备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(四)　函数及其表示

课时验收评价(四)　函数及其表示

一、点全面广强基训练

1．函数y＝的定义域为(　 )

A．(－∞，－1]  B．[1,2)∪(2，＋∞)

C．[－1,1]  D．∪

解析：选D　要使得函数y＝有意义，必须满足解得－1≤x<－或－<x≤1，即x∈∪，故选D.

2．下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是(　 )

A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x

B．f(x)＝x，g(x)＝()2

C．f(x)＝x，g(x)＝

D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a＞0且a≠1)

解析：选D　对于选项A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于选项B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于选项C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于选项D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数．

3．(2022·北京高考)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　 )

A．f(－x)＋f(x)＝0  B．f(－x)－f(x)＝0

C．f(－x)＋f(x)＝1  D．f(－x)－f(x)＝

解析：选C　函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝1，故选C.

4．已知函数f(x)＝则f的值为(　 )

A．－1  B．1 

C.  D．

解析：选B　依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1.故选B.

5．已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)<f(3x－2)的实数x的取值范围是(　 )

A．(－∞，0]  B．(3，＋∞)

C．[1,3)  D．(0,1)

解析：选B　由f(x)＝可得当x<1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log22＝1，要使得f(2x＋1)<f(3x－2)，则解得x>3，即不等式f(2x＋1)<f(3x－2)的解集为(3，＋∞)，故选B.

6．已知函数f(2x)＝log2x＋x，则f(4)＝________.

解析：令x＝2，则f(22)＝f(4)＝log22＋2＝1＋2＝3.

答案：3

7．已知函数f(x)＝若f(a)＝2，则实数a＝________.

解析：当a≥0时，令a2＋1＝2，解得a＝1；当a<0时，令＝2，解得a＝－，故a＝1或a＝－.

答案：1或－

8．已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，则函数y＝的定义域为________．

解析：已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，对于函数y＝，有即解得0<x<1.因此，函数y＝的定义域为(0,1)．

答案：(0,1)

9．已知函数f(x)＝＋.

(1)求函数的定义域；

(2)求f的值；

(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．

解：(1)由题意，得解得x≥－3且x≠－2，

所以函数f(x)的定义域为{x|x≥－3且x≠－2}．

(2)f＝＋＝＋.

(3)f(a)＝＋，f(a－1)＝＋＝＋.

10．根据下列条件，求f(x)的解析式．

(1)已知f(x)满足f(x＋1)＝x2＋4x＋1；

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；

(3)已知f(x)满足2f＋f(x)＝x(x≠0)．

解：(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，

故f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2，

所以f(x)＝x2＋2x－2.

(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，

所以3k(x＋1)＋3b－kx－b＝2x＋9，

即2kx＋3k＋2b＝2x＋9，

所以解得

所以f(x)＝x＋3.

(3)因为2f＋f(x)＝x(x≠0)，　①

所以2f(x)＋f＝，　②

2×②－①得3f(x)＝－x，

所以f(x)＝－(x≠0)．

二、重点难点培优训练

1．设a为常数，f(0)＝，f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x)，则(　 )

A．f(a)＝1

B．f(x＋y)＝f(x)f(y)

C．满足条件的f(x)不止一个

D．f(x)＝恒成立

解析：选D　令x＝y＝0，可得f(0)＝2f(0)f(a)，因为f(0)＝，所以f(a)＝，故A不正确；令y＝0，得f(x)＝f(x)f(a)＋f(0)f(a－x)，代入f(a)＝，得f(a－x)＝f(x)，原等式变形为f(x＋y)＝2f(x)f(y)，故B不正确；在f(x＋y)＝2f(x)f(y)中，令y＝x，得f(2x)＝2[f(x)]2，即函数取值非负，令y＝a－x，得f(a)＝2[f(x)]2，所以＝2[f(x)]2，即f(x)＝恒成立，满足条件的f(x)只有一个，故D正确，C不正确．

2．设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　 )

A．(－∞，－1]  B．(0，＋∞)

C．(－1,0)  D．(－∞，0)

解析：选D　∵f(x)＝

∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需或

∴x<0，故选D.

3.已知某船舶每小时航行所需费用u(单位：元)与航行速度v(单位：千米/时)的函数关系为u(v)＝(其中a，b，k为常数)，函数u(v)的部分图象如图所示．

(1)求u(v)的解析式；

(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v为多少时，航行所需费用最少．最少的费用为多少？

解：(1)将(0,320)，(10,650)分别代入u＝kv＋b得解得

把(10,650)代入u＝450＋av2，得650＝450＋a·102，解得a＝2.所以u(v)＝

(2)设航行时间为t，t＝小时，所需费用设为z元，

则z＝u(v)·t＝

①当0<v<10时，函数单调递减，所以zmin>660＋640＝1 300；

②当v≥10时，z≥2＝2＝1 200，当且仅当＝40v，

即v＝15时，等号成立．

由1 200<1 300知，v＝15时，航行所需费用最少．

所以当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1 200元．