备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（六十一） 圆锥曲线中的最值、范围问题

课时验收评价（六十一） 圆锥曲线中的最值、范围问题

1．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．

解：(1)由题意，得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝2px＝4x.

(2)由(1)知F(1,0)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x2>0)．∵＝9，即(x2－x1，y2－y1)＝9(1－x2，－y2)，∴∴∴kOQ＝＝＝.要求kOQ的最大值，则令y1>0，得y1＝，∴kOQ＝＝≤＝，当且仅当＝，即x1＝9时，等号成立．故直线OQ斜率的最大值为.

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为8，且点M在C上．

(1)求C的方程；

(2)若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．

解：(1)依题意可知解得故C的方程为＋＝1.

(2)易得直线OM的方程为y＝－x，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x0，y0)为AB的中点，其中y0＝－x0，

因为A，B在椭圆上，所以两式相减可得kAB＝＝－×＝－×＝.可设直线l的方程为y＝x＋m，

联立

整理得16x2＋10mx＋5m2－20＝0，

则Δ＝300m2－64(5m2－20)>0，解得－8<m<8，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

则|AB|＝·

＝，

原点到直线l的距离d＝＝，

则△AOB的面积S＝d·|AB|＝××＝.

当且仅当m2＝32，即m＝±4时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2.

3．(2023·咸阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且经过A(0,2)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求三角形BOM(O为坐标原点)面积的取值范围．

解：(1)双曲线的离心率为，即＝，

因为点A(0,2)在双曲线－＝1上，

所以＝1，a＝2，则c＝2，

又c2＝a2＋b2，所以b＝2.

所以双曲线C的方程为y2－x2＝4.

(2)易知直线PQ的斜率不为0，

设直线PQ的方程为x－2＝my(m≠0)，

由得(1－m2)y2－4my－8＝0，

设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2，

则

解得1＜m＜.设点M的纵坐标为y0，

则y0＝＝，

所以S△BOM＝×|OB|×|y0|＝×2×＝＝，1＜m＜.

易知函数y＝x－在(1，)上单调递增，

所以m－∈，

所以三角形BOM面积的取值范围为(2，＋∞)．

4.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，右焦点F(1,0)，离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围．

解：(1)由题意得c＝1，＝，∴a＝，则b＝c＝1，则椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)①当两直线一条斜率不存在、一条斜率为0时，S＝|AB|·|CD|＝×2×＝2.②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将其代入椭圆方程整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，则|AB|＝|x1－x2|＝，同理，|CD|＝，则S＝|AB|·|CD|＝··＝＝＝2－∈，当k＝±1时，S＝.综上所述，四边形面积的取值范围是.

5．如图，已知点P(2,2)是焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为k(k＞1)．

(1)证明：直线AB的斜率为定值；

(2)在△ABF中，记∠FAB＝α，∠FBA＝β，求sin α－sin β最大值．

解：(1)证明：将点P(2,2)代入抛物线方程可得p＝1，即抛物线C：y2＝2x，设直线PA的方程为y－2＝k(x－2)(k＞1)，与抛物线方程联立可得ky2－2y＋4－4k＝0，所以yAyP＝⇒yA＝，

用－k代替k可得yB＝－，

因此，kAB＝＝＝＝－，

即kAB＝－，故直线AB的斜率为定值．

(2)由(1)可知，kAB＝－，将yA代入直线PA方程得－2＝k(xA－2)，解得xA＝，则A，用－k代替k可得

B，

因此直线AB方程为y－＝

－⇒x＋2y－＝0，

F到直线AB的距离d＝＝，

所以sin α－sin β＝－＝d，

因为－＝

＝＝，

＝

＝，

所以sin α－sin β＝·

＝·＝·

＝·，

令t＝5k－，易得此函数在k＞1时为单调增函数，则t＞1，所以sin α－sin β＝·＝·≤×＝，

当且仅当t＝4⇒5k－＝4⇒k＝(负值舍去)时取等号，即sin α－sin β的最大值为.