2023届上海奉贤区致远高级中学高三5月模拟数学试题含解析

2023届上海奉贤区致远高级中学高三5月模拟数学试题

一、填空题

1．已知集合，集合，则__________．

【答案】

【分析】根据交集概念进行计算即可.

【详解】.

故答案为：

2．在复平面内，点对应的复数z，则___________

【答案】

【分析】由点的坐标写出复数，再计算。

【详解】由题意，∴。

故答案为：。

【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的模，属于基础题。

3．函数的定义域是__________．

【答案】

【分析】先求出和定义域，再求交集.

【详解】由题意 ， ；

故答案为： .

4．等差数列的前9项和为18，第9项为18，则的通项公式为______．

【答案】

【分析】根据等差数列的基本量首项和公差，列出方程，解出首项，公差，然后带入通项公式中即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，前项和为，由题意知:，又，联立解得:，，

故答案为:

5．已知，且，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】利用等式求解，代入计算，结合基本不等式，即可求得的最小值.

【详解】因为，解得：，

则

当且仅当，时，“=”成立

故答案为：.

6．二项展开式的常数项的值为______．

【答案】

【分析】求出展开式的通项，令的指数等于零，从而可得出答案.

【详解】解：的二项展开式的通项为

，

令，则，

所以二项展开式的常数项的值为.

故答案为：.

7．有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是__________.

【答案】

【分析】根据9个里面任取3个是，取出的3个球颜色齐全但号码不全利用反面法计算是，然后根据古典概型求概率的计算公式直接可求出结果.

【详解】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是

故答案为：

8．已知X服从正态分布，且，则________.

【答案】/

【分析】根据正态分布曲线的对称性可得，再由得出答案.

【详解】由随机变量服从正态分布，根据其图形关于直线对称，

所以，则，

故答案为：

9．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm2.

【答案】

【分析】设，，由题意可得：，解得，进而根据扇形的面积公式即可求解．

【详解】解：如图，设，，

由题意可得：，

解得：，

所以，．

故答案为：．

【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．

10．已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为______．

【答案】

【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到，再根据双曲线的方程表示出渐近线方程，结合两直线平行斜率相等，即可得到方程组，解得即可；

【详解】解：对于直线：，令，解得，所以双曲线的一个焦点为，

双曲线的渐近线为，

依题意且又，解得，，

所以双曲线方程为；

故答案为：

11．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数__________（精确到0.001）．

【答案】

【分析】一组成对数据的平均值一定在回归方程上，可求得，再利用相关系数的计算公式算出即可.

【详解】由条件可得，

，

，

一定在回归方程上，代入解得，

，

，

，

，

故答案为：

12．已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.

【答案】/0.25

【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数的最大值.

【详解】因为，故的图象关于中心对称

当时，，

故的图象如图所示：

结合图象可得：只需当时，即可，

即，故，

故答案为：.

二、单选题

13．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.

【详解】由，可得，即；

由，可得或，即；

∴是的真子集，

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

14．以下能够成为某个随机变量分布的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.

【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，

显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0，

B选项满足要求.

故选：B

15．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（    ）

A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.

B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.

C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.

D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.

【答案】A

【分析】根据雷达图，对四个选项逐个分析，可选出答案.

【详解】根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A错误；

甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B正确；

甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C正确；

对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确.

故选：A.

【点睛】本题考查统计知识，涉及到雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.

16．已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.

【详解】由，得，

即函数的单调递减区间为，

令，则函数其中一个的单调递减区间为：

函数在区间内单调递减，

则满足，得，所以的取值范围是.

故选：D.

三、解答题

17．已知函数,

(1)求函数的最值；

(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的面积．

【答案】(1)最大值为2，最小值为

(2)或

【分析】(1)把化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；

(2)先求出角，由余弦定理得到关于的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含的方程，联立方程组即可解出的值，再代入三角形的面积公式即可.

