2023届河南省名校联考高三下学期5月模拟数学（理）试题含解析

2023届河南省名校联考高三下学期5月模拟数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式求集合A，再根据并集计算即可.

【详解】解不等式，即，而，所以.

故答案为：A

2．若向量，，，且，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】利用向量的坐标运算与平行充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值.

【详解】，因为，

所以，解得.

故选：A.

3．若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列数是z的同部复数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将展开，得到复数的实部与虚部，再逐一与选项进行比较，即可得到正确选项.

【详解】由于，其实部和虚部均为，

而与的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以是的同部复数.

故选：B

4．关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【分析】根据题意得到乙和丁的判断只有一个正确，分丁的判断正确和乙的判断正确，结合三角函数的符号和正切的倍角公式，即可求解.

【详解】由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，

若丁的判断正确，即，则，

此时丙的判断错误，不符合题意；

若乙的判断正确，即，此时满足，且，

此时甲、丙都正确，符合题意.

故选：D.

5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为1，宽为的矩形，俯视图为扇形，若球O的体积与该几何体的体积相等，则球O的半径为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】根据题意，由三视图可知该几何体是四分之一个圆柱，然后结合体积计算公式，即可得到结果.

【详解】由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为，底面半径为1），

其体积，设球O的半径为r，则，解得.

故选：A

6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.

【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局

且第七局胜，甲才能最后获胜，

所以甲最后获胜的概率为.

故选：C

7．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，为该椭圆过点的一条弦，且的周长为.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【分析】根据题意，画出椭圆，根据椭圆的相关性质可得.

【详解】根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如下，

根据椭圆的定义的周长为，

即①

由该椭球横截面的最大直径为2米，可知米，得

又因为，所以②

②联立可得，，

所以该椭球的高为米.

故选：B

8．已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用题给条件求得在上单调性，利用为奇函数求得的大小关系，再利用幂函数性质比较的大小关系，进而得到三者间的大小关系.

【详解】因为当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，

当时，，

则在上单调递减，在上单调递增.

且，所以在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增.

因为，，

则

所以.

故选：A

9．若不等式组，表示的可行域与圆有公共点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，做出可行域，然后结合图像找到临界情况，即可得到的取值范围

【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，

当直线与圆相切时，

，则，则的最小值为；

当圆经过点时，

，则的最大值为17．

故的取值范围是．

故选：D.

10．在空间直角坐标系中，已知，则当点到平面的距离最小时，直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，求得平面的一个法向量，结合向量的距离公式，求得点到平面的距离，根据二次函数的性质，求得，利用夹角公式，即可求解.

【详解】因为，

可得，

设是平面的法向量，则，

令，可得，所以，

所以点到平面的距离，

当时，取得最小值，此时，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

故选：C.

11．设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.

【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，

所以

.

当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.

故选：A

12．已知函数的所有极值点为，且函数在内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对（    ）

A．只有2对 B．只有3对

C．只有4对 D．有无数对

【答案】B

【分析】根据题意求得函数，把函数的零点个数转化为方程实根的个数，结合方程在内实根的个数，分类讨论，即可求解.

【详解】由函数，

因为函数图象的对称轴方程为，

当时，可得，当时，可得，

即两个相邻的极值点间的距离为，即，则，可得，

因为的图象关于直线对称，所以，

即，解得，

则，

所以函数的零点个数等价于方程实根的个数，

先研究方程在内实根的个数，

当时，方程在内实根的个数为1；

当时，方程在内实根的个数为2；

当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2，

因为是周期为的函数，所以当时，在，

内方程实根的个数均为2，

因为在内恰有2023个零点，且2023为奇数，

所以，不合题意.

当时，；当时，，

故满足条件的有序实数对只有3对.

故选：B.

二、填空题

13．某工厂要对生产流水线上的600个零件（编号为001，002，…，599，600）进行抽检，若采用系统抽样的方法抽检50个零件，且编号为015的零件被抽检，则编号在内的零件将被抽检的个数为______．

【答案】4

【分析】利用系统抽样的抽样方法得到不等式组，再求出编号在内的零件将被抽检的个数.

【详解】因为，所以被抽检的零件的最小编号为003．

由，得，

则，22，23，24，

故编号在内的零件将被抽检的个数为4．

故答案为：4

14．若，，则____________.

【答案】1

【分析】根据题意，由对数的运算，即可得到结果.

【详解】因为，，所以，，

则，所以.

故答案为：

15．中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

【答案】3280

【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.

【详解】解：由题可知步，步，步.步.

在RtAHF中，在RtAHG中.

所以，，

则.

所以步.

故答案为：3280

16．若存在实数a，b，使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是______.

