备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（六十五） 变量间的相关关系与统计案例

课时验收评价（六十五） 变量间的相关关系与统计案例

一、点全面广强基训练

1．(2023·重庆育才中学高三阶段练习)某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：500名男性中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是(　 )

A．均值  B．方差

C．独立性检验  D．回归分析

解析：选C　由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．

2.相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程y＝2x＋2，相关系数为r2.则(　 )

A．0<r1<r2<1  B．0<r2<r1<1

C．－1<r1<r2<0  D．－1<r2<r1<0

解析：选D　由散点图得这两个变量呈负相关，所以r1，r2<0.因为剔除点(10,21)后，剩下的数据更具有线性相关性，所以|r2|更接近1，所以－1<r2<r1<0.故选D.

3．(2023·全国高三专题练习)根据分类变量x与y的观察数据，计算得到K2＝2.974.依据下面给出的临界值表，

可知下列判断中正确的是(　 )

A．有95%的把握认为变量x与y独立

B．有95%的把握认为变量x与y不独立

C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%

D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%

解析：选D　因为K2＝2.974>2.706，且2.974<3.841，所以依据表中给出的独立性检验知变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%，故选D.

4．某学习小组用计算机软件对一组数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，8)进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程＝2x＋5，样本点的中心为(2，m)．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据(3,7)误输成(7,3)，数据(4,6)误输成(4，－6)，将这两个数据修正后得到回归直线方程＝kx＋，则实数k＝(　 )

A.  B.  C.  D.

解析：选D　由题可知m＝2×2＋5＝9，假设甲输入的(x1，y1)为(7,3)，(x2，y2)为(4，－6)，所以7＋4＋x3＋…＋x8＝2×8＝16,3－6＋y3＋…＋y8＝9×8＝72，所以x3＋…＋x8＝5，y3＋…＋y8＝75，改为正确数据时得3＋4＋x3＋…＋x8＝12,7＋6＋y3＋…＋y8＝88，所以样本点的中心为，将其代入回归直线方程＝kx＋，得k＝.故选D.

5．据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得线性回归方程为＝1.5x＋0.5，且＝3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大，去除后重新求得的线性回归直线l的斜率为1.2，则(　 )

A．去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快

B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程一定过点(3,4)

C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为＝1.2x＋1.4

D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点(2,3.75)的残差为0.05

解析：选C　因为1.2<1.5，所以去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变慢，故A错误；当＝3时，＝3×1.5＋0.5＝5，设去掉两个误差较大的样本点后，横坐标的平均值为′，纵坐标的平均值为′，则′＝＝＝3，′＝＝＝5，故B错误；因为去除两个误差较大的样本点后，重新求得回归直线l的斜率为1.2，所以5＝3×1.2＋，解得＝1.4，所以去除两个误差较大的样本点后的线性回归方程为＝1.2x＋1.4，故C正确；因为＝1.2×2＋1.4＝3.8，所以y－＝3.75－3.8＝－0.05，故D错误．故选C.

6．某企业推出了一款新食品，为了解每单位该食品中某种营养成分含量x(单位：克)与顾客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型y＝ekx＋c来拟合y与x的关系，根据以下数据：

可求得y关于x的回归方程为(　 )

A．y＝e0.043x＋4.291  B．y＝e0.043x－4.291

C．y＝e0.043x＋4.291  D．y＝e0.043x－4.291

解析：选A　由y＝ekx＋c得100y＝ekx＋c，两边同时取自然对数，得ln(100y)＝kx＋c；由表中数据可知＝＝3，ln(100y)的平均数＝＝4.42.y＝e0.043x＋4.291化简变形可得100y＝e0.043x＋4.291，两边同时取自然对数可得，ln(100y)＝0.043x＋4.291，将＝3代入可得，ln(100y)＝0.043×3＋4.291＝4.42，与题中数据吻合，故选项A正确，B错误；y＝e0.043x＋4.291，两边同时取自然对数可得ln y＝0.043x＋4.291，而表中所给数据为ln(100y)的相关量，所以C错误，同理D错误．

7．(2023·北海模拟)近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投入市场以来，受到诸多消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下2×2列联表．

已知从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为.

(1)完成上面的2×2列联表；

(2)根据(1)中的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关？

解：(1)根据题意，满意的总人数为100×＝70，

∴完成2×2列联表如下.

