出后，相加求得的值即可．

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，

因为，是和的等比中项，

所以，即，

解得，因为是各项均为正数的等差数列，

所以，

故，

因为，所以，

两式相减得：，

当时，，，

是以2为首项，2为公比的等比数列，

.

（2）（i）解：，

所以

.

（ii）解：当为奇数时，

设

，

当为偶数时，

设，

，

所以，

故，

所以.

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式，以及运用分组求和法、裂项相消法和错位相减法求和，属于中档题．

20．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

(3)证明：对任意的，有．

【答案】(1)

(2)在上单调递增.

(3)证明见解析

【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.

【详解】（1）解：因为，所以，

即切点坐标为，

又，

∴切线斜率

∴切线方程为：

（2）解：因为，    

所以，

令，

则，

∴在上单调递增，

∴

∴在上恒成立，

∴在上单调递增.

（3）解：原不等式等价于，

令，，

即证，

∵，

，

由（2）知在上单调递增，

∴，

∴

∴在上单调递增，又因为，

∴，所以命题得证.