2023届上海市同济大学第一附属中学高三三模数学试题含解析

2023届上海市同济大学第一附属中学高三三模数学试题

一、填空题

1．已知全集，集合，则___________.

【答案】

【分析】根据补集的定义计算.

【详解】根据补集的定义，当全集，时，.

故答案为：

2．不等式的解集是___________

【答案】

【分析】根据分式不等式运算求解.

【详解】因为，等价于，

等价于，解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：.

3．在的二项展开式中，项的系数是______（结果用数值表示）．

【答案】80

【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.

【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为：，，

当时，展开式中含有，故的系数为 ，

故答案为：80.

4．已知为第二象限角，为其终边上一点，且，则x=___________.

【答案】

【分析】根据角的终边上的点的坐标结合余弦函数的定义列出方程，解方程即可.

【详解】∵，∴或，∴或，

∵是第二象限角，∴（舍去）或（舍去）或.

故答案为：.

5．已知是虚数单位，复数满足，则___________.

【答案】

【分析】利用复数的三角形式求解.

【详解】解：因为，

所以，

，

所以，

故答案为：

6．若实数x，y满足，则的最小值为______．

【答案】

【分析】根据基本不等式可得．

【详解】，，当且仅当时，取等，

故答案为．

【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．

7．已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为___________

【答案】

【分析】设利用向量的数量积坐标公式、模的公式化简即得解.

【详解】设，

因为在上的数量投影为，

所以，

化简得.

所以点B所在直线方程为.

故答案为：

8．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．

【答案】/0.75

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解．

【详解】记事件＝“某人在春季里鼻炎发作”， 事件＝“某人在春季里感冒发作”，

由题意可知，

此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为 ，

故答案为：

9．设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．

【答案】/0.2

【分析】根据函数周期性结合解析式可得，结合题意解得，代入求解．

【详解】∵是周期为2的函数

∴，

又∵，即，则

∴

故答案为：．

10．已知边长为3的正的三个顶点都在球（为球心）的表面上，且与平面所成的角为，则球的体积为___________．

【答案】

【分析】先计算出正三角形外接圆半径，再由与平面所成的角为求出球的半径，进而可求出结果.

【详解】设正的外接圆圆心为，易知，

在中，，即球的半径，

故球的体积为.

故答案为：

11．已知曲线，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值__________．

【答案】

【分析】根据解析式知曲线在、上分别为双曲线、抛物线的一部分，确定双曲线部分的渐近线、抛物线部分的切线，两线倾斜角的差即为的最小值，应用差角正切公式求其正切值.

【详解】在上，曲线方程为是双曲线上支的一部分（），

所以该部分渐近线为，

在上，曲线方程为是抛物线的一部分，

设过原点的直线且与抛物线相切，代入抛物线有，

所以，故或（舍），

所以切线为，

如下图示：令、倾斜角分别为且，则，

由，要使最小，只需让最小值，

所以.

故答案为：

12．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则___________

【答案】

【分析】由题意可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论．

【详解】因为，故．

又由，则，，可设，，令，，且，

又夹角，所以，

对，进行赋值即可得出，所以．

故答案为：．

二、单选题

13．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ）

A．5 B．10 C．20 D．30

【答案】D

【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数.

【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称，

则，所以，

所以的学生人数为：人.

故选：D.

14．将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】把函数的图象变换后得到函数的图象，故所得函数的对称中心为，由此可得结果.

【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，得函数的图象，向右平移个单位，

得到函数的图象，

令，可得，

故所得函数的对称中心为，

令，可得函数图象的一个对称中心为，

故选：A

15．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可.

【详解】记数列为，设，

则，，，，，

数列是以为首项，为公比的等比数列，，

，.

故选：C.

16．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：

①若，则；

②若，则．

其中正确的是（    ）

A．①与②均正确 B．①正确，②不正确

C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确

【答案】A

【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设，结合，利用直线的方程得到，进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点，利用直线的方程得到，进而得到，可判定②正确.

【详解】令函数，

可得函数为单调递增函数，

又由，即，

所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，

①中，因为，且，则，

不妨设，

则点，此时直线的方程为，

可得，

则，

可得，

又由，所以，

即，即，所以①正确；

②中，若，不妨设，则，

不妨设，

则点，此时直线的方程为，

可得，

则，

可得，

又由，所以，

即，即，

所以②正确.

故选：A.

【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答的关键.

三、解答题

17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.

(1)求四棱锥的体积；

(2)求异面直线与所成的角的大小.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据直线与平面所成的角可求出，从而得出，再根据四棱锥的体积公式即可解出；

（2）取中点，连接，（或其补角）即为异面直线与所成的角，解三角形即可求出．

【详解】（1）因为底面，所以直线与平面所成的角为，在中，，，所以，而，所以，

因此四棱锥的体积．

（2）如图所示：

取中点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，即有，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．

在中，，，所以，，所以，即异面直线与所成的角为．

18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【答案】（1）；

（2）.

【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

19．某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负. 并规定如下：

①一个人摸球，另一人不摸球；

②摸球的人摸出的球后不放回；

③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和 .

(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；

(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）如果甲先摸出了绿色球，则甲还可以再摸两次，分摸到1个红球和摸到两个黄球两种情况讨论，结合古典概型及组合即可得解；

（2）如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，写出随机变量的所有可能取值，分别求出求概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出期望；

【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件，

则.

（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，

则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，

，，

，，

，，

所以的分布列为：

所以的数学期望.

20．已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．

(1)若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；

(2)若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求面积的最大值；

(3)若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．

【答案】(1)3

(2)

(3)直线l：或或

【分析】（1）令，求出即可．

（2）设直线l：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表达出的面积即可．

（3）分类讨论直线l，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出M的坐标，再利用重心的性质求出C的坐标，代入椭圆即可求解．

【详解】（1）∵，令，则，∴，∴．

（2）设直线l：，，

联立得，则，

则，

，

，

令，则，

在上为增函数，

，当且仅当，即时取等号，

∴面积的最大值为．

（3）当直线l不与x轴重合时，

设直线l：的中点为M，

联立得，则，

则，

∵的重心G在y轴上，

∴

∴，

，

∴直线CM：

，代入椭圆得，

或

∴直线l：或

当直线l与x轴重合时，C点在椭圆的上，下顶点，满足题意，此时l：，

综上，直线l：或或

21．已知函数，，令．

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)当为正数且时，，求的最小值；

(3)若对一切都成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)1

(3)

【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可求出答案；

（3）根据条件进行恒等转化，构造函数，问题转化为在上恒成立，利用不等式的性质求出范围即可.

【详解】（1）当时，，

∴，，，

∴在处的切线方程为.

（2）函数的定义域为，

当时，.

令，解得或.

①当，即时，，故在上单调递增.

所以在上的最小值为，符合题意；

②当，即时，

当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值为，不符合题意；

当，即，同理在上单调递增，

所以在上的最小值为，不符合题意；

综上，实数a的取值范围是.

故的最小值为1.

（3）设，则，

因为，

所以对任意，，，且恒成立，

等价于在上单调递增.而，

当时，，此时在单调递增；

当时，只需在恒成立，

因为，只要，则需要，

对于函数，过定点，对称轴

只需，即，

综上可得：.

【点睛】（1）经过函数上的一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数，求出在此点出的切线斜率，利用直线的点斜式方程，求出切线方程即可;

（2）若已知含参函数最值，求按参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件得出结果；

（3）不等式抓化为函数值的比较，通常需要构造函数，如出现题中的不等式形式，需要构造，研究函数单调性，转化为导数在的恒成立问题.