2023届宁夏石嘴山市第三中学高三第四次模拟数学（理）试题含解析

这是一份2023届宁夏石嘴山市第三中学高三第四次模拟数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届宁夏石嘴山市第三中学高三第四次模拟数学（理）试题 一、单选题1．在复平面上，复数对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】化简可得，根据复数的几何意义得出点的坐标，即可得出答案.【详解】因为，所以，在复平面上，复数对应的点为.故选：C.2．已知全集，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用补集的定义求解作答.【详解】集合，而全集，所以.故选：A3．对于直线和平面，"直线不在平面上"是""的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面之间的关系即可得解.【详解】直线不在平面上或与相交，故"直线不在平面上"是""的必要不充分条件.故选：B.4．我国是人口大国，21世纪以来的22年中（2001-2022年），人口出生数量（万）的变化趋势如下图所示，则下列说法错误的是（    ）A．22年中，人口出生数量的极差大于900万B．22年中，人口出生数量的中位数是1606万C．22年中，按平均数来考查，人口出生数量最近4年的平均数与最初4年的平均数之差的绝对值大于500万D．近6年，人口出生数量呈现逐年下降的趋势【答案】C【分析】根据折线统计图的数据一一分析即可.【详解】这22年中，人口出生数量的极差为，故A正确；将这年人口出生数量从小到大排列为：956，1062，1202，1465，1523，1584，1593，1594，1596，1599，1604，1608，1615，1617，1635，1640，1647，1655，1687，1702，1765，1883，所以人口出生数量的中位数为，故B正确；最近4年人口出生数量的平均数为，最初4年人口出生数量的平均数为，由于，故C错误；由题图可知，近6年，人口出生数量呈现逐年下降的趋势，故D正确．故选：C．5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减【答案】D【分析】根据给定条件，求出变换后的函数解析式，再探讨在两个指定区间上的单调性作答.【详解】函数，即，将其图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是，当时，，因为余弦函数在上不单调，因此函数在上不单调，AB错误；当时，，因为余弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，C错误，D正确.故选：D6．在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ）A．28 B．20 C．18 D．12【答案】A【分析】由等比数列的通项公式求出，再由等比数列的前项和公式代入化简即可得出答案.【详解】根据题意得，，解得或（舍），则.故选：A.7．已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】求出双曲线C渐近线的斜率，与已知直线斜率的乘积等于-1，即可求解.【详解】由题意，双曲线的方程为： ，斜率为 和 ，直线 的斜率为 ，因为两直线垂直，则有 ，即 ，（ ，显然这是不可能的），或 ， ；故选：A.8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（    ）A． B． C． D．5【答案】A【分析】根据三视图还原几何体，将几何体放入长方体中，进而得出该几何体的外接球与长方体的外接球相同，再利用长方体的体对角线等于外接球的直径即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是四棱锥，放入长、宽、高分别为4长方体中，如图所示,所以该几何体的外接球与长方体的外接球相同，即长方体的体对角线等于外接球的直径，设该几何体的外接球半径为，则，解得.所以该几何体的外接球半径为.故选：A.9．二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（    ）A．3 B． C．或 D．或【答案】C【分析】先根据二项展开式的通项求出参数，在根据定义求定积分.【详解】依题意，展开式第二项的系数为：，故，于是，.故选：C10．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表示出，化简可得.【详解】在中，由正弦定理可得在中，易知，则整理可得故选：D11．若函数有两个极值点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求的范围.【详解】因为函数有两个极值点，又函数的定义域为，导函数为，所以方程由两个不同的正根，且为其根，所以，，，所以，则，又，即，可得，所以或（舍去），故选：C.12．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将变形，可得，，由此可构造函数和，利用导数可求得单调性，进而确定，，由此可得大小关系.【详解】，，设，则，在上单调递增，，即，；，，设，则，在上单调递减，，即，，即；综上所述：.故选：D. 二、填空题13．已知向量，且，则___________.【答案】【分析】利用向量线性关系的坐标运算得，根据向量垂直的坐标公式列方程求参数即可.【详解】由题设，且，所以，则.故答案为：14．已知，则__________.【答案】2【分析】利用两角和的正弦公式，化简求，再化简求值.【详解】已知，所以，，.故答案为：215．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为_______．【答案】120【详解】解：∵用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．由B层中每个个体被抽到的概率都为1 12 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是1 /12 ，∴总体中的个体数为10÷1 /12 =120． 16．对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，现新定义：若满足，则称为的次不动点，有下面四个结论①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点．④不存在正整数m，使得函数在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为__________．【答案】②③【分析】举反例偶函数，利用“不动点”、“次不动点”的定义即可判断①；对于②结合奇函数定义及性质即可判断；对于③首先利用“不动点”定义得到及利用“次不动点”的定义得，再分离变量，利用函数单调性即可求得a的取值范围；对于④利用“不动点”得到，分离变量后得到，将问题转化为函数零点问题即可求解.【详解】对于①:取函数，，既是的不动点，又是的次不动点，故①错误；对于②:定义在上的奇函数满足，故②正确；对于③:当时， ，即.令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；当时，即.