2023届陕西省安康中学高三下学期5月学业质量检测（三）数学（文）试题含解析

2023届陕西省安康中学高三下学期5月学业质量检测（三）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据不等式的运算求解得到，进而根据集合的概念以及运算，即可得出答案.

【详解】由可得，，等价于，

解得，即，.

解可得，或，

所以，.

对于A项，因为，所以，故A项错误；

对于B项，因为，所以，故B项错误；

对于C项，因为，所以，

所以，故C项正确；

对于D项，因为，所以，故D项错误.

故选：C.

2．设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.

【详解】，

由已知得，解得，

故选：D

3．如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（    ）

A．-3 B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据余弦定理得到，确定为圆的直径，为等边三角形，建立坐标系，确定点坐标，计算向量的数量积得到答案.

【详解】连接，由余弦定理知，所以.

由正弦定理得，所以为圆的直径，

所以，所以，从而，

又，所以为等边三角形，

以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.

则，

所以.

故选：C.

4．某市为比较甲､乙两个旅游景点的经营状况，将这两个旅游景点2021年12个月的月收入（单位：万元）绘制成了如下茎叶图：则（    ）

A．甲景点的月收入的中位数小于乙景点的月收入的中位数

B．甲景点的月收入的平均数小于乙景点的月收入的平均数

C．甲景点的月收入的极差大于乙景点的月收入的极差

D．甲景点的月收入的方差小于乙景点的月收入的方差

【答案】D

【分析】根据数据的中位数、平均数、极差、方差的概念与性质逐项判断即可.

【详解】甲景点的月收入的中位数为，乙景点的月收入的中位数为，故不正确；

甲景点的月收入的平均数为33，乙景点的月收入的平均数为33，故不正确；

甲景点的月收入的极差为，乙景点的月收入的极差为，故C不正确；

观察茎叶图可知，甲景点的月收入更集中，乙景点收入较分散，所以甲景点的方差小于乙景点的月收入的方差，D选项正确.

故选：D.

5．设实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据约束条件画出可行域，进而利用直线的截距即可确定最优解，进而可求最值.

【详解】  

作出可行域如图中阴影部分所示.

联立，可得，

当直线经过点时，截距最大，则.

故选：C.

6．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，则（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】由已知可得.点作，垂足为，根据已知结合几何性质，可得.然后在在中，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，.

如图所示，过点作，垂足为.

由题得，所以.

根据抛物线的定义可知，

所以是等边三角形.

因为，

所以.

在中，.

故选：A.

7．执行如图所示的程序框图，如果输入的，，那么输出的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】根据程序框图，逐步执行计算，求出的值，判断返回继续执行，直到满足条件，执行输出，即可得出答案.

【详解】执行第一次循环，得，，，，；

执行第二次循环，得，，，，；

执行第三次循环，得，，，，；

执行第四次循环，得，，，，；

执行第五次循环，得，，，，.

因为，所以退出循环，输出.

故选：B.

8．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】设的最小正周期为，由图象可知，可推得或.根据，可推得.分别求解以及，即可得出答案.

【详解】设的最小正周期为，

由图象可知，

则，所以，所以或.

又由题图知，，则，

解得.

解可得，不满足条件；

解可得，，

当且仅当时，符合题意.

所以，，此时.

故选：B.

9．在正方体中，分别为棱的中点，则平面与平面的位置关系是（    ）

A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合

【答案】A

【分析】结合正方体的结构特征，利用线线垂直证明线面垂直，证得平面，可得平面平面.

【详解】设棱的中点分别为，连接，连接，如图所示，

正方体中，平面，平面，，

正方形中，，，平面，

平面，平面，∴，

分别为棱的中点，，，∴，

同理可证，平面，，∴平面，

平面，∴，

同理可证，

平面，，∴平面，平面，故平面平面.

故选：A.

10．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值.

【详解】设该马第天行走的里程数为，

由题意可知，数列是公比为的等比数列，

所以，该马七天所走的里程为，解得.