【详解】（1）因为

，

所以的最大值为2，最小值为．

（2）结合(1)可知，所以．

因为，所以，

则．

由余弦定理得，

化简得①．

又，由正弦定理可得，即②．

结合①②得或．

时，；时，．

综上，的面积为或．

18．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；

(2)求点C到平面BED的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）取的中点，连接、，证明平面即可得解；

（2）在三棱锥中，利用等体积法即可求出点到平面的距离.

【详解】（1）取的中点，连接、，如图，

依题意，在中，，则，

而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且，

因为平面，且，则有，且，

从而得四边形为平行四边形，，

又平面，平面，

则平面，所以直线EC与平面ABD没有公共点；

（2）因为平面，平面，所以，

因为，，平面所以平面

因为，于是得平面，

因为平面，平面，所以，

因为，所以，

则等腰底边上的高，，

而，设点C到平面BED的距离为d，

由得，

即，解得，

所以点C到平面BED的距离为1

19．某农科所为了验证蔬菜植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性之间是否存在关联，随机抽取88棵植株，获得如下观察数据：33棵植株感染红叶螨，其中19株无枯萎病（即对枯萎病有抗性），14株有枯萎病；55棵植株未感染红叶螨，其中28株无枯萎病，27株有枯萎病．

(1)以植株“是否感染红叶螨”和“对枯萎病是否有抗性”为分类变量，根据上述数据制作一张列联表；

(2)根据上述数据，是否有95%的把握认为“植株感染红叶螨”和“植株对枯萎病有抗性”相关？说明理由．

附：，．

【答案】(1)答案见解析

(2)植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关，理由见解析

【分析】（1）数据分析填写列联表；

（2）在（1）的基础上，计算卡方，与3.841比较后得到答案.

【详解】（1）见下表．

（2）①提出原假设：植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关．

②确定显著性水平．

③计算的值，将列联表的数据代入的计算公式得

．

④统计决断：由，而，小概率事件没有发生，故不能否定原假设．

因此，植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关．

20．已知椭圆的左右焦点为，过（M不过椭圆的顶点和中心）且斜率为k直线l交椭圆于两点，与y轴交于点N，且.

（1）若直线l过点，求的周长；

（2）若直线l过点，求线段的中点R的轨迹方程；

（3）求证：为定值，并求出此定值.

【答案】（1）

（2）

（3）

【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求解；

（2）设直线l方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出相交弦中点的参数方程，消去参数，即可求出结论；

（3）表示成坐标关系，将用坐标表示，直线l方程与椭圆方程联立，消元整理为一元二次方程结合韦达定理，即可证明为定值.

【详解】（1）解：由题意椭圆的长轴长.

的周长为.

（2）由题意直线.

由得，

由题意恒成立.设，

则，

.

即（k为参数）.

消去k得点R的轨迹方程为.

（3）由得，

所以，同理，

由题意直线l的方程为，代入得

，由题意.

由韦达定理得

.

综上可知λ为定值.

【点睛】本题考查椭圆的定义，考查求轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的之间的关系以及定值问题，熟练掌握相交点坐标设而不求的方法，属于较难题.

21．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数m的取值范围；

(3)设，求证：．

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解；

（2）结合（1）分和两种情况讨论，易得当时， ，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得解；

（3），

令，则上式化为，再结合（2），构造函数，利用导数求出最值，即可得证.

【详解】（1）的定义域为，，

当时，，在上单调递增，

当时，在区间上，单调递增；

在区间上，单调递减，

综上，当时，的单调递增区间为，

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）由（1）知当时，在上单调递增，

∵，∴当时，，

因此在上不恒成立，

当时，由（1）知，

要使在上恒成立，则，

设，则由，得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

∴，当且仅当时等号成立，

又由题意，，

故，从而；

（3），

令，则上式化为，

下面证明：当时，有，

由（2）知当时，的最大值为，即，

也即（当且仅当时等号成立），

∵，∴，

设，则，

∴在上单调递增，因此，

即，也即，

综上，．

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．