【答案】

【分析】令，可得，当时，分和讨论.当时，将原命题分解成两个恒成立问题，对于恒成立问题，可参变分离构造函数，利用导数求最值，对于，可参变分离，利用基本不等式求最值，然后即可解.

【详解】令，得.

当且时，原命题等价于恒成立，由恒成立可知，又当时，，所以不存在a，使得该不等式恒成立.

当，且时，

由，得.

设，令，解得

当，，此时在上单调递增，

当，此时在上单调递减，

，得.

等价于，而，

当且仅当，即时等号成立，

所以，则，

解得，所以b的最大值是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，常用参变分离法，将恒成立问题转化为函数最值问题，借助导数求解.本题也可结合图象，将问题转化为求公切线在y轴上的截距问题，利用导数求切线即可求解.

三、解答题

17．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为CD1的中点，且点E既在平面AB1C1内，又在平面ACD1内.

(1)证明:E∈AO.

(2)若AA1=4，E为AO的中点，且，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证明，可先找到平面∩平面，再因为点E既在平面AB1C1内，又在平面ACD1内，则点E在交线上;

（2）建立空间直角坐标系，设，找到所需点的坐标，根据，可求出值，再由侧面积公式求解.

【详解】（1）证明：连接.

在正四棱柱中，∥，则A，，，D四点共面，

所以E∈.

因为侧面CC1D1D为矩形，且O为的中点.

所以，所以O为平面与平面的一个公共点，

所以平面AB1C1D∩平面，即平面∩平面.

故.

（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

设，其中，

则（t，0，4），C（t，t，0），（t，t，4），E（，，1），..

，

所以，解得.

所以正四棱柱的侧面积为.

18．定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．

(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据矩阵运算的定义得出关于和的等式，根据消元法得出和在时的通项公式，检验和是否满足时的通项公式，即可证明；

（2）写出数列的通项公式，根据等差数列和等比数列求和公式，分组求和即可．

【详解】（1）证明：因为，

所以，

消去，得，

当时，，则，

当时，由及，得，

所以，

因为，，

所以为公差为1的等差数列，为公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，

则

．

19．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)若对x∈R恒成立，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图象得到的图象与x轴切于原点，故且，求出，得到解析式；

（2）转化为对恒成立，构造函数，求导得到其单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案

【详解】（1）由图可知的图象与x轴切于原点，

因为，所以，

又，所以，

所以，的解析式为；

（2）由对恒成立，得对恒成立.

设函数，

则，

令，得，

令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，

所以，即m的取值范围是.

20．已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解；

（2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证.

【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，

又，所以.

将点的坐标代入C的方程得，解得，

所以，所以C的方程为.

（2）依题意可设PQ：，

由，得,

设，，，则.

，，

则，

而，

所以，

所以是定值.

21．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.

(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.

(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k）

【答案】(1)分布列见解析，3.2

(2)详见解析.

【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望；

(2)设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得，

设，

由组合数公式计算得，

分类讨论是否为整数即可得出结果.

【详解】（1）X的可能取值为2，3，4，则，

，，

则X的分布列为

（2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card（A∪B）.

设参加会议的群众代表的人数为Y，则.

若，则，

则，

，

，

令，得，解得，

以代替k，得，

令，得，解得，

所以，

若为整数，则当

或时，取得最大值，

所以估计参加会议的群众代表的人数为或，

若不是整数，则当时，

取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为，

其中，表示不超过的最大整数.

【点睛】思路点睛：第二问设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得，

设，

由组合数公式化简计算得，

关键在于分类讨论是否为整数即可得出结果.

22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)AB是圆C上的两点，且∠AOB=，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）消去参数，求得得圆C的普通方程为，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆的极坐标方程；

（2）不妨设，得到，，求得，进而求得的面积取得最大值.

【详解】（1）解：圆C的参数方程为为参数），可得为参数），

平方相加，可得圆C的普通方程为，即，

又由，可得，

即，即圆的极坐标方程为.

（2）解：不妨设，其中，

则，，

则，

当时，的面积取得最大值，且最大值为.

23．已知函数.

(1)求的最小值，并指出此时的取值集合:

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)的最小值为5，的取值集合为

(2)

【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求出最小值，根据绝对值三角不等式取等的条件可得的取值集合；

（2）换元，令，得，再分类讨论去绝对值，求出的取值范围，然后解一元二次不等式可得结果.

【详解】（1），

当且仅当，即，即或时，等号成立，

所以的最小值为5，此时的取值集合为.

（2）令，则.

得或或，

解得或，因为，所以舍去，所以，

所以，解得或.

所以不等式的解集为.