故该马第五天行走的里程数为.

故选：D.

11．已知函数，在区间上，若为增函数，为减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用辅助角公式化简两函数，再利用整体代换法结合三角函数的性质求范围即可.

【详解】由题意得.

令，由，得.

因为在区间上，为增函数，为减函数，所以，

解得，所以.

故选：A

12．已知四边形是等腰梯形，，梯形的四个顶点在半径为4的球面上.若是该球面上的任意一点，当四棱锥的体积最大时，其高为（    ）

A． B． C． D．6

【答案】C

【分析】先求出四边形的外接圆的直径，设球心为，四边形的外接圆圆心为，在Rt中，由求出，因为四棱锥的底面的面积为定值，所以当高最大时体积最大，求解即可.

【详解】因为四边形是等腰梯形，，

过点作，垂足为，则，所以.

在中，，所以，即.

同理可得.所以四边形的外接圆的直径为.

设球心为，四边形的外接圆圆心为，如图所示.

在Rt中，，即，

解得.又因为四棱锥的底面的面积为定值，

所以当高最大时体积最大，其高最大为.

故选：C.

二、填空题

13．已知等差数列的前项和为，，，则的公差为__________.

【答案】

【分析】设的公差为，由已知可得出，求解即可得出答案.

【详解】设的公差为，

由题意得.

则，所以.

故答案为：.

14．志愿者在打赢疫情防控阻击战中贡献了自己的力量，现从3名男性志愿者和2名女性志愿者中，任选3名参加社区志愿服务，则既有男性志愿者又有女性志愿者的概率为__________.

【答案】/0.9

【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可求得答案.

【详解】从5名志愿者中任选3人，共有种选法；

男性志愿者和女性志愿者都有人入选，分为2男1女和2女1男两种情况，

共有种选法，因而所求的概率，

故答案为：

15．已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由抛物下方程求得P、A、B、C四点坐标，任取三点代入圆的一般方程计算并化简为标准方程即可.

【详解】令，则，

解得，不妨设；

令0，得，则；抛物线的顶点的坐标为.

设所求圆的方程为.

当圆过三点时，,

所以圆的方程为.

当圆过三点时，,

所以圆的方程为.

当圆过三点时，,

所以圆的程为.

当圆过三点时，,

当圆过三点方程为.

故答案为：（答案不唯一）

16．已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】设，根据的范围，讨论求得的解析式.根据解析式得出函数的性质，作出的图象，根据函数图象，即可得出答案.

【详解】设，

当时，，；

当时，，；

当时，，.

综上可得，.

函数的定义域为，

由复合函数单调性可知函数单调递增.

又，

作出的图象如图所示

由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，

即有两个零点，

所以的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：根据函数的解析式（或导函数）得出函数的性质，然后作出函数的图象，结合函数的图象，即可得出参数的取值范围.

三、解答题

17．已知的内角所对的边分别为，且.

(1)求；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据正弦定理结合已知可得，再利用余弦定理化简可得，利用余弦定理计算即可求得答案.

（2）对于，利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正弦公式化简即可证明结论.

【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得.

因为，所以由余弦定理可得，

两式联立，整理得，即.

在中，由余弦定理得.

（2）证明：因为，由正弦定理可得，

因为，所以，

则，

所以，

由，

得，

即，

则，

所以.

18．如图，在三棱锥中，，，为的中点.

(1)证明：；

(2)若，，，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，根据已知可判定平面，进而即可得出证明；

（2）连接，根据已知求出，.根据勾股定理求得.进而即可判定平面.然后根据锥体的体积公式，即可得出答案.

【详解】（1）如图，取的中点，连接.

又为的中点，

所以.

又，所以.

因为，所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

（2）如图，连接，

因为，，

所以.

因为，所以.

在中，，，，

所以，所以.

又，，平面，平面，

所以平面.

