2023届黑龙江省大庆市实验中学高三下学期5月模拟数学试题含解析

大庆市实验中学2023届高三下学期5月模拟

数学学科试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

3．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”．其中，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．已知，，则下列结论不正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

5．已知圆和两点A（a，0），，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（    ）

A．（4，6） B．（4，+∞） C．[4，+∞） D．（6，+∞）

6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），为函数f（x）的导函数，若，，则不等式的解集为（    ）

A．（0，2） B． C． D．（2，+∞）

7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知m，n为实数，不等式在（0，+∞）恒成立，则的最小值为（    ）

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9．已知，，是三个平面，，，．下列结论正确的是（    ）

A．若，则b与c可能是异面直线

B．若，则直线a、b、c必然交于一点（即三线共点）

C．若，则

D．若，则b与c可能是异面直线

10．设，，为复数，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若且，则 D．若，则

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．f（x）的值城为

B．当且仅当时，函数f（x）取得最大值

C．f（x）的最小正周期是

D．f（x）在上恰有3个零点

12．已知实数a，b，c满足（其中e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（    ）

A．  B．

C．的最小值为 D．

三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则该组数据的第三四分位数为______．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，0），动点P满足：过点P作直线的垂线，垂足为Q，且，则|PC|的最小值为______．

15．焦点在x轴上的椭圆C：，点，是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的点，的内切圆的圆心为M，若，过原点的直线交椭圆C于A，B两点，则的值为______

16．如图，已知二面角的棱是AB，，，若，，，且，，则二面角的大小为______，此时，四面体A－BCD的外接球的表面积为______．

三、解答题

17．（10分）数列的前n项的和为，已知，，当时，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．

（1）求角B的大小；

（2）若，求△ABC面积的最大值．

19．（12分）某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数；

（2）从测试成绩在[90，100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．

20．（12分）如图，已知四棱锥中，，，，PA⊥平面ABCE，平面PAB⊥平面PBC．

（1）证明：；

（2）若，且，G为△PCE的重心．求直线CG与平面PBC所成角的正弦值．

21．（12分）已知椭圆E：经过A（－1，0），两点，M，N是椭圆E上异于B的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在．并分别记为，．

（1）求证：为常数；

（2）求△AMN面积的最大值．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论函数f（x）的单调性：

（2）当时，，求实数a的取值范围；

（3）求证：．

2023届高三下学期5月模拟

数学答案

23年5月

一、单选题

1．【答案】A

【分析】利用定义写出命题的否定即可．

【详解】命题，的否定是，

故选：A

2．【答案】B

【分析】求解分式不等式化简集合A，根据对数函数的性质化简集合B，再由数轴法得出．

【详解】因为，所以且，解得，

所以，所以．

又因为，所以，解得，

所以，

所以．

故选：B．

3【答案】B

【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解

【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，

随机选取两个不同的数，基本事件总数，

其和为奇数包含的基本事件有：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（2，13），（2，17），共6个，

所以

故选：B

4．【答案】D

【分析】先求出，的值，再对四个选项一一验证即可得解

【详解】，由，解得，，

且，有，A选项正确；

，B选项正确；

，C选项正确；

，D选项错误．

故选：D

5．【答案】B．

【详解】圆C：的圆心C（3，4），半径，

∵圆C上至少存在一点P，使得，

∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示，则，

∴∴．

故选：B．

【点睛】本题考查参数取值范围问题，通过数形结合转化为圆与圆的位置关系，考查学生分析问题的能力，属于中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

