2023届上海市七宝中学高三5月第一次模拟练习数学试题含解析

这是一份2023届上海市七宝中学高三5月第一次模拟练习数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市七宝中学高三5月第一次模拟练习数学试题 一、填空题1．不等式的解集是 _____.【答案】【分析】由对数函数的单调性可出原不等式的解集.【详解】因为函数在上为增函数，由可得.因此，不等式的解集为.故答案为：.2．若复数是的一个根，则_____.【答案】【分析】设设，，代入中，得到方程组，求出，求出模长.【详解】由题意得，设，，则，即，所以，因为，所以，故，故.故答案为：3．的展开式中，的系数为___________.(用数字作答)【答案】5【分析】利用二项展开式的通项公式可求得结果.【详解】的展开式的通项公式为，，令，得，所以的系数为.故答案为：54．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则____．【答案】/【分析】利用三角函数的定义结合二倍角的正弦公式可求得的值.【详解】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，由三角函数定义可得，，因此，.故答案为：.5．已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为_________．【答案】120°【分析】根据法向量求直线的方向向量，由方向向量即可求出倾斜角.【详解】因为直线的一个法向量为，所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，倾斜角为120°．故答案为：120°【点睛】本题考查了求直线的方向向量、由方向向量求直线的倾斜角，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.6．等轴双曲线的焦距为____.【答案】【分析】根据等轴双曲线定义得到，进而求出，得到焦距.【详解】由题意得，，故，故，焦距为.故答案为：7．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为____．【答案】/0.9【分析】把另3 编号，用列举法写出从5人中任选3人的所有基本事件，可得出甲、乙至少一人入选的基本事件，记数后由概率公式计算概率．【详解】另三名同学记为1，2，3，由从5人中选3名同学基本事件有：甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23，123共10个，其中甲、乙至少一人入选的基本事件有甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23共9个，所以所求概率为．故答案为：．8．已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】由可得出，分析可知函数在上恰有两个最大值点，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为，所以，因为在上恰有两个不相等的实数、满足，且，所以，函数在上恰有两个最大值点，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.9．已知，，请写出与和均相切的一条直线方程______．（只需写一条）【答案】（或，只要答一个即可）．【分析】设函数图象上的切点为，函数图象上切点为，求出导函数，利用列方程组求得后可得切线方程．【详解】设函数图象上的切点为，函数图象上切点为，，，,,由得，消去得,或,从而有或,又，，所以切线方程为或，即或，故答案为：（或，只要答一个即可）．10．在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于，若，则的最小值为____.【答案】/【分析】利用可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，的平分线交于，且，由，即，整理可得，所以，，因此，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.11．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 __．【答案】【分析】先利用阿氏圆定义设出，由得到，利用，即可求出最小值.【详解】设，不妨取，使得，所以，整理得：.此方程与为同一方程，所以，解得：，即.所以（当且仅当P、B、C三点共线时等号成立）此时.所以的最小值为.故答案为：.12．已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是__.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，设，确定点A，B的轨迹，从而设，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，令,  设则由可得，即点A轨迹为以为圆心，半径为2的圆，点B轨迹为以为圆心，半径为3的圆，则设，则，（为辅助角），令，则，则，又，而，故，故的取值范围是，故答案为：【点睛】本题是关于向量和三角函数的综合性题目，综合性较强，解答时要注意建立坐标系，利用向量的坐标运算结合三角函数的恒等变换进行解答，难点在于化简的表达式时，计算较为复杂，要注意计算的准确性. 二、单选题13．下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出各选项的函数定义域，再利用奇函数的定义判断作答.【详解】对于A，令，由，得的定义域为R，，函数不是奇函数；对于B，令，由，得，即函数的定义域为，，函数是奇函数；对于C，令，显然函数的定义域为R，，函数是奇函数；对于D，令，函数的定义域为，，函数是奇函数.故选：A14．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（    ）A．将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为、和，且已知，则总体方差B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于C．若，，则事件、相互独立D．某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为、、、、、、、，则该样本数据的第百分位数为【答案】C【分析】利用方差公式可判断A选项；利用相关系数与线性相关关系可判断B选项；利用条件概率公式以及独立事件的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，设层数据分别为、、、；、、、，因为，所以，总体平均数为，所以，，，所以，总体方差为，则，所以，当或时，，否则，A错；对于B选项，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于，B错；对于C选项，由条件概率公式可得，所以，，所以，，故，所以，事件、相互独立，C对；对于D选项，将样本数据由小到大排列分别为、、、、、、、，所以，该样本数据的第百分位数为，D错.故选：C.15．