2023届北京市第一〇一中学高三三模统考（四）数学试题含解析

2023届北京市第一〇一中学高三三模统考（四）数学试题

一、单选题

1．已知集合，．若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【分析】根据并集结果可知，进而可构造不等式，解不等式求得结果.

【详解】解：，    

 ，且

，，，解得：且

的取值范围为且

故选：D

2．如果复数为纯虚数，那么实数的值为.

A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2

【答案】A

【详解】试题分析：由题意得

【解析】复数相关概念

3．设为数列的前n项和．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】为数列的前n项和，且，

当时，，，，，则，

当时，有，，，则，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．若抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（　　）

（参考数据：）

A．6次 B．7次 C．8次 D．9次

【答案】C

【分析】由题意可得抽取次后容器内的空气为，然后解出不等式即可.

【详解】由题意可得抽取次后容器内的空气为

由可得

所以要使容器内的空气少于原来的0.1%，至少要抽8次

故选：C

5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】根据空间中线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分析判断，即可得出结果.

【详解】由是两条不同的直线，是两个不同的平面，

若，则与可能相交、平行或，A错；

若，则或，B错；

若，则或相交，C错；

若，则确定一个平面，设为，

又，所以，

则由面面平行的判定定理得，D正确.

故选：D

6．某物体做直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式，那么该物体在s时的瞬时速度是（    ）

A．2m/s B．4m/s C．7m/s D．12m/s

【答案】D

【解析】对求导，将代入导函数，可求出答案.

【详解】对求导，得，

当时，（m/s），

所以物体在s时的瞬时速度是12m/s.

故选：D.

【点睛】本题考查瞬时速度，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．

7．直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为(　　)

A．3或－1 B．0或3 C．0或－1 D．－1或0或3

【答案】C

【解析】两直线无公共点，即两直线平行,先按照和分两种情况讨论，再按照和分两种情况讨论，即可得到答案.

【详解】两直线无公共点，即两直线平行．

当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；

当a≠0时，由－＝－，解得a＝3或a＝－1.

若a＝3，这两条直线分别为x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；

若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．

综上，a＝0或a＝－1.

故选：C

【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了两条直线平行的条件，属于基础题.

8．已知点.若点在函数的图象上，记的面积为，则使得的点的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】先求出直线AB的方程，然后利用点到直线距离求出，解方程即可判断点的个数.

【详解】因为，所以直线AB：即，

则点到直线AB：的距离为，

又，

所以，

则，由题意，

所以，即，所以或，

即或，解得或或，

故使得的点有3个.

故选：B

9．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是

A．48 B．72 C．84 D．168

【答案】D

【解析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得.

【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有种

第二步：分三类

①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查

另2名理科生所在的班级，有种

②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生

互查所在的班级，有种

③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去

检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有种

根据分步分类技术原理可得，共有不同的安排方法

故选：D

【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.

10．函数，则（    ）

A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数

C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数

【答案】B

【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.

【详解】的定义域为，

对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；

对B：若，，

，故为偶函数，B正确；

对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；

对D：若，，

若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；

故选：B

二、填空题

11．函数的图像沿向量平移后得到函数的图像，则在上的最大值为__________.

【答案】0

【分析】先根据向量平移得出函数解析式，再求余弦函数的最值即可.

【详解】函数的图像沿向量平移后得到函数的图像,

则函数的图像沿向量平移后得到,

,

,

,

当.

故答案为:0.

12．若，则__________(用数字作答)．

【答案】-80

【详解】分析：由题意可得，是展开式的第四项的系数，即为的系数，由此求得结果.

解析：，

则.

故答案为：-80.

点睛：解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件．使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r＋1项，而不是第r项；②通项公式中a和b的位置不能颠倒．

13．已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________．

【答案】34

【分析】由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长.

【详解】因为，所以，

故，则，

又，故，则，，

所以的周长为.

故答案为：34.

三、双空题

14．已知菱形的边长为，，（）．当时，________；当取得最小值时，________．

【答案】         

【分析】当时，，根据向量的三角形法则和数量积的运算法则计算可得的值；而，再根据二次函数的性质可得出当取得最小值时的值.

【详解】当时，，

；

，

所以

所以当时，取得最小值，最小值为.

故答案为：；.

【点睛】关键点睛：对于第二空，可由平面向量数量积的运算法则得出，从而利用二次函数的性质解决问题.

四、填空题

15．已知平面直角坐标系中的点集，给出下列四个结论：

（1）当直线为时，与没有公共点；

（2）存在直线与有且只有一个公共点；

（3）存在直线经过中的无穷个点；

（4）存在直线与没有公共点，且中存在两点在的两侧．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】（2）（4）

【分析】令，由直线与圆的位置关系的判定可判断（1）；分别找两条直线，可判断（2）、（4）；用极限思想判断（3）.

