2023届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第四次模拟考试数学试题含解析

2023届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第四次模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合,，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解方程组可得集合.

【详解】解方程组可得或或，

又因为,，则.

故选：D.

2．已知是虚数单位，复数满足，则（    ）

A．的实部为3 B．的虚部为1

C． D．在复平面对应的点在第二象限

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再一一判断即可.

【详解】因为，所以，

所以复数的实部为，虚部为，故A、B错误；

复数在复平面对应的点为，位于第一象限，故D错误；

，故C正确.

故选：C

3．第二十二届哈尔滨国际经济贸易谈洽会（简称“哈洽会”）将于2023年6月15日至19日在哈尔滨国际会展体育中心举办，搭建展示和对接的平台，进一步激活发展潜能，推动“一带一路”建设．本届“哈洽会”线下展览总面积共计6万平方米，拟设中俄地方经贸合作主题展区、港澳台及国际展区、省区市合作展区、产业合作展区、龙江振兴展区、机械设备展区六大展区、展区布局如图所示，则产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出基本事件总数，再利用捆绑法求出产业合作展区与龙江振兴展区相邻的事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】依题意基本事件总数为种，其中产业合作展区与龙江振兴展区相邻的事件有种，

故产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率.

故选：A

4．下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，做轴于点，可求出、、坐标，及、、，再由向量的坐标运算可得答案.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以，

由已知可得，，，

所以，，，

所以.

故选：B.

5．圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】B

【分析】首先求出直线恒过定点，依题意当时弦最小，求出直线的斜率，即可得解.

【详解】直线：，即，令，解得，

即直线恒过定点，又，所以点在圆内，

所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.

故选：B

6．如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取的中点，的中点，连接、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】取的中点，的中点，连接、，

因为是正三角形，所以，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，

所以，所以与所成角的余弦值为.

故选：A

7．已知锐角，满足，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.

【详解】因为，所以，

所以，所以，

即，即，

所以.

故选：C

8．函数、的定义域为，的导函数的定义域为，若，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，可得出，则（为常数），由可得出，再结合已知等式可推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性可求得的值.

【详解】设，则，

所以，函数为常值函数，设（为常数），

又因为，则，即，

所以，函数的图象关于直线对称，则，

因为，，

且函数、的定义域为，

所以，，所以，，则，

所以，，所以，函数是周期为的周期函数，

因为，则，

所以，，

所以，函数是周期为的周期函数，

因为，则，

所以，，故，

所以，函数为偶函数，

因为，所以，，故，

在等式中，令可得，则，

在等式中，令可得，

在等式中，令可得，

所以，，故，则，

所以，，，，，

因此，

.

故选：D.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；

（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；

（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.

二、多选题

9．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．则下列结论正确的是（    ）

A．

B．身高落在内的人数为50人

C．若从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取17人．则身高在的学生选取的人数为4人

D．若将学生身高由高到低排序，前的学生身高为级，则身高为142厘米的学生身高肯定不是级

【答案】ABC

【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，得到方程求出的值，即可判断A，再根据频率分布直方图计算B、C，根据百分位数计算规则判断D.

【详解】由频率分布直方图可得，解得，故A正确；

身高落在内的人数为人，故B正确；

样本中，，的频率之比为，

所以身高在的学生选取人，故C正确；

将学生身高由高到低排序，第分位数设为，则，解得，

因为，故身高为厘米的学生身高肯定是级，故D错误；

故选：ABC

10．已知曲线：为焦点在轴上的椭圆，则（    ）

A． B．的离心率为

C．的短轴长的取值范围是 D．的值越小，的焦距越大

【答案】AC

【分析】先把椭圆的方程化为标准形式，然后根据椭圆的几何性质逐项求解即可.

【详解】曲线：为焦点在轴上的椭圆，

则曲线的标准方程为，其中，

因为的焦点在轴上，所以，即，故A正确；

的离心率为，故B错误；

的短轴长，当时，，故C正确；

的焦距，当时，；当时，，故D错误．

故选：AC．

11．如图，矩形中，、分别为、的中点，且，现将沿问上翻折，使点移到点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）

A．存在点，使得

B．存在点，使得

C．三棱锥的体积最大值为

D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为

【答案】BCD

【分析】由立体几何的线线平行，线面垂直判定定理，外接球的表面积公式逐项判断即可.

【详解】对于A，，，因此不平行，

即不存在点，使得.故A错误；

对于B，如图：

取的中点，连接，，，,当时，

因为，即.则，

而，，平面，

又分别为，的中点，

即，于是平面，而平面，

则，故B正确；

对于C，在翻折过程中，令与平面所成角为，

则点到平面的距离 ，

又的面积为，

因此三棱锥的体积为：，

当且仅当时，即平面时取等号，

所以三棱锥的体积最大值为，故C正确；

对于D，当三棱锥的体积达到最大值时，

三棱锥外接球的球心为，

故球的半径为1，则球的表面积为.故D正确.

故选：BCD.

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A，取即可判断；对于B，求得，再结合基本不等式即可判断；对于C，利用基本不等式可得，求解不等式即可判断；对于D，，再利用函数的单调性即可判断.

【详解】对于A，取，满足，但不满足， A错；

对于B，，

即，所以，当且仅当时，等号成立，B对；

对于C，，令，所以，

即，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，C对；

对于D，，

令，由C选项可知，，

而函数在单调递增，所以，当且仅当，即时，等号成立，

所以，D对.

故选：BCD.

三、填空题

13．的展开式中的系数是______．

【答案】288

【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数.

【详解】，考虑展开式中的系数.

