备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(二十九)　解三角形应用举例

课时验收评价(二十九)　解三角形应用举例

1．如图，在救灾现场，搜救人员从A处出发沿正北方向行进x米达到B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75°行进30米到达C处，探测到另一个生命迹象，如果C处恰好在A处的北偏东60°方向上，那么x＝(　 )

A．10 米  B．10 米

C．10 米  D．10 米

解析：选D　依题意得C＝180°－A－B＝45°，

由正弦定理得＝，所以＝，x＝10，故选D.

2．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝10 m，②B处的仰角60°，③C处的仰角45°，④cos ∠BAC＝，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　 )

A．9 m  B．10 m

C．10 m  D．10 m

解析：选D　选①②③⑤.设旗杆的高度OA＝h，则OC＝h，OB＝.

在△BOC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos ∠BOC，即102＝2＋h2－2·h··，解得h＝10.

3．某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为(　 )

A．20m  B．20m

C．10(＋)m  D．20(＋)m

解析：选B　依题意作图，如图所示，AB＝20 m，仰角∠DAE＝60°，俯角∠EAC＝45°，

在等腰直角△ACE中，AE＝EC＝20 m，

在直角△DAE中，∠DAE＝60°，

∴DE＝AEtan60°＝20 m，

∴小高层的高度为CD＝(20＋20)＝20(1＋)m.故选B.

4.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点D，C，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为(　 )

A.  B．2  C．3  D．2

解析：选C　根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，

则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，

在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，

则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，

则有＝，变形可得BC＝＝＝，

在△ABC中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，

由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝9，

则AB＝3.故选C.

5.(2023·辽宁百校联盟质检)如图，无人机在离地面高300 m的M处，观测到山顶A处的俯角为15°，山脚C处的俯角为60°，已知AB＝BC，则山的高度AB为(　 )

A．150 m  B．200 m

C．200 m  D．300 m

解析：选B　在Rt△MNC中，∠MCN＝60°，MN＝300，所以MC＝＝200.在△ACM中，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∠ACM＝180°－60°－45°＝75°，所以∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，故AC＝＝200.在Rt△ABC中，AB＝BC＝ACsin 45°＝200×＝200，所以山的高度AB为200 m．故选B.

6．如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB＝12 m，借助测角仪测得∠CAB＝45°，∠CBA＝60°，则C处河面宽CD为(　 )

A．6(3＋)m  B．6(3－)m

C．6(3＋2)m  D．6(3－2)m

解析：选B　在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，

∵tan∠CBD＝，

∴CD＝BD·tan∠CBD＝BD，

在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，

则CD＝AD，∵AB＝AD＋BD＝12，

∴BD＋BD＝12，解得BD＝6－6，CD＝BD＝18－6＝6(3－)．

7.测量西藏被誉为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度通常采用人工攀登的方式，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到山峰的高度．在测量过程中，已知竖立在点B处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B两处的高度差约为(参考数据：sin 10°≈0.173 6，sin 70°≈0.939 7，sin 80°≈0.984 8)(　 )

A．10米  B．9.66米 

C．9.40米  D．8.66米

解析：选C　如图所示，设与点A在同一水平面上，且与BC在同一竖直面上的点为D.在△ABC中，由正弦定理可得＝.因为∠BAC＝∠DAC－∠BAD＝10°，∠ACB＝90°－∠CAD＝10°，所以AB＝BC＝10米．在Rt△ADB中，BD＝ABsin∠BAD＝10×sin 70°≈9.40(米)．故选C.

8．海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛所成的视角为60°，从B岛望C岛和A岛所成的视角为75°，则B岛和C岛之间的距离为________海里．

解析：由题意得A＝60°，B＝75°，C＝180°－60°－75°＝45°，

根据正弦定理得BC＝·sin A＝×＝10(海里)．

所以B岛和C岛之间的距离为10 海里．

答案：10

9．微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段．如图所示，有一架无人机在空中P处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在A，B处观察该无人机(两人的身高忽略不计)，C为无人机在水平地面上的正投影．已知甲、乙两人相距100 m，甲观察无人机的仰角为45°，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC，则这两个角可以是________ .(写出所有符合要求的编号)

①∠BAC和∠ABC；②∠BAC和∠PAB；

③∠PAB和∠PBA；④∠PAB和∠ABC.

解析：①当已知∠BAC和∠ABC时，在△ABC中利用内角和定理和正弦定理可得AC，然后在Rt△PCA中，由三角函数定义可得PC，故①正确；

②当已知∠BAC和∠PAB时，在△ABC中已知一角一边，在△PAB中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；

③当已知∠PAB和∠PBA时，在△PAB中已知两角一边，可解出PA，然后在Rt△PCA中，由三角函数定义可得PC，故③正确；

④当已知∠PAB和∠ABC时，可先由最小角定理求得∠BAC，然后解△ABC可得AC，最后在Rt△PCA中，由三角函数定义可得PC，故④正确．

答案：①③④

10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为________平方里．

解析：如图，由题意画出△ABC，且AB＝13，BC＝14，AC＝15.

在△ABC中，由余弦定理得，

cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，

则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里)．

答案：84

11.《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4，东畔长为2，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为________．(注：sin 41°≈0.66)

解析：由题可得，∠DAC＝49°－19°＝30°，在△ACD中，由余弦定理可得DC2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30° ，代入得28＝AC2＋48－12AC，即＝0，因为∠ADC>90°，故AC＝10，故BC＝AC·cos 49°＝10·sin 41°＝6.6.

答案：6.6

12.如图，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40 n mile至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为________n mile.

解析：连接AB(图略)，由题意可知，CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理，得＝.所以AD＝20.在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝CD＝40.在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝800＋3 200－2×20×40×cos 60°＝2 400(n mile)，即AB＝20(n mile)．

答案：20

13.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝________.

解析：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AB＝，AD＝sin θ.

在△ABD中，∠BAD＝＋－θ＝π－θ，∠ADB＝，则∠ABD＝θ－.

由正弦定理得＝，

即＝，

所以sin sin θ＝，

所以sin θ＝－sin cos θ，

所以2sin θ＝－sincos θ，所以2cos sin θ＝sin cos θ，

所以tan θ＝＝×＝.

答案：