【暑假初升高】(人教A版2019)数学初三（升高一）暑假-1.2《集合的概念》讲学案

§1.2 集合的概念

一．集合的定义

    集合的定义只需要看元素是否______，而不管是否有元素．

【答案】确定.

二．元素与集合的关系

1.元素与集合的关系是_____或_____，用符号_____或_____来表示．

2.元素类型决定集合类型，若集合中的元素是数，则集合称为_______，若集合中的元素是坐标，则集合称为_______．

【答案】属于，不属于，∈，∉

三．常见集合

实数集：_______；有理数集：_______；整数集：_______；自然数集：_______．

正实数集：_______；正整数集：_______；空集：_______．

【答案】R，Q，Z，N，R+，Z+，∅

四．集合的表示方法

1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．

2.描述法：

3.区间法：“(”表示开区间，“[”表示闭区间．

五．集合的性质

    集合的性质有_______、_______、_______，在做题过程中，一定要检验是否满足集合的_______性．

【答案】确定性，无序性，互异性，互异性

下列各组对象哪些能构成一个集合？若不能请说明理由．

（1）著名的数学家；（2）比较小的正整数的全体；

（3）某校2021年在校的所有高个子同学；（4）不超过20的非负数；

（5）方程在实数范围内的解；（6）大于0 的负数．

【答案】（1）不能；（2）不能；（3）不能；（4）能；（5）能；（6）能

现有以下说法，其中正确的是（　　）

①接近于0的数的全体构成一个集合；

②正方体的全体构成一个集合；

③未来世界的高科技产品构成一个集合；

④不大于3的所有自然数构成一个集合．

【答案】选B

下面几组对象可以构成集合的是（　　）

【答案】D

（多选）下列各组对象能构成集合的是（    ）

【答案】选ACD

填空：

（1）R表示_____集；（2）Z表示_____集；（3）N表示_____集；（4）Q表示_____集；

（5）Z※表示_____集；（6）N※表示_____集；（7）表示_____集，表示的是集合中没有一个元素.

【答案】略

表示方程的根的集合，用描述法可表示为_____________，用列举法可以表示为_____________．

【答案】，

表示不等式的解集的集合，用描述法可表示为_____________，用列举法可以表示为_____________．

【答案】，

用列举法表示下列集合．

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

用列举法表示集合_____________．

【答案】

集合，用列举法可以表示为（　　）

【答案】选B

方程组的解用列举法表示为        ．

【答案】

若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（　　）

【答案】选B

方程组的解用列举法表示为        ．

【答案】

用区间的方法表示下列集合：

（1）表示为_____________；（2）为_____________；

（3）表示为_____________；（4）表示为_____________.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

用区间的方法表示下列集合：

（1）表示为_____________；（2）为_____________.

【答案】（1）；（2）

用符号“”或“”填空：

（1）                （2）

（3）          （4）

（5）                （6）

【答案】（1）∉；（2）∈；（3）∉；（4）∈；（5）∉；（6）∈

用符号“”或“”填空：

（1）0_____                            （2）_____；

（3）_____          （4）2017_____.

【答案】（1）∉；（2）∈；（3）∉；（4）∉

若集合中是单元素集，则实数的值为______.

【答案】因为集合是单元素集，所以该方程只有一个解，即△=0，解得m=

若集合中只有一个元素，则实数的值为（　　）

【答案】选D.因为集合只有一个元素，所以该方程只有一个解，即a=0或a≠0且△=0，解得a=0或

若集合有且仅有1个元素，则实数的值是（　　）

【答案】选A.因为集合只有一个元素，所以该方程只有一个解，即k=-2或k≠-2且△=0，解得

已知集合至多有一个元素，则的取值范围是___________.

