备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(三十二)　平面向量的数量积及其应用

这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(三十二)　平面向量的数量积及其应用，共4页。试卷主要包含了点全面广强基训练，重点难点培优训练等内容，欢迎下载使用。
课时验收评价(三十二)　平面向量的数量积及其应用一、点全面广强基训练1．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则x＝(　 )A．－2  B．±  C．±2  D．2解析：选C　a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2.2．(2023·华中师大一附中高三月考)已知a，b，c均为单位向量，且a＋2b＝2c，则a·c＝(　 )A．－  B．－  C.  D．解析：选C　由(a＋2b)2＝(2c)2得a2＋4b2＋4a·b＝4c2 ，因为a，b，c均为单位向量，则|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝－，又c＝(a＋2b)，所以a·c＝a·(a＋2b)＝(a2＋2a·b)＝×＝.3．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·＝(　 )A．－  B．  C．－  D．解析：选D　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．又＝2，∴Q，∴＝，＝，∴·＝＋1＝.故选D.4．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　 )A.  B．  C.  D．解析：选A　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b与a的夹角为.5．若存在单位向量a，b满足|a＋kb|＝1，|a＋b|＝k，则k的值为(　 )A．1  B．－2或1  C．0  D．1或0解析：选D　a，b是单位向量，则|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b＝k2⇒2a·b＝k2－2，|a＋kb|2＝a2＋2k·a·b＋k2b2＝1＋2k·a·b＋k2＝k2＋k(k2－2)＋1＝1，于是有k(k2＋k－2)＝0，即k(k－1)(k＋2)＝0，显然k≥0，则k＝0或1，所以k的值为1或0.6．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.解析：由题意，得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)．因为(a－λb)⊥b，所以3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝.答案：7．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.答案：－8．已知平面向量a，b满足|a|＝1,2≤a·b≤3，则|a－2b|的最小值是________．解析：a·b＝|a|·|b|cosa，b＝|b|cosa，b∈[2,3]，则|b|∈[2，＋∞)，|a－2b|＝＝＝≥，易知当|b|＝2时，|a－2b|最小为＝3，此时cosa，b＝1，a，b同向．答案：39．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)．(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围．解：(1)因为a＝(1，)，b＝(－2,0)，所以a－b＝(3，)．设a－b与a之间的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，因为θ∈[0，π]，所以a－b与a之间的夹角为.(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4＋4t＋4t2＝(2t＋1)2＋3，因为t∈[－1,1]，所以|a－tb|2∈[3,12]，故|a－tb|的取值范围是[，2]．10.(2023·西北师大附中高三月考)如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AB＝2，D是AB的中点，M是CD上的动点．(1)若M是CD的中点，求·的值；(2)求(＋)·的最小值．解：(1)由题意，得CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝1，得MD＝CD＝，∵＝＋，＝＋＝－，∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝2－12＝－. (2)设MD＝x，则MC＝1－x，其中0≤x≤1.∵MD是△MAB的中线，∴＋＝2，得(＋)·＝2·＝－2||·||＝－2x(1－x)＝22－，∵0≤x≤1，∴当x＝时，(＋)·的最小值为－.二、重点难点培优训练1．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　 )A．等腰三角形  B．直角三角形C．正三角形  D．等腰直角三角形解析：选A　由(－)·(＋－2)＝0，得·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形．2.(2023·杭州模拟)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BC边上中点，则·的值为(　 )A．1  B．  C.  D．2解析：选D　因为AD⊥AB，CD∥AB，所以AD⊥CD，因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠BAC＝45°，AC＝，因为E为BC边上中点，所以＝＋，则·＝·＝2＋·＝||2＋||·||·cos∠BAC＝×()2＋×2××＝2.3．中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于A，B，C，D四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点C1，则·的值不可能为(　 )A．－10  B．－12  C．－11  D．－14解析：选B　如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(－3,2)，C(3,0)，D(－2,3)，由于“马”每步只能走“日”字，故“马”走动一步到达点C1的位置可能为(4,2)，(1,1)，(2,2)，则＝(－2,3)，＝(7,0)或＝(4，－1)或＝(5,0)，则·的值可能为·＝(－2,3)·(7,0)＝－14或·＝(－2,3)·(4，－1)＝－11或·＝(－2,3)·(5,0)＝－10，则·的值不可能为－12.4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则· 的最小值为________．解析：依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝··cos∠BAD＝－＝－，得＝1，因此λ＝＝.取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝DE――→2－.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin∠B＝，因此2－的最小值为2－＝，即·的最小值为.答案：