(2)∵K2＝＝≈2.473<2.706，

∴没有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关．

8．(2023·四川树德中学高三阶段练习)自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”．经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案数y的数据.

(1)根据以上数据，使用y＝＋b(a，b∈R)作为回归方程模型，求出y关于x的回归方程；

(2)分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下．

参考数据：其中ti＝，iyi＝7 212，iyi＝1 586，＝0.37，－72＝0.55.

解：(1)由题表中数据可得＝×(891＋888＋351＋220＋200＋138＋112)＝400，令t＝，设y关于t的线性回归方程为＝t＋，则＝＝＝1 000，则＝400－1 000×0.37＝30，故y关于x的回归方程为＝＋30.

(2)由回归方程＝＋30可知，随x的增大，y逐渐减少，当x＝24时，＝＋30≈71.7<75，故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下．

二、重点难点培优训练

1．已知一系列样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中n∈N*，n≥2.响应变量y关于x的线性回归方程为＝＋x，对于响应变量y，通过观测得到的数据称为观测值，通过线性回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值，称为残差，即i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1,2，…，n)，称为相应于点(xi，yi)的残差．证明：

(1)i＝0；

(2)＝(1－r2)(yi－)2，并说明|r|与线性回归模型拟合效果的关系．

参考公式：r＝，

＝，＝－.

证明：(1)∵i＝yi－i，

∴i＝i－i，且i＝＋xi，＝－，

∴i＝(＋xi)，＝＋，

∴i＝n－(＋xi)＝n(＋)－n－n＝0.

(2)根据给出的相关系数公式，以及回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式，可知(xi－)(yi－)＝(xi－)2，记R2＝1－＝1－，∴2(xi－)(yi－)－2(xi－)2＝2(xi－)2，

且2(xi－)(yi－)－2(xi－)2＝(xi－) [2(yi－)－(xi－)]＝(2yi－－i)·(i－)＝(yi－)2－(yi－i)2＝R2(yi－)2，又2(xi－)2＝＝r2(yi－)2＝R2(yi－)2，

∴r2＝R2，又R2＝r2＝1－，

∴＝(1－r2)(yi－)2，且当越小时，相关性越强，线性回归模型拟合效果越好，即|r|越接近于1时，线性回归模型拟合效果越好．

2．(2022·新高考Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

①证明：R＝·；

②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值．

附：K2＝，

解：(1)K2＝＝24＞6.635，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．

(2)①证明：因为R＝·＝···，

所以R＝···.

所以R＝·.

②由调查数据可知P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，且P(|B)＝1－P(A|B)＝，P(|)＝1－P(A|)＝，所以R＝×＝6.

3.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y ℃关于时间x(min)的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如图所示的散点图．

(1)根据散点图判断，①y＝a＋bx与②y＝d·cx＋25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；

(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳，根据(2)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

附：①对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－；

②参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7.

表中：wi＝ln(yi－25)，＝i.

解：(1)根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此选②y＝d·cx＋25更适宜此散点的回归方程．

(2)由y＝d·cx＋25有y－25＝d·cx，两边取自然对数得ln(y－25)＝ln(d·cx)＝ln d＋x·ln c，设w＝ln(y－25)，a＝ln d，b＝ln c，则ln(y－25)＝ln d＋x·ln c化为w＝bx＋a，又＝＝3，

∴(xi－)2＝28，∴b＝＝＝－0.08，

∴a＝－b＝3.85－(－0.08)×3＝4.09，

∴由b＝－0.08＝ln c，得c＝e－0.08，由a＝4.09＝ln d得d＝e4.09，

∴回归方程为y＝d·cx＋25＝e4.09·e－0.08x＋25＝e4.09－0.08x＋25，即y＝e4.09－0.08x＋25.

(3)当y＝60时，代入回归方程y＝e4.09－0.08x＋25，得60＝e4.09－0.08x＋25，化简得35＝e4.09－0.08x，即4.09－0.08x＝ln 35，又e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7，

∴4.09－0.08x＝ln 35约化为ln 60－0.08x＝ln 35，即0.08x＝ln 60－ln 35＝ln＝ln 12－ln 7＝(2ln 2＋ln 3)－ln 7≈2×0.7＋1.1－1.9＝0.6，∴x≈＝7.5，∴大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感．