令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；综上时函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正确;对于④:假设函数在区间上存在不动点，则在上有解，即在上有解，令，则，再令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上 恒成立，所以在上单调递增，所以，，所以实数满足，存在正整数满足条件，故④错误：故答案为：②③【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，难度较大.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 三、解答题17．根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】(1)(2)分布列见解析，，甲比乙闯关成功的可能性大 【分析】（1）可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；（2）直接求出甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论.【详解】（1）记乙闯关成功为事件A，所以.（2）由题意知随机变量X是所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P 所以.所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.18．已知数列满足，（）.记(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由等比数列定义证明即可；（2）使用错位相减法求和即可.【详解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知数列中任意一项不为，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由第（1）问，，∴，∴设数列的前项和为，则①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴数列的前项和为.19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.(1)求证：；(2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：因为E为AD中点，所以．又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DEBC，所以四边形BCDE为平行四边形．所以BECD．又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，所以BE平面PCD．因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，所以BEFG．.（2）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD，所以PE⊥AE，且PE⊥BE．因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，所以AE⊥BE．以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz．则．设，所以，．因为PC与AB所成角为，所以．所以．则，．所以，，．设平面BEF的法向量为，则，即令，则，所以．所以．所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为．20．已知函数．(1)设．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)①；②有极大值.(2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率，根据点斜式即可求解切线方程；利用导数讨论函数单调性即可求解极值问题.（2）由题意，转化为方程有两个解，即直线与函数，有两个交点，构造，求导得到其单调性，数形结合，即可求出a的取值范围.【详解】（1）①当时，，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．②令得，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.（2）因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，即在上有两个解，记，，则直线与函数，有两个交点，则，记，则，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，令得，又，所以当时，，，函数单调递增，当时，，，函数单调递减，又，，如图，由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数，求参数的取值范围的常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解；（3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题．21．已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点．(1)求椭圆C的方程；(2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求出，然后根据的关系即可求解；（2）设，得到，将的方程与曲线方程联立，利用韦达定理得到，，代入进而利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由，得，∴椭圆C的方程是；（2）设，根据题意设的方程为：，由题意知，，     将，代入中，整理得，，又，．，，同理可得，，                                （当且仅当时取等号）的最大值是．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)已知点，曲线与曲线交于，两点，求的值．【答案】(1)曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为.(2) 【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程；根据，，可得曲线的直角坐标方程；（2）将曲线的参数方程化为标准形式，将的参数方程的标准形式代入的直角坐标方程，根据直线参数方程中参数的几何意义可求出结果.【详解】（1）由，消去得，则曲线的普通方程为.由，得，根据，，得.所以曲线的直角坐标方程为.（2）将曲线化为，（为参数），易知在曲线上，联立，得，设点对应的参数分别为，则，，所以.23．已知函数的最小值为m.（1）求m的值；（2）若实数a，b满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由绝对值三角不等式可得，即可得解；（2）由柯西不等式可得，结合即可得解.【详解】（1）由题意，当且仅当时等号成立，故；（2）由题意，由柯西不等式得，当且仅当，时，等号成立，∴，故的最小值为.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.