而展开式的通项公式为，

令，则，令，则，

故展开式中的系数为：

，

故答案为：.

14．已知直线与抛物线（）交于、两点，且，于点，点的坐标为，则______．

【答案】

【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程，由知，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系代入计算求出值.

【详解】

，，

，，则直线的方程为：，即，

设，

联立，消去得：，

，

，，

.

故答案为：.

15．有理数都可以表示成（、且，与互质）的形式，进而有理数集可表示为．任何有理数，都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数表示成的形式为______．

【答案】

【分析】根据，可得出的分数表示形式.

【详解】因为，故，且与互质，故.

故答案为：.

四、双空题

16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤第一次变成1（简称为8步“雹程”）．当时，需要______步“雹程”；若经过8步“雹程”次变成1，则所有可能的取值集合______．

【答案】     12    

【分析】根据题设给出的操作策略可求的“雹程”，利用倒退结合8步“雹程”可求所有可能的取值集合.

【详解】当时，对应的“雹程”为：

，

共有12步“雹程”.

因为经过8步“雹程”第一次变成1，倒退可得如下所有“雹程”.

,

故所有可能的取值集合，

故答案为：12，.

五、解答题

17．已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列为等比数列．

（2）若，求满足条件的最大整数n．

【答案】（1）证明见解析； （2）.

【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；

（2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解.

【详解】（1）由题意，数列满足，可得，

可得，即，

又由，所以，

所以数列表示首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）可得，所以

设数列的前项和为，

则

，

若，即，

因为函数为单调递增函数，

所以满足的最大整数的值为.

18．三棱台中，平面，，且，，是的中点．

(1)求三角形重心到直线的距离；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立坐标系，点作，求出，进而得出三角形重心到直线的距离；

（2）利用向量法得出二面角.

【详解】（1）因为，所以，

过点作平面的垂线，建立如图所示空间直角坐标系，则

，，，，，

过点作，设，

.

则.

因为，

所以，解得，

所以，．

即三角形重心到直线的距离为.

（2），，

设平面的法向量，则

取，则

设平面的法向量，则

取，则

所以，

由图可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为．

19．将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

(1)若，求函数在区间上的最大值；

(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由函数图象变换知识可得，后由单调性可得最值情况；（2）由（1）结合题意可知，.后由

可进一步确认大致范围，后可得答案.

【详解】（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：

，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），

则解析式变为.则.

当时，，

因函数在上单调递减，在上单调递增，

，.

∴，∴在区间上的最大值为．

（2），当时，，

要使在上无零点，则，.

，，，，

当时，；当时，，

当时，舍去．

综上：的取值范围为．

20．生产某种特殊零件的废品率为（），优等品的概率为0.4，若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为，设的最大值点为．

(1)求；

(2)若工厂生产该零件的废品率为．

（ⅰ）从生产的产品中随机抽取个零件，设其中优等品的个数为，记，，已知时优等品概率最大，求的最小值；

（ⅱ）已知合格率为，每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）12；（ⅱ）30

【分析】（1）根据二项分布求出的解析式，利用函数的单调性求解；

（2）（i）根据二项分布，写出的分布列，再根据最大求出n的范围；

（ii）根据数学期望求出最高维修费用.

【详解】（1）由题意得：

，（）

，

所以，在递增，在递减，

当时，取最大值；

（2）（ⅰ）设优等品的个数为，则，

，，

若时，有最大值，则 ，即 ，解得，

所以的最小值为12；

（ⅱ）设工厂生产一个零件获利元，零件的修复费用为元

则的可能取值为：70，，

， ，  

，,

所以，一个零件需要修复费用最高为30元；

综上，（1），（2）（i）的最小值为12，（ii）一个零件需要修复费用最高为30元.

21．已知函数和有相同的最大值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ；

（2）设，由（1）确定，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数存在两个零点，得与的图象有两个交点，同理得与也有两个交点，于是为满足题意有两个交点重合，结合可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结论成立.

【详解】（1）定义域是，的定义域是，

因为，

当时，,,

,,

则在上单调递减，在单调递增，不存在最大值，

在上单调递减，在单调递增，也不存在最大值；

同理知当时，在上单调递增，在单调递减，

在上单调递增，在单调递减，

所以有极大值，即的最大值，

有极大值，即的最大值，

所以，即；

（2）由（1）知，

由于时，，时，，因此只有才可能满足题意，

记，且，

由（1）得在上单调递增，在单调递减，

且，

所以存在，使得，

设，则，

设，则，

时，，递减，时，，递增，

所以，

所以，是增函数，时，，

，

又，所以存在，使得，

即此时与有两个交点，

其中一个交点在内，另一个交点在内，

同理与也有两个交点，

其中一个交点在内，另一个交点在内，

若与和共有三个不同的交点，

则其中一个交点为两条曲线和的公共点，记其横坐标为，

令，则，

记与的三个交点的横坐标从左到右依次为，

且满足，

且，即，

又，且，

且在和上分别单调，所以，即，

所以为的等比中项，

所以从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），其次通过函数式关系找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.

22．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点．

(1)求的方程；

(2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由双曲线的渐近线方程及焦距求解双曲线的方程即可；

（2）设出直线的方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，与直线，，联立最终得到点的轨迹方程，即可求解.

【详解】（1）依题意：.

（2）证明：如图：

设、，，

直线：，即：.

（记，）代入中得：

.

所以，.

又因为直线：、直线：联立得：

.

.

.

.

即或（舍）.

所以.

所以，点轨迹为，以为圆心，2为半径的圆上，所以，.