，

所以三棱锥的体积.

19．科教兴国，科技强国，人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育平台，为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2016年—2021年人工智能教育市场规模统计表.如下表所示，若用x表示年份代码（2016年用1表示，2017年用2表示……依次类推），用y表示市场规模（单位：亿元），

(1)根据统计表中的数据，计算市场规模的平均值，及与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关关系的强弱（若，则认为相关性较强；否则没有较强的相关性，精确到0.01）；

(2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的线性回归方程，并据此预测2023年中国人工智能教育市场规模（精确到0.1）.

附：线性回归方程，其中，，

样本相关系数；

参考数据：，.

【答案】(1)，，与具有较强的相关性

(2)，2676.9亿元

【分析】（1）根据已知数据，即可求得，，，进而根据样本相关系数公式，求出的值，即可得出答案；

（2）根据已知条件可求得，，即可得出线性回归方程，代入，即可得出答案.

【详解】（1）由已知可得，

.

又，

所以，，

则样本相关系数.

因为样本相关系数，所以与具有较强的相关性，且正相关.

（2）设y关于x的线性回归方程为，其中

，

，

所以关于的线性回归方程为.

把代入得（亿元）.

故据此预测2023年中国人工智能教育市场规模将达到约2676.9亿元.

20．已知函数.

(1)若 在上单调递增，求a的取值范围；

(2)若存在零点且零点的绝对值小于2，求a的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用单调性与导函数正负的关系即可求解，

（2）分情况讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最值，进而可确定零点所在的区间，即可根据不等式求解.

【详解】（1），

因为在上单调递增,则当时，，，即

而当时，，则有，

所以若在上单调递增，a的取值范围是

（2）若，，单调递增，且有，

由f（x）存在零点且零点的绝对值小于2，可知存在唯一零点

由，则，.

若，令，解得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

则取极小值，即，

又，则，，

又， ，且当趋向于正无穷时,趋向于正无穷，

故此时存在两个零点，分别设为，

又，则，由题意，则有，即，

故，

综上，a的取值范围是.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值,零点以及不等式恒成立问题．函数零点问题常见方法：

① 分离参数，利用导数求解的单调性，进而确定最值.

② 数形结合( 图象与图象的交点)；

③讨论参数.

21．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，.直线（不经过点）与椭圆交于两点，，直线与椭圆交于另一点，点满足，且在直线上.

(1)求的方程；

(2)证明：直线过定点，且存在另一个定点，使为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设方程为，代入点的坐标，得出方程组，求解即可得出答案；

（2）设的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出的方程为.令，整理可得，即可得出定点.

进而由已知可推得，即可得出的轨迹，得出答案.

【详解】（1）设的方程为，

则，解得，

所以的方程为.

（2）  

由题意可知直线的斜率存在且不为0，

设的方程为，

设点，，则，.

联立，消去，得，

则，

且，.

所以，所以的方程为.

令，则，

所以直线恒过定点，设为点.

又因为，在上，

所以，

则点在以为直径的圆上，从而的中点，使为定值.

【点睛】思路点睛：设的方程为，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若与有公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2).

【分析】（1）根据曲线的参数方程与直线的极坐标方程转化为普通方程即可；

（2）写出曲线的三角参数方程，与直线的直角坐标方程联立，通过求三角函数的值域即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）因为，且

所以的普通方程为.

因为所以的直角坐标方程为.

（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，）.

，

其中.

当时，取得最大值5；当时，取得最小值.

所以实数的取值范围为.

23．设，且.

(1)若，求的最小值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)8

(2)3

【分析】（1）根据，将所求式子分子“1”替换，结合基本不等式即可得最小值；

（2）法1：利用三个数和的完全平方公式变形，再结合重要不等式即可求最小值；法2：利用柯西不等式求解最小值即可.

【详解】（1）因为，

所以

，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为8.

（2）法1：

，

故由已知得，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为3.

法2：，故，当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为3.