备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（六十四） 随机抽样与用样本估计总体

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课时验收评价（六十四） 随机抽样与用样本估计总体一、点全面广强基训练1．以下是100 g大米和100 g小麦面粉的营养成分表．下列结论最符合实际的是(　 )营养成分能量/kcal水分/g蛋白质/g脂肪/g碳水化合物/g膳食纤维/g钾/mg钙/mgVB1/mgVB2/mg大米34613.37.90.977.20.611280.150.04小麦面粉35911.212.41.774.10.81851350.20.06A.大米的营养略高于小麦面粉B．小麦面粉的营养略高于大米C．大米与小麦面粉的营养一致D．大米与小麦面粉的营养无法比较解析：选B　由统计表得，100 g大米和100 g小麦面粉中，小麦面粉只有水分与碳水化合物两项指标略低于大米，其余8项指标均比大米高，所以小麦面粉的营养略高于大米．2．某企业有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价没有较大差异．为了解客户的评价，该企业准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样(包括抽签法和随机数法)、系统抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是(　 )A．抽签法  B．随机数法C．系统抽样  D．分层抽样解析：选C　由于不同年龄段客户对其服务的评价没有较大差异，故不适宜用分层抽样．由于总体样本容量较大，故不适用抽签法和随机数法，适合用系统抽样来抽取样本．3．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人(用分层抽样的方法)，则北面共有(　 )A．200人  B．100人  C．400人  D．300人解析：选B　设北面共有x人，则由题意可得＝，解得x＝100，所以北面共有100人．4．(2023·全国高三专题练习)运动员甲10次射击成绩(单位：环)如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2，则下列关于这组数据说法不正确的是(　 )A．众数为7和9  B．平均数为7C．中位数为7  D．方差为4.8解析：选C　易知A正确；平均数为×(7＋8＋9＋7＋4＋8＋9＋9＋7＋2)＝7，故B正确；将10次射击成绩从小到大排列为2,4,7,7,7,8,8,9,9,9，则中位数为＝7.5，故C错误；方差为s2＝[(7－7)2×3＋(8－7)2×2＋(9－7)2×3＋(4－7)2＋(2－7)2]＝4.8，故D正确．故选C.5．(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是(　 )A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解析：选C　由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为0.02＋0.04＝0.06，所以A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为0.02＋0.02＋0.02＋0.04＝0.10，所以B正确；由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68＞6.5，所以C不正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率约为0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64＞0.5，所以D正确．故选C.6．(2023·雅安模拟)某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了8月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：根据图表判断，以下结论正确的是(　 )A．8月份每天最高气温的平均数低于35 ℃B．8月份每天最高气温的中位数高于40 ℃C．8月份前半个月每天最高气温的方差大于后半个月的最高气温的方差D．8月份每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差解析：选D　对于A,8月1日至9日的每天最高气温的平均数大于35 ℃，25日至28日的每天最高气温的平均数大于35 ℃，29日至31日每天最高气温大于20 ℃小于25 ℃，与35 ℃相差总和小于45 ℃，而每天最高气温不低于40 ℃的有7天，大于37 ℃小于40 ℃的有8天，它们与35 ℃相差总和超过45 ℃，因此8月份每天最高气温的平均数不低于35 ℃，A不正确；对于B,8月份每天最高气温不低于40 ℃的数据有7个，其他都低于40 ℃，把31个数据由小到大排列，中位数必小于40，因此8月份每天最高气温的中位数低于40 ℃，B不正确；对于C,8月份前半个月每天最高气温的数据极差小，波动较小，后半个月每天最高气温的极差大，数据波动很大，因此8月份前半个月每天最高气温的方差小于后半个月最高气温的方差，C不正确；对于D,8月份每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月份每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差，D正确．故选D.7.对300名考生的数学竞赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法正确的是(　 )A．a＝0.1B．成绩落在[80,90)的考生人数最多C．成绩的中位数大于80D．成绩的平均分落在[70,80)解析：选D　由频率分布直方图的性质得，(a＋0.02＋0.035＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.01，故A错误；由频率分布直方图得成绩落在[70,80)的考生人数最多，故B错误；由频率分布直方图得，[50,70)的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，[70,80)的频率为0.035×10＝0.35，∴成绩的中位数位于[70,80)内，故C错误；成绩的平均分为＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.035×10＋85×0.025×10＋95×0.01×10＝75.5，∴成绩的平均分落在[70,80)内，故D正确．8．某班有42位同学，学号依次为01,02，…，42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是________．解析：从42位同学中采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，抽样距为7，第一个学号为03，所以抽取的6个样本的学号依次为03,10,17,24,31,38.答案：389．将6个数据1,2,3,4,5，a去掉最大的一个，剩下的5个数据的平均数为1.8，则a＝________.解析：若a是最大的数，则＝3，不符合题意．故5是最大的数，则＝1.8，解得a＝－1.答案：－110．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如表：甲811141522乙67102324用s，s分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算两个班学分的方差，则s＝______，并由此可判断成绩更稳定的班级是______班．