6．答案：D

解析：．

，，

，，

7．【答案】A

【详解】设双曲线C的焦距为2c，由可得，

所以，即，所以．

故选：A．

8．答案：C

解析：设，，由题

则，

令求可知

二．多选题

9．【答案】BC

【详解】（1）由题意，知，可得，，因为，可得，

又由，可得，所以O为与的公共点．

又，所以，所以a，b，c三线共点．

（2）由题意，因为，，．所以，

因为，，，所以，同理可证

所以

10．【答案】BCD

【分析】由特殊值否定选项A，利用复数模的性质证得选项BD，可证选项C．

【详解】对于A：当，时，满足，此时，，，A选项错误；

对于B：若，则，所以或至少有一个成立，即或，B选项正确；

对于C，由，则，∵，∴，C选项正确；

对于D，若，则，由复数模的性质可得，，，所以

，D选项正确．

故选：BCD

11．【答案】BD

【分析】先对f（x）化简，然后作出f（x）的图像如图所示，利用函数的图像逐个分析判断即可

【详解】因为，作出函数f（x）的图象，如图所示：

所以，f（x）的值域为，A错误

函数f（x）的最小正周期是，C错误；

当且仅当时，函数f（x）取得最大值，B正确；

D正确．

故选：BD．

12．答案：AC

解析：，由于当且仅当取等，则

，故，，代入选项即可

三．填空题

13．【答案】17.5

【分析】根据第三四分位数的计算方法计算即可．

【详解】由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个，所以第三四分位数为

故答案为：17.5．

14．【答案】

【详解】设P点坐标为P（x，y），则Q（－1，y），又由，知，所以，所以P点是抛物线上的点；

设，则．

所以当时，|PC|取最小值，此时．

15．【答案】6

【分析】取线段的中点N，根据可得，由M是的内切圆的圆心，所以，MP分别为，的角平分线，根据角平分线性质及可得中三边的比例关系，再根据椭圆的定义即可得离心率，再根据，即可得a，c，根据椭圆的对称性可知，即可得的值．

【详解】解：设内切圆半径为r，取线段的中点N，

因为，即，

所以，则M，，N三点共线，

因为M是的内切圆的圆心，

所以，MP分别为，的角平分线，

所以，即，

故，

又有，所以，，由椭圆对称性有，

所以．

故答案为：6

16．【答案】，．

【详解】由二面角的平面角的定义，与的夹角就是二而角的平面角，

由，知，，即，

化简得，即，

所以，即二面角的大小为．

三棱锥ABCD的外接球可以补形为直三棱柱的外接球，不难算出表面积为．

三、解答题

17．【答案】（1）；（2）

【详解】（1）解：当时，由可得，

即，因为，，所以时也满足，

当时，，

所以．，

当时，，也满足上式，所以（没有验证首项扣1分）

（2）解：，

对任意的，，

所以，

18．【详解】（1）方法一：由

根据正弦定理边化角得：

即，所以

因为，所以，又，所以，

又，所以

方法二：由

根据余弦定理：得，

即，

因为，所以，

所以，又，得

（2）方法一：由（1）及余弦定理知，

所以，

因为，

所以，化简得，

因为，，所以，，

所以，当且仅当，即，时取等号，

所以ABC的面积，

所以ABC面积的最大值为（没有取等条件扣1分）

方法二：由（1）及余弦定理知，所以

因为，所以，

化简得，即，

所以ABC的面积，

当且仅当，即，时取等号，

所以ABC面积的最大值为，（没有取等条件扣1分）

19．【详解】（1）

（2）由题意可知，从6道题中选4题共有，

因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有；

所以甲能进复赛的概率为，则甲不能进复赛的概率为，

因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有；

所以乙能进复赛的概率为，则乙不能进复赛的概率为；

依题可得，的可能取值为0，1，2，

所以，，

，

则分布列为：

则

20．【详解】（1）过A作于D，

∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面，

因为面PAB，∴AD⊥平面PBC，

又BC⊂平面PBC，∴，

又∵PA⊥平面ABCE，BC⊂平面ABCE，∴

PA，AD⊂平面PAD，，∴BC⊥平面PAD，

又∵AB⊂平面PAD，∴

（2）以B为坐标原点，BC、BA分别为x、y轴，过B平行于PA的直线为Z轴建立空间直角坐标系，

∴B（0，0，0），A（0，1，0），C（2，0，0），

又设E（x，y，0），∵，∴①

∴，∴②

由①②得，，∴E（2，2，0）

又，故，

设平面PBC的法向量为则，

令，∴

设直线CG与平面PBC所成角为θ．

则

21．（1）∵椭圆过A和B，∴，解得，

∴椭圆E的方程为：，

由知AM与AN关于直线对称．

在AM上任取一点，设关于直线AB对称的点为，

则，解得，

从而，，

于是

（2）设点，，，，，

由，得，∴，

从而，同理，

由（1）有，，故，，

又，，

∴，

令．得．由此可知，直线MN过定点

令，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以AMN面积的最大值为（没有取等条件扣1分）

方法二：

又，，，

所以，

当且仅当取等号，所以AMN面积的最大值为（没有取等条件扣1分）

22．【详解】（1）依题意，，；

当时，，函数f（x）在（－1，+∞）上单调递增；

当时，令，解得，故当时，；当

时，，故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；

综上所述，当时，函数f（x）在（－1，+∞）上单调递增；当时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；

（2）依题意，，由（1）知，当时，函数f（x）在（－1，+∞）上单调递增；符合题意，

时，当，即时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，

，解得，所以

当，即时，函数f（x）在[0，2]上单调递增，成立，

综上，实数a的取值范围是

（3）要证，

即证，

由（2）可知，时，时，恒成立，

故当时，，则，

即，

所以，

整理得：，

即，

即