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】每个顶点对应个鳖臑，所以个顶点对应个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除，即可得解.【详解】在正方体中，当顶点为时，三棱锥、、、、、均为鳖臑．所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次，所以，鳖臑的个数为个.故选：B．  16．已知是等差数列，，且存在正整数，使得对任意的正整数都有．若集合中只含有4个元素，则的取值不可能是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据为等差数列，写出通项，根据题意列出之间的关系，进而找到两个数列基本量之间的关系，分别就四种情况讨论，选出符合题意的值，进而判断选项即可.【详解】解：设等差数列首项为，公差为，则，，由题知，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则，当时，，即，即，所以，或，因为是等差数列，各项均唯一，所以舍去，故解得，取时，，此时在单位圆上的4等分点可取到4个不同的正弦值，即集合可取4个元素，当时，，即，即，所以，或，（舍），故解得，此时在单位圆上的5等分点，取到的，，，，，不可能取到4个不同的正弦值，故不成立，同理可得当时，集合可取4个元素.故选：B【点睛】思路点睛：该题考查集合间的基本关系，属于难题，关于新定义集合的思路有：（1）根据题意，先写出几项，找出规律； （2）找到新集合和旧集合之间的关系；（3）分情况讨论，结合题意，找出适合的答案即可. 三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：在四棱锥中，取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且.又因为底面是正方形，是的中点，所以，且.所以.所以四边形是平行四边形，所以.由于平面，平面，所以平面.（2）因为底面是正方形，所以.又因为平面.所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.，，，，，.，，设平面的法向量为.有：即令，则，所以..设直线与平面所成角为.有：.所以直线与平面所成角的正弦值为.18．已知数列的前n项和为，，对任意的正整数，点均在函数图像上．(1)证明：数列是等比数列；(2)证明：中任何不同三项不构成等差数列．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）确定得到，得到证明.（2）确定数列的通项公式，假设存在使得成等差数列，得到，根据奇偶性得到矛盾，得到证明.【详解】（1）点均在函数图像上，则，故，，故是首项为2，公比为2的等比数列.（2），故，，且从第二项起严格增，假设存在使得成等差数列，则，即，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立.故中任何不同三项不构成等差数列．19．一场始于烟火，归于真诚的邂逅，让无数人赴山赶海“进淄赶烤”，淄博某烧烤店趁机推出150元烧烤套餐.某同学调研发现，烧烤店成本（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数（单位：份）的关系如下：  1346756.577.58与可用回归方程（其中为常数）进行模拟．参考数据与公式：设，则线性回归直线中，．0.546.81.530.45 (1)试预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元．（利润=售价-成本，结果精确到1元）(2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为淄博配送的箱数的频率分布直方图，用这16天的情况来估计相应的概率．供货商拟购置辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议．【答案】(1)3236元(2)答案见解析 【分析】（1）根据所给数据求出、，即可求出回归方程，再代入求出预测值，即可得到利润；（2）根据频率分布直方图，得到送货箱数的概率分布表，设该运输户购辆车和购辆车时每天的利润分别为、元，求出分布列，计算出期望，即可判断.【详解】（1）根据题意，，所以，所以，又，所以，所以时，（千元），即卖出份的成本为元，故利润（元）．（2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：箱数 设该运输户购辆车和购辆车时每天的利润分别为、元，则的可能取值为1500，800，100，其分布列为： 故，则的可能取值为2000，1300，600，，其分布列为 故，因为，即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车．20．已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为.(1)若为直角三角形，求的离心率；(2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由；(3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由.【答案】(1)(2)必要不充分条件，理由见解析(3)是，理由见解析 【分析】（1）利用为直角三角形得到，转化为即可得.（2）根据椭圆的对称性可证必要性，又反例可知不满足充分性.（3）先证直线过椭圆的右焦点，可得的周长为【详解】（1）  如图，，，，，由题意，即，故，解得离心率（2）必要不充分条件.必要性：根据椭圆的对称性可知，当，关于轴对称时，成立；充分性：椭圆方程为，设，，在上不单调，所以可举反例：分别取，，即，使得，但，不关于轴对称.（3）  由题意，，，椭圆方程为，设，则直线的斜率为，方程为：，联立椭圆方程得，，故，代入得，所以，同理直线的方程为：，联立椭圆方程得，，故，代入得，所以，所以，直线方程为，令，可得，即直线恒过椭圆的右焦点.所以的周长为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知函数，其导函数为，(1)若函数有三个零点，且，试比较与的大小.(2)若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由.(3)在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值.【答案】(1)(2)存在，理由见解析(3)2 【分析】（1）根据分析得到，是方程的两根，由韦达定理得，计算出；（2）由导函数为二次函数，开口向上，结合特殊点的函数值及零点存在性定理得到极值点情况；（3）将分别代入，得到不等式组，整理得到，求出，进而求出的最大值.【详解】（1）因为，故一正一负，，所以，所以是方程的两根，由韦达定理得，因为所以，故，，，因为，，所以；（2），开口向上，，，，①当时，，根据零点存在定理可知，存在使得，且时，，单调递增，时，，单调递减，所以在区间上存在极大值点，②当时，，，根据零点存在定理可知，存在使得，且时，，时，，所以在区间上存在极小值点；（3）对任意的，总存在使得成立，设，的最大值为，则，即①，②，③，由①+③得④，由②得⑤，④+⑤得，即，当且仅当，即时取等，所以的最大值为2.【点睛】设一元三次方程的三个根为，原方程可化为，整理得，比较左右两边同类项，得到一元三次的根与系数关系：.