【详解】令，点集即为圆，圆心为，半径为2，

直线的方程即为，则圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交，故（1）错误；

取直线：，时，点集为，显然直线与无交点；

当时，点集表示以为圆心，为半径的圆，

则圆心到直线的距离，

当时，，则，

又，

因为，所以，

所以当时有；

当时，即时，，

当且仅当时取“=”号，

综上有，当且仅当时取“=”号，

所以，当且仅当时取“=”号，

即当时，直线与圆相切，有一个公共点，

当时，直线与圆相离，没有公共点，故（2）正确；

设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，

当时，，

所以直线只能与有限个圆相交，故（3）错误；

取直线：，

则对于任意的，有，

故此时圆均在直线的下方；

对于任意的，有，

故此时圆均在直线的上方；

而时，点集表示原点，在直线的下方，

综上，点集中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧，

故（4）正确.

故答案为：（2）（4）

五、解答题

16．在△ABC中，．

(1)求B的值；

(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．

【答案】(1)

(2)正确条件为①③，（i），（ii）

【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；

（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；

（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．

【详解】（1）由题设，

而，

所以，故；

（2）若①②正确，则，得或，

所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，

若②③正确，则，可得，即②为错误条件，

综上，正确条件为①③，

（i）由，则，即，

又，可得，

所以，可得，则，

故；

（ii）因为且，得，

由平分得，

在中，，

在中，由，得．

17．某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：

（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；

（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．

①求的值；

②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望．

（3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）

【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析；期望为；（3）．

【分析】（1）求出销售价格低于元的频率，用频率来衡量概率；

（2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量的可能取值为，然后求出各自对应的概率，即可列出分布列，求出期望；

（3）求出平均值比较即可

【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件．

由题设，．

（2）①由题设，品牌的牙膏抽取了管，

品牌的牙膏抽取了管，

所以．

（ⅱ）随机变量的可能取值为．

；

；

．

所以的分布列为：

的数学期望为．（3）．

（理由：，设品牌的市场占有额为，市场占有额分别为，则

）

18．如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，．

(1)求证：；

(2)若．

（ⅰ）求直线与直线所成角的余弦值；

（ⅱ）求点到平面的距离；

（ⅲ）设点为线段上任意一点（不包含端点），证明：直线与平面相交.

【答案】(1)证明见解析

(2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见解析

【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系用坐标法计算即可.

【详解】（1）因为底面是正方形，所以，

又因为平面平面，且平面平面，

平面，

所以平面．

因为平面，所以．

（2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，

则

所以，

设直线与直线所成角为，则

（ⅱ）

设平面的法向量为，则，

所以，

令，则，

于是．

所以点到平面的距离

（ⅲ）设是线段上一点，设．

则

因为，

所以直线与平面相交.

19．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；

（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【详解】试题分析：（1）求出的值可得切点坐标，求出,可得的值，从而得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）由已知，只需证明方程 在区间有唯一解，先利用导数证明在区间单调递增，再利用零点存在定理可得结论；（3）当时，利用导数研究函数的单调性，可得，即 ，令 即可的结果.

试题解析：（1）函数的定义域是，

导函数为．  所以， 又，

所以曲线在点处的切线方程为，    

（2）由已知．                                      

所以只需证明方程 在区间有唯一解．

即方程 在区间有唯一解．                                                                      

设函数 ，则 ．

当 时，，故在区间单调递增．              

又 ，，

所以 存在唯一的，使得．                           

综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．

（3）．证明如下：首先证明：当时，．

设 ，则 ．

当 时，，所以 ，故在单调递增，                          

所以 时，有，即当 时，有．

所以 ．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.

20．已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：以为直径的圆恒过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆方程定义和离心率，解得；

（2）设点坐标，联立方程组得表示出直线，的方程进而可得， ，然后利用向量关系结合条件即得.

【详解】（1）由题可得，

解得：，

所以；

（2）由题可知，

联立得，，

∴．设，则，

所以，直线的方程为：，

令，可得．

由，直线的方程为：，

令，可得．

以，为直径的圆方程为，

，

由坐标表示可猜测得顶点坐标在直线上，

猜测定点，验证：

同理，

因此以为直径的圆 ，恒过定点．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．设A是如下形式的2行3列的数表，

满足性质P：a，b，c，d，e，f，且a+b+c+d+e+f=0

记为A的第i行各数之和（i=1,2）, 为A的第j列各数之和（j=1,2,3）记为中的最小值．

（1）对如下表A，求的值

(2)设数表A形如

其中，求的最大值

（3）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求的最大值．

【答案】1

【详解】（1）因为，，所以

（2），

因为，所以，

所以

当d=0时，取得最大值1

（3）任给满足性质P的数表A（如图所示）

任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质P，并且，因此，不妨设，，

由得定义知，，，，

从而

所以，，由（2）知，存在满足性质P的数表A使，故的最大值为1

【考点定位】此题作为压轴题难度较大，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生严谨的逻辑思维能力