备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（六十九） 古典概型与几何概型

课时验收评价（六十九） 古典概型与几何概型

1．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟的方法估计三只豚鼠中被感染的概率．先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数，指定1,2,3,4表示被感染，5,6,7,8,9,0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：

据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为(　 )

A．0.2  B．0.3 

C．0.4  D．0.5

解析：选B　20组随机数中，表示有两只被感染的有192,271,932,812,393,127，共有6组，故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为＝0.3.故选B.

2．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋an＋1，现从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是(　 )

A.        B.        C.  D.

解析：选A　由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，所以基本事件数共有12个，其中质数有2,3,5,13,89，共5个，故是质数的概率为P＝.故选A.

3．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为10秒，绿灯的时间为50秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为(　 )

A.        B.         C.  D.

解析：选B　由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为40＋10＋50＝100秒，绿灯的时间为50秒，所以当到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为P＝＝.

4．袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是(　 )

A.         B.         C.  D.

解析：选D　基本事件总数为C＝220(种)，此人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝60(种)，故所求概率为＝.故选D.

5．在区间(－2,2)内随机取一个数x，使得4x<x－3的概率为(　 )

A.         B.          C.  D.

解析：选C　由题可知4x<x－3，则x<－1，所求概率P＝＝.故选C.

6．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　 )

A.  B.  C.  D.

解析：选A　由题意可知m＝(a，b)有12种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求的概率为.

7．(2023·岳阳一模)“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线，一直受到广大旅游爱好者的欢迎．现有4名高三学生准备高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为(　 )

A.  B. 

C.  D.

解析：选B　假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，基本事件总数为44＝256，恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数为CA＝144，则恰有一个地方未被选中的概率P＝＝.故选B.

8．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为(　 )

A.  B. 

C.  D.

解析：选C　由题意可得

即

解得0≤x≤，故所求的概率为＝.

9．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为(　 )

A.        B.          C.  D.

解析：选B　从24个节气中选择4个节气，共有C种情况，这四个节气中含有“立春”的情况有C种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为＝.故选B.

10．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(　 )

A.  B. 

C．1－  D．1－

解析：选D　直角三角形的斜边长为＝17，设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.

11．已知Ω＝{(x，y)|x2＋y2<1}，在Ω中任取一点P(x，y)，则事件“|x|＋|y|<1”发生的概率为(　 )

A.  B．1－ 

C.  D.－1

解析：选C　如图，Ω＝{(x，y)|x2＋y2<1}表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部的区域，其面积为π.事件“|x|＋|y|<1”表示点P(x，y)，落在以A(1,0)，B(0,1)，C(－1,0)，D(0，－1)为顶点的正方形ABCD及其内部，其面积为2，故概率为P＝.

12．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

解析：从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种)．其中4个点共面有以下两种情况：

(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；

(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．

所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝＝.

答案：

13．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．

解析：从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C种情况，其中甲、乙都入选有C种情况，所以甲、乙都入选的概率P＝＝.

答案：

14．十一国庆节放假五天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在五天中随机选一天，乙同学在前三天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为________．

解析：若甲同学在五天中随机选一天，乙同学在前三天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则基本事件总数n＝CC＝15，他们在同一天去包含的基本事件个数m＝C＝3，则他们在同一天去的概率为P＝＝＝.

答案：