2023届安徽省合肥一六八中学高三最后一卷数学试题含解析

这是一份2023届安徽省合肥一六八中学高三最后一卷数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届安徽省合肥一六八中学高三最后一卷数学试题 一、单选题1．已如集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，先将集合化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为或，则，所以.故选：A2．设是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据题意，由复数的运算化简复数，即可得到结果.【详解】由，得，所以，故选：3．“”是“方程表示椭圆”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示椭圆的条件求解.【详解】方程表示椭圆，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.4．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意作出正四棱台的对角面，为外接球球心，为线段中点，过点作，垂足为，则即为所求角.【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，如图为正四棱台上底面正方形对角线，为正四棱台下底面正方形对角线，为外接球球心，为线段中点，则，过点作，垂足为，则即为所求角.因为，所以，所以，所以，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.  故选: D.5．在数列中，已知，当时，是的个位数，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.【详解】因为，当时，是的个位数，所以，，，，，，，，，，可知数列中，从第3项开始有，即当时，的值以6为周期呈周期性变化，又，故.故选：C.6．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（    ）A．      B．  C．   D．  【答案】C【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案.【详解】令，求导得，当时，由解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当和时，取极大值；当时，取极小值，由于，可得，当时，结合图象，只有C选项满足．故选：C．7．在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律结合，求出，继而根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得答案.【详解】因为点分别为和的中点，  ，所以，又，故选：B.8．定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知计算出，画出图象，计算，解得，从而求出的最小值.【详解】由题意得，当时，故，当时，故，可得在区间上，，所以当时，，作函数的图象，如图所示，  当时，由，则，所以的最小值为故选：B 二、多选题9．某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是（    ）A．如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人B．该校全体高三学生的身高均值为171C．抽取的样本的方差为44.08D．如果已知男､女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值【答案】AC【分析】利用分层抽样计算即可判断选项A；代入均值与方差公式即可判断选项BC；因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适，可以判断D.【详解】根据分层抽样，抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有正确；样本学生的身高均值，B错误；抽取的样本的方差为，C正确；因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D错误.故选：AC10．已知函数，则下列说法正确的有（    ）A．若，则B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．函数的最小正周期为D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为【答案】ABD【分析】对A：必有一个最大值和一个最小值可求；对B：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C：化简后求周期；对D：求出的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.【详解】由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，故正确；由题意的图象关于轴对称，B正确；的最小正周期为C错误.，在上有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：，则，D正确；故选：ABD11．正四棱锥中，高为3，底面是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（    ）A．到平面的距离为B．向量在向量上的投影向量为C．棱锥的内切球的半径为D．侧面所在平面与侧面所成锐二面角的余弦值为【答案】BD【分析】补形成长方体，在长方体中作出所求距离，利用等面积求解可判断A；根据投影向量的几何意义可判断B；利用等体积法可判断C；利用长方体作出平面角，由余弦定理可得.【详解】  补形为长方体.如图，  记，的中点分别为P，Q，作于点W,易知，，，在中，,即,解得.易知,CW为CD到平面距离，A错误；根据投影向量概念知：向量在向量上的投影向量为向量.即为，所以B正确；即AB中点为N，连接MN，ON，易得，所以，，由等体积求内切球半径,得，，所以C错误；连接，由长方体性质可知是所求二面角的平面角，在中由余弦定理得：正确.故选：BD12．已知数列满足，曲线和有交点，且和在点处的切线重合，则下列结论正确的为（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】依题意，有，且，解得，，对于A，由于，从而可得结论，对于B，构造函数，然后利用导数判断其单调性，再利用单调性判断即可，对于C，由于，从而可判断数列为正项递增数列，进而可判断，对于D，只需证，令，然后只要证，构造函数，利用导数只要证明其最小值大于零即可【详解】依题意，有，且，解得，，（1）考查选项A：显然，即，故选项A正确；（2）考查选项B：构造函数，则，显然当时，，即在上单调递增，从而为递增数列，又，故，，易知选项B错误；（3）考查选项C：由，可知，即为正项递增数列，亦为正项递增数列，故数列为正项递增数列，又，易知选项C错误；（4）考查选项D：易知，需证，只需证， 令，则，只需证，，令，，则，易知单调递减，故当时，，从而选项D正确；故选：AD. 三、填空题13．的展开式中含项的系数为__________.【答案】【分析】求出二项展开式的通项公式，由题设中的指定项可得项数即可作答.【详解】的展开式的通项为，则展开式中含的项有，即，所以展开式中含项的系数为.故答案为：14．