备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（五十八） 双曲线

课时验收评价（五十八） 双曲线

一、点全面广强基训练

1．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝(　 )

A．6           B．4        C．8       D．4或8

解析：选D　由双曲线的标准方程可得a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.

2．若双曲线mx2＋ny2＝1(m>0)的离心率为，则＝(　 )

A.　　  B．－　　　C．4　　D．－4

解析：选D　因为mx2＋ny2＝1(m>0)可化为－＝1(m>0)，又e＝ ＝，所以＝＝4，即＝－4.故选D.

3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　 )

A.  B．2

C.  D．2

解析：选D　∵e＝＝＝，∴＝1.

∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.

∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.

4．设已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为(　 )

A．3  B．6

C．9  D．18

解析：选C　在双曲线C：x2－＝1中，F1(－3,0)，F2(3,0)，渐近线方程：y＝±2x，因为|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线x＝上，则P点纵坐标y0满足|y0|＝3，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝9.故选C.

5．(2022·南通三模)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为(　 )

A.　　  B.　　　C.　　D．7

解析：选C　设|AF1|＝m，则|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝2a，又|F1F2|＝2c，∴2a＝2c，e＝＝.故选C.

6．双曲线－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．

解析：双曲线－y2＝1的焦距为2＝2，渐近线方程为－y2＝0，即y＝±x.

答案：2　y＝±x

7．已知双曲线C过点(2，－1)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．

解析：由题意设所求双曲线方程为－＝k，因为双曲线过点(2，－1)，所以－＝k，k＝，所以双曲线方程为－＝，即－＝1.

答案：－＝1

8．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝.∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

答案：2

9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；

(2)求证： ·＝0；

(3)求△F1MF2的面积．

解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：设＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以·＝0.

(3)因为△F1MF2的底边长F1F2＝4.由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.

10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.

(1)求此双曲线的方程；

(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．

解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.

(2)证明：因为点M在双曲线上，所以－＝1.所以m2＝，又双曲线－x2＝1的焦点为F1(0，－)，F2(0，)，所以·＝·＝2－()2＋m2＝－5＋＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．

二、重点难点培优训练

1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　 )

A.－＝1  B.－y2＝1

C.－＝1  D．x2－＝1

解析：选D　因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.

2．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　 )

A．(1，)  B．(1,2)

C．(，＋∞)  D．(2，＋∞)

解析：选D　由题意，知圆心(1,0)到直线kx－y＝0的距离d＝＝，∴k＝±，

由题意知＞，∴1＋＞4，即＝＞4，∴e＞2.

3．设F1，F2分别为离心率为e＝的双曲线C：－＝1的左、右焦点，A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，若四边形MA2NA1的面积为4，则b＝________.

解析：由e＝＝，得＝2，故一条渐近线方程为y＝2x, 以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得y＝±，由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA1为平行四边形，不妨设yM＝，则四边形MA2NA1的面积S＝2a×＝4，得ac＝，又＝，得a＝1，c＝，故b＝2.

答案：2

4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(3，0)，点N的坐标为(0,2)，点M为双曲线C左支上的动点，且△MNF的周长不小于20，则双曲线C的离心率的取值范围为________．

解析：设双曲线C的左焦点为F′，连接MF′，F′N(图略)，则|MF|－|MF′|＝2a，即|MF|＝|MF′|＋2a，故|MF|＋|MN|＝|MF′|＋|MN|＋2a≥|F′N|＋2a，当且仅当N，M，F′三点共线时等号成立．由F(3，0)，F′(－3，0)，N(0,2)可得|F′N|＝|FN|＝＝7，故△MNF的周长为|MN|＋|MF|＋|NF|≥|F′N|＋2a＋|NF|＝14＋2a.依题意，△MNF周长的最小值14＋2a≥20，解得a≥3，所以双曲线C的离心率e＝≤＝.又e＞1，可得1＜e≤.

答案：(1，]

5．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.

(1)求C的离心率；

(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.

解：(1)当|BF|＝|AF|且BF⊥AF时，有c＋a＝＝，所以a＝c－a，解得e＝2.

(2)证明：由(1)知双曲线方程为－＝1，

易知渐近线方程为y＝±x，

所以∠BAF∈，∠BFA∈，

设B(x，y)(x＞0，y＞0)，则kAB＝，kBF＝.设∠BAF＝θ，

则tan θ＝，tan 2θ＝＝

＝＝

＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA.因为2∠BAF∈，所以∠BFA＝2∠BAF.