备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(六)　函数的奇偶性与周期性

课时验收评价(六)　函数的奇偶性与周期性

一、点全面广强基训练

1．(2023·北京中关村中学高三阶段练习)下列函数中，图象关于坐标原点对称的是(　 )

A．y＝lg x  B．y＝|sin x|

C．y＝ex  D．y＝x－

解析：选D　对于A选项，函数y＝lg x定义域为(0，＋∞)，不满足；对于B选项，函数y＝|sin x|为偶函数，关于y轴对称，不关于原点对称，不满足；对于C选项，函数y＝ex图象不关于原点对称，不满足；对于D选项，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，是奇函数，故图象关于原点对称．

2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝(　 )

A．3  B．－3  C．2  D．－2

解析：选B　由题意，得f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.

3．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a2x－a－2x＋1(a>0且a≠1)，则f(1)＝(　 )

A．－1  B．0  C．1  D．2

解析：选C　由题意，得f(1)＋g(1)＝a2－a－2＋1　①，f(－1)＋g(－1)＝a－2－a2＋1.因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(1)－g(1)＝a－2－a2＋1　②.联立①②，解得f(1)＝1，故选C.

4．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f 等于(　 )

A.  B．  C．1  D．

解析：选C　因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π.所以f＝f＝f＝f，又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin，所以f＝2sin＝1.

5．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝(　 )

A．－  B．－  C.  D．

解析：选C　由f(x)是定义域为R的奇函数，得f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，则f(x)是以2为周期的周期函数．所以f＝f＝f＝.故选C.

6．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f的值为________．

解析：由已知可得f＝ln＝－2，所以f＝f(－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.

答案：ln 2

7．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.

解析：∵f(x)＝xln(x＋)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，从而ln[()2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.

答案：1

8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是____________．

解析：当x>0时，lg x>0，所以x>1，

当x<0时，由奇函数的对称性得－1<x<0.

答案：(－1,0)∪(1，＋∞)

9．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知解得1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

二、重点难点培优训练

1．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　 )

A．f＝0  B．f(－1)＝0

C．f(2)＝0  D．f(4)＝0

解析：选B　∵f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．又∵f(2x＋1)是奇函数，∴f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．∴f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0.故B正确．

2．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　 )

A. 

B.∪(1，＋∞)

C. 

D.∪

解析：选A　易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得<x<1.

3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．

解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数．证明如下：f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，所以x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．