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.【答案】150【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可.【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点，总方法数为.故答案为：150.15．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为____.【答案】16【解析】设出直线方程为，，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理，由弦长公式求得弦长，用，代替得弦长，求出，用基本不等式求得最小值．【详解】由题意抛物线焦点为，显然直线的斜率都存在且都不为0，设直线方程为，，由，得，所以，，，同理可得．所以，当且仅当时等号成立．故答案为：16．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求思想方法，即设出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得得，然后由弦长公式求得弦长． 四、双空题16．设，定义的差分运算为.用表示对a进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.（1）已知，则的深度为__________.（2）中深度为的数组个数为__________.【答案】     4     【分析】利用新定义和集合的运算性质即可得出结论.【详解】空1：因，则，，，.故答案为：空2：易知中仅有一组，中深度的数组仅1组，中深度的数组仅2组，中深度的数组仅4组，中深度的数组仅组，所以中深度为的数组仅有组.【点睛】关键点睛：本题考查新定义和集合运算的综合应用能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质. 五、解答题17．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.球数构成一个数列，满足且.  (1)求数列的通项公式；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用累加法求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）（1）因为，所以，所以当时，，当时，上式也成立，所以；（2）由，所以.18．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.  (1)求角；(2)若的面积为，求的周长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角恒等变化可得，进而可得，即可求解，（2）利用正弦定理得，结合余弦定理即可联立方程求解.【详解】（1），则，故，所以，可得（负值舍），由，所以.（2）如图，连接，由正弦定理得 ，,则，  正面积，而，则，在中，由余弦定理得：，即，则，在中，，由余弦定理得，则，，所以的周长为19．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，其中四边形是边长为4的正方形，点是半圆弧上的动点，且四点共面.  (1)若点为半圆弧的中点，求证：平面平面；(2)是否存在点，使得直线与平面所成的角是？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）连接，证明，从而可证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接，如图所示：  若点为半圆弧的中点，则，所以，即，因为，所以，又面，所以平面平面，则平面平面；（2）假设存在点，使得直线与平面所成的角为，以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，设，则，所以，设平面的法向量为，由，得，令，则，即，则，整理得，与矛盾，所以不存在，  20．已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足，且.(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线过点，过圆上一点作圆的切线，直线交双曲线于两点，且的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义结合余弦定理列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率不存在与存在讨论，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可得到结果.【详解】（1）由对称性可知：，故，由双曲线定义可知：，即，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，即，解得：，故离心率为.（2）  因为双曲线过点，所以双曲线方程：当直线的斜率不存在时，则直线的斜率不存在时不成立.当直线的斜率存在时，设直线的方程为又点到直线距离，联立，消去得，则，由的面积为，即，将代入上式得，或，即或，经检验，满足，直线的方程为：或【点睛】关键点睛：本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与双曲线相交问题，难度较难，解答本题的关键在于联立直线与双曲线方程表示出，结合面积公式列出方程.21．已知函数，其中.(1)若时，有极值，求的值；(2)设，讨论的零点个数.【答案】(1)，(2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求导得，然后由条件列出方程，即可得到结果.（2）方法一：根据题意，分与，结合零点存在定理，分情况讨论即可；方法二：根据题意，将函数零点转化为方程的根，再由导数研究其单调性与极值，即可得到结果.【详解】（1）.由题意得且，即，联立解得，.经检验，符合题意.（2）方法一：定义域是.由条件知，.当时，单调递增；当时，单调递减.故是的极大值点，且极大值为.当时，，此时有一个零点.当时，.记，则.取，则，，根据零点存在定理，当时，存在一个零点.取，则.由零点存在定理可知，当时，存在一个零点，此时有两个零点.综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.方法二：由题意，函数的零点即方程的根，即方程的根，即的根，记，：由，得到，当时，单调递增，时，单调递减，又，因为，当趋向正无穷时，趋向负无穷，且的最大值为，综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.22．在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值的随机变量，分别记作和.条件概率，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量的平均信息量定义为：.当时，信道疑义度定义为(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数的平均信息量；(2)设某信道的输入变量与输出变量均取值0，1.满足：.试回答以下问题：①求的值；②求该信道的信道疑义度的最大值.【答案】(1)2.40(2)①；②1 【分析】（1）充分理解题意，利用随机变量的平均信息量定义解决本小题；（2）由全概率和条件概率公式解决本小题.【详解】（1）设表示扔一非均匀股子点数，则123456 扔一次平均得到的信息量为.（2）①由全概率公式，得②由题意，.所以，;其中.令.时时，,.