【答案】因为集合至多只有一个元素，所以该方程只有一个解或无解，若只有一个解时，即a=0或a≠0且△=0，解得a=0或；若无解时，.综上，

若集合是单元素集，则实数的值为（　　）

【答案】选C.因为集合是单元素集，所以该方程只有一个解，即k=0或k≠0且△=0，解得

（1）若集合，，则集合N中的元素个数为（　　）

【答案】B

【分析】题中x∈M，y∈M，可一一列举出所有点的情况，再找出x+y∈M的情况，确定N中元素的个数．

【解答】解：因为M={1，2，3}，x∈M，y∈M，

点（x，y）的所有可能如下：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），

其中x+y∈M的情况有：（1，1），（1，2），（2，1）共3个．

故选：B．

（2）设集合，则C中元素的个数为（    ）

【答案】B

【分析】根据题意求出集合C，再得到C中元素的个数即可．

【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，

∴集合C={5，6，7，8}，

∴C中元素的个数为4，

故选：B．

已知集合，则A中元素的个数为（    ）

【答案】D

【分析】分别取x=0，1，-1，2，-2，求出对应的y的值，即可得到满足条件的数对，从而得到答案．

【解答】解：因为|x|+|y|≤2，x∈Z，y∈Z，

当x=0时，y=-2，-1，0，1，2；

当x=1时，y=-1，0，1；

当x=-1时，y=-1，0，1；

当x=2时，y=0；

当x=-2时，y=0．

所以满足条件的数对有13个，即集合A中元素的个数为13．

故选：D．

若集合，，则中所含元素的个数为（    ）

【答案】D

【分析】根据集合B集合的特点，例举出所有可能情况，即可求解．

【解答】解：集合A={0，1，2，3}，

集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，

∵x-y∈A，

则x≥y，

那么当x=0时，y=0，x-y=0，即（0，0）

当x=1时，y可以取0，1，即（1，0），（1，1）

当x=2时，y可以取0，1.2，即（2，0），（2，1），（2，2）

当x=3时，y可以取0，1.2，3，即（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）

则B中所含元素的个数为10．

故选：D．

设集合，则中元素的个数为（    ）

【答案】C

【解析】因为，所以当时，由可得：；

当时，由可得：；

当时，由可得：，

当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，

所以,

因此中元素的个数为5.故选：C

定义集合运算：．设集合，，则集合的所有元素之和为（    ）

【答案】D

【分析】由集合A={0，1}，B={2，3}，A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，知A⊙B={0，6，12}，由此能求出集合A⊙B中的所有元素之和．

【解答】解：∵集合A={0，1}，B={2，3}，

A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，

∴A⊙B={0，6，12}，

0+6+12=18，

∴集合A⊙B中的所有元素之和为18，

故选：D．

定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（　　）

【答案】D

已知集合，若2∈A，则实数a的值为（    ）

【答案】A

【解析】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以；

若，则或（舍去），此时，符合题意；

若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.综上所述，的值为.

故选：A

设集合，若且，则实数的取值范围是（    ）

【答案】C

【解析】因为集合，而且，

且，解得．故选：C．

（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ）

【答案】AC

【解析】由题意得，或，

若，即，

或，

检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；

当时，，与元素互异性矛盾，舍去．

若，即，

或，

经验证或为满足条件的实数．

故选：AC．

已知集合，若2∈A，则a的取值范围为________.

【答案】C

【解析】因为集合，所以，又因为，则，即，故选：．

集合中，应满足的条件是（　　）

【答案】C

以实数为元素所组成的集合最多含有（　　）个元素．

【答案】C

集合中，应满足的条件是_________．

【答案】

由实数所构成的集合中最多含有_____个元素．

【答案】4

1.下列条件所指对象能构成集合的是（　　）

【答案】C

2.德国数学家希尔伯特说：“谁也不把我们从为我们创造的花园中赶走”，赞赏在1871年提出了集合论的某位数学家（划线部分所示），请问是下列哪位数学家（　　）

【答案】D

3.考察下列每组对象，能组成一个集合的是（　　）

①某高中高一年级聪明的学生； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④的

近似值．

【答案】C

【解析】①④不符合集合中元素的确定性.选C.

1.填空：集合N表示________集合；集合Z※表示________集合；集合R※表示________集合.

【答案】自然数；正整数；正实数

2.表示方程的根的集合，用描述法可表示为___________，用列举法可以表示为___________．

【答案】，

3.把集合用列举法表示为（　　）

【答案】D

【解析】解方程得或，因此集合用列举法表示为.故选：D.

4.集合列举法可表示为（　　）

【答案】C

5.已知集合，用列举法表示集合____________.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用列举法能求出结果．

【解答】解：∵集合A＝{m|y＝∈N，m∈N}，

∴A={1，2，4}．

故答案为：{1，2，4}．

6.集合，用列举法可以表示为（    ）

【答案】B

【解析】因为且，所以的可取值有：，

所以列举法表示集合为：，故选：B.

7.若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（　　）

【答案】B

8.方程组的解用列举法表示为____________.

【答案】

1.下列关系正确的是（　　）

【答案】D

2.设集合，则（　　）

【答案】D

3.已知集合只有一个元素，则a的取值集合为（　　）

【答案】D

4.设集合，，若，且，则的值为（　　）

【答案】C

5.设集合，，则（　　）

【答案】D

6.已知集合，且当时，，则为（　　）

【答案】A

7.已知集合至多有一个元素，则的取值范围是__________．

【答案】

1.已知集合，则集合A中元素的个数为（　　）

【答案】B

2.已知集合，则集合A中元素个数为（　　）

【答案】C

3.已知集合，,则中所含元素的个数为（　　）

【答案】D

4.设A、B是非空数集，定义：AB={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则集合AB的元素个数为（    ）

【答案】B

【分析】由已知中A⊕B={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，我们可用列举法表示出A⊕B，进而得到答案

【解答】解：∵A⊕B={a+b|a∈A，b∈B}，

又∵A={1，2，3}，B={4，5，6}，

∴A⊕B={5，6，7，8，9}

故A⊕B的元素个数为5个

故选：B．

5.已知集合，则A中元素的个数为（    ）

【答案】A

【解析】因为，，，

当时，，；

当时，，，所以共有4个元素，故选：A.

1.若，则实数的值为（　　）

【答案】B

2.由实数所组成的集合，最多可含有（　　）个元素.

【答案】（1）B（2）D（3）B

【解析】（1）时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．故选：B．

（2）由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.故选：D.

（3）由题意，当时所含元素最多，

此时分别可化为，，，

所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B

3.已知，若，则实数a构成的集合的元素个数是（    ）

【答案】B

【解析】①，∴，，则，不可以，

②，∴，，则，可以，

或，∴，，则，不可以，

③，，，则，不可以，

或，∴，，则，不可以，

∴，故选：B．

4.已知集合，，求的值.

【答案】