备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(二十一)　任意角和弧度制、三角函数的概念

课时验收评价(二十一)　任意角和弧度制、三角函数的概念

一、点全面广强基训练

1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　 )

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选C　设扇形的半径为r(r>0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.

2．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝(　 )

A．150°  B．135°

C．300°  D．60°

解析：选C　由sin 150°＝>0，cos 150°＝－<0，可知角α终边上一点的坐标为，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.

3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－2,3]  B．(－2,3)

C．[－2,3)  D．[－2,3]

解析：选A　由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得－2＜a≤3.

4．在平面直角坐标系xOy中，α为第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且sin α＝，则y的值为(　 )

A.  B．－

C.  D．或

解析：选C　由题意知|OP|＝，

则sin α＝＝，

解得y＝0(舍去)或y＝±，

因为α为第二象限角，所以y>0，则y＝.

5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　 )

A．1  B．－1

C．3  D．－3

解析：选B　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

6．已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则(　 )

A．α>β  B．α<β

C．cos α>cos β  D．tan α>tan β

解析：选D　因为α，β是第一象限角，

所以sin α>0，sin β>0，

又sin α>sin β，所以sin2α>sin2β>0，

所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α<cos2β，

所以>>0，所以tan2α>tan2β，

因为tan α>0，tan β>0，

所以tan α>tan β.故选D.

7．在平面直角坐标系xOy中，60°角终边上一点P的坐标为(1，m)，则实数m的值为________．

解析：∵60°角终边上一点P的坐标为(1，m)，

∴tan 60°＝，∵tan 60°＝，∴m＝.

答案：

8．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.

解析：由已知tan α＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，

∴m2＝1，又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.

∴m－n＝2.

答案：2

9．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．

解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.

答案：1　2　1

10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为________．

解析：设角α终边上任一点为P(k，－3k)，

则r＝＝|k|.

当k＞0时，r＝k，

所以sin α＝＝－，＝＝，

所以10sin α＋＝－3＋3＝0；

当k＜0时，r＝－k，

所以sin α＝＝，＝＝－，

所以10sin α＋＝3－3＝0.

综上，10sin α＋＝0.

答案：0

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．

解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.

(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，

故与角α终边相同的角β的集合为

.

二、重点难点培优训练

1．设角α属于第二象限，且＝－cos，则角属于(　 )

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C　∵α为第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，

∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)；

当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角；

∴为第一或第三象限角；

∵＝－cos，∴cos<0，

∴为第三象限角．

2．“角α，β的终边关于x轴对称”是“sin α＋sin β＝0”的(　 )

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　由角α，β的终边关于x轴对称，可知sin α＝－sin β，即sin α＋sin β＝0成立，

当sin α＋sin β＝0时，角α，β的终边关于x轴对称或α＝β＋kπ，

所以“角α，β的终边关于x轴对称”是“sin α＋sin β＝0”的充分不必要条件．

3．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(t，－)(t>0)，则(　 )

A．cos 2θ>0  B．cos 2θ<0

C．sin 2θ>0  D．sin 2θ<0

解析：选D　由题意知，设坐标原点为O，则OP＝，t>0，由三角函数的定义，得cos θ＝＝，sin θ＝＝，

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝<0，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，

当0<t<1时，cos 2θ<0；当t≥1时，cos 2θ≥0.

4.如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若AB＝4，则该月牙形图形的面积为(　 )

A．4  B．2  C.π  D．2

解析：选D　记月牙形图形的面积为S1，曲线AFC与弦AC围 成的弓形面积为S2，连接OC，因为AC＝ ＝2，

所以S1＝π×()2－S2＝π×2－＝S△AOC＝2.