解析：甲班学生学分的平均数1＝×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，所以甲班学生学分的方差s＝×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22.乙班学生学分的平均数2＝×(6＋7＋10＋23＋24)＝14，所以乙班学生学分的方差s＝×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，所以s＝62.由此可判断成绩更稳定的班级是甲班．答案：62　甲11．某高校承办了当地志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a，b的值；(2)计算本次面试成绩的众数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分．解：(1)由题图可知组距为10.第三组、第四组频率之和为(0.045＋0.020)×10＝0.65，又后三组频率之和为0.7，则第五组频率为0.05，第一组频率也为0.05，故第二组频率为0.25.得a＝0.005，b＝0.025.(2)由题图可知第三个矩形最高，故众数为＝70.平均数为10×(50×0.005＋60×0.025＋70×0.045＋80×0.020＋90×0.005)＝69.5.(3)前三组频率之和为10×(0.005＋0.025＋0.045)＝0.75<0.81.前四组频率之和为0.75＋10×0.02＝0.95>0.81.故频率0.81对应分数在75到85之间．设分数为x，则有(x－75)×0.02＋0.75＝0.81，解得x＝78.故若要求选拔录取率为19%，至少需要78分．12．(2023·全国高三专题练习)某车间使用数控机床制造一种圆形齿轮零件A.由于零件A的高精度要求，该车间负责人需要每隔一个生产周期对所生产零件的直径进行统计，排查机床可能存在的问题并及时调试维修．已知该负责人在两个相邻生产周期(分别记为周期Ⅰ和周期Ⅱ)中分别随机检查了10枚零件A，测量得到的直径(单位：mm)如下表所示：周期Ⅰ4.95.15.05.05.15.04.95.25.04.8周期Ⅱ4.85.25.05.04.84.85.25.15.05.1周期Ⅰ和周期Ⅱ中所生产零件A直径的样本平均数分别记为1和2，样本方差分别记为s和s.(1)求1，2，s，s；(2)判断机床在周期Ⅱ是否出现了比周期Ⅰ更严重的问题如果>2.050，则认为机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题，否则不认为出现了更严重的问题．解：(1)1＝(4.9＋5.1＋5.0＋5.0＋5.1＋5.0＋4.9＋5.2＋5.0＋4.8)＝5.0，2＝(4.8＋5.2＋5.0＋5.0＋4.8＋4.8＋5.2＋5.1＋5.0＋5.1)＝5.0，s＝(4×0.12＋2×0.22)＝0.012，s＝(2×0.12＋5×0.22)＝0.022.(2)由(1)可知＝＝<2<2.050，因此无法推测机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题．二、重点难点培优训练1．(2023·北海模拟)在连续五次月考中，甲、乙两人的成绩依次为甲：124,126,132,128,130乙：121,128,135,133,123则下列说法正确的是(　 )A．甲的成绩在逐渐上升B．甲的平均成绩比乙的高C．甲的发挥比乙的发挥更为稳定D．随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为解析：选C　根据甲的数据可知，甲的成绩不是逐渐上升，A选项错误；＝＝128，两个人的平均成绩相同，B选项错误；甲的成绩的方差为[(124－128)2＋(126－128)2＋(132－128)2＋(128－128)2＋(130－128)2]＝＝8，乙的成绩的方差为[(121－128)2＋(128－128)2＋(135－128)2＋(133－128)2＋(123－128)2]＝，8<，所以甲的发挥比乙稳定，C选项正确；五次月考中，同一场次，甲得分比乙低的有3次，所以概率为，D选项错误．2．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是(　 )A．甲同学：平均数为2，众数为1B．乙同学：平均数为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2D．丁同学：众数为2，方差大于1解析：选B　对于A，甲同学：若平均数为2，众数为1，则有1次名次应为4，不符合题意；对于B，乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]<1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2<3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；对于C，丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2,2,4，不符合题意；对于D，丁同学：众数为2，方差大于1，有可能是2,2,6，不符合题意．故选B. 3.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是______．(答案不唯一，写出一个即可)解析：3＋3＋5＋3＋6＋11＝31.设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是3.∵这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，∴若x≤3，则中位数为3，此时＋3＝2×3，解得x＝－10；若3<x<5，则中位数为x，此时＋3＝2x，解得x＝4；若x≥5，则中位数为5，此时＋3＝2×5，解得x＝18.答案：－10(或4或18)4．(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)．解：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄＝10×(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)＝47.9.(2)法一：由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)组成的，且相互独立，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.法二：由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)组成的，且相互独立，所以所求概率P＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝0.89.(3)设从该地区任选一人，年龄位于区间[40,50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%，由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40,50)的概率为0.023×10＝0.23，结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.000 23，所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40,50)，则此人患这种疾病的概率为P(B|A)＝＝≈0.001 4.