备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(十)　对数与对数函数

课时验收评价(十)　对数与对数函数

一、点全面广强基训练

1.设函数f(x)＝则f(－2)＋f(ln 6)＝(　 )

A．3  B．6  C．9  D．12

解析：选C　由题意，函数f(x)＝

则f(－2)＋f(ln 6)＝1＋log2[2－(－2)]＋eln 6＝1＋2＋6＝9.

2．(2023·北京高三阶段练习)设a＝30.3，b＝log32，c＝log0.23，则(　 )

A．a>c>b  B．a>b>c

C．b>c>a  D．b>a>c

解析：选B　函数y＝3x在R上单调递增，则a＝30.3>30＝1，函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，0＝log31<log32<log33＝1，即0<b<1，函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，c＝log0.23<log0.21＝0，所以a>b>c.

3．函数f(x)＝log(－x2＋6x－5)的单调递减区间是(　 )

A．(－∞，3]  B．[3，＋∞)

C．(1,3]  D．[3,5)

解析：选C　由f(x)＝log(－x2＋6x－5)，知－x2＋6x－5>0，(x－5)(x－1)<0，解得1<x<5，即函数f(x)的定义域为(1,5)，由题意，令g(x)＝logx，h(x)＝－x2＋6x－5，则f(x)＝g(h(x))，易知g(x)在其定义域上单调递减，要求函数f(x)的单调递减区间，需求在(1,5)上二次函数h(x)的单调递增区间，由h(x)＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，得在(1,5)上二次函数h(x)的递增区间为(1,3)．

4．已知函数f(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)，下列关于f(x)的说法不正确的是(　 )

A．f(x)的定义域是(－∞，1)

B．f(x)的值域是R

C．f(x)的图象过原点

D．当a>1时，f(x)在定义域上是增函数

解析：选D　对于A选项，由1－x>0，解得x<1，所以函数f(x)的定义域是(－∞，1)，A选项正确；对于B选项，函数f(x)的值域是R，B选项正确；对于C选项，因为f(0)＝loga1＝0，所以函数f(x)的图象过原点，C选项正确；对于D选项，当a>1时，由于内层函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，外层函数y＝logau为增函数，所以函数f(x)在定义域上是减函数，D选项错误．

5．函数f(x)＝－loga(x－b)及g(x)＝bx＋a，则y＝f(x)及y＝g(x)的图象可能为(　 )

解析：选B　当0<a<1时，t＝>0单调递减，f(t)＝logat单调递减，所以f(x)＝loga单调递增且定义域为(b，＋∞)，此时g(x)＝bx＋a与y轴的截距a∈(0,1)，排除C.当a>1时，t＝>0单调递减，f(t)＝logat单调递增，所以f(x)＝loga单调递减且定义域为(b，＋∞)，此时g(x)＝bx＋a与y轴的截距a∈(1，＋∞)，故排除D；对于A、B，由y＝g(x)的图象知b＜0，则f(x)＝－loga(x－b)＝0时，x＝1＋b＜1，故排除A，所以只有B符合要求．故选B.

6．计算：log535＋2log－log5－log514＝________.

解析：原式＝log535－log5－log514＋log()2

＝log5＋log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.

答案：2

7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

解析：令x－3＝1，则x＝4，∴y＝loga1－1＝－1，故点P坐标为(4，－1)．

答案：(4，－1)

8．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．

解析：当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上可知，实数a的取值范围是.

答案：

9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)，所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)．

(2)f(x)是奇函数，理由如下：因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f(x)是奇函数．

10．已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．

(1)求a的值与函数f(x)的定义域；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2＝－log2，即log2＝log2，由＝，解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)，所以f(x)＝log2，令>0，解得x<－1或x>1，所以函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}．

(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]．

二、重点难点培优训练

1．(2023·四川南江中学高三阶段练习)已知实数x，y满足3x＋4x＝5y，且x＝log25＋log204，则(　 )

A．2<x<y  B．2<y<x

C．x<2<y  D．y<2<x

解析：选B　因为log204>log254，则x＝log25＋log204>log25＋log254＝log25＋log52>2，所以5y＝3x＋4x>32＋42＝52, 故y>2；设f(x)＝3x＋4x－5x(x>2)，则f(x)＝32·3x－2＋42·4x－2－52·5x－2<32·4x－2＋42·4x－2－52·5x－2＝25(4x－2－5x－2)<0，所以3x＋4x<5x，又因为3x＋4x＝5y，因此5y<5x，即y<x.综上，2<y<x.

2．(2023·郑州高三阶段练习)已知函数f(x)＝2loga－logax(a>0且a≠1)．

(1)当a＝时，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在上的最大值大于－1，求a的取值范围．

解：(1)当a＝时，f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f(x)＝2log－logx＝log＝log，

令g(x)＝＋＋1，则g′(x)＝－＝，

由g′(x)<0得0<x<2，所以g(x)＝＋＋1在(0,2)上单调递减，

由g′(x)>0得x>2，所以g(x)＝＋＋1在(2，＋∞)上单调递增，

又因为y＝logx在其定义域上单调递减，

所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．

(2)由(1)知，f(x)＝loga，g(x)＝＋＋1在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

所以g(x)＝＋＋1在上单调递减，在[2,3]上单调递增，

又g(2)＝2，g＝，g(3)＝，

所以g(x)＝＋＋1在上的值域为.

当0<a<1时，f(x)在上的最大值为loga2，

即loga2>－1，解得0<a<；

当a>1时，f(x)在上的最大值为loga，

即loga>－1，解得a>1.

综上，a的取值范围为∪(1，＋∞)．