【暑假初升高】(人教A版2019)数学初三（升高一）暑假-1.5《充分条件与必要条件》讲学案

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§1.5 充分条件与必要条件
01课堂先知

知 识
题 型
重 要 度
难 度
充分条件与必要条件
充分必要条件的判断
★★★★
★★
充分必要条件的选择
★★☆
★★☆
根据条件求参数的值
★★★★
★★★
02知识清单

对于集合，，
条件
结论
集合关系
若p⇒q
则p是q的_______，q是p的_______；

若p⇒q，且qp
则p是q的_______________________；
A⫋B
若pq且q⇒p
则p是q的_______________________；
B⫋A
若p⇔q
则p是q的_______________________；

若pq且qp
则p是q的______________________.
没有关系
【注意】：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.
【答案】充分条件，必要条件；充分不必要条件；必要不充分条件；充要条件；既不充分也不必要条件
03题型剖析

题型一 充分、必要条件的判断

【方法点睛】小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.

例1
设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
例2
已知，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义计算可得；
【详解】
解：若则，故，故充分性成立；
若，则且，得不到，如，，显然满足，但是，故必要性不成立；
故p是q的充分不必要条件；
故选：A
例3
“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
解两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
解不等式可得或，
解不等式得或，解得或，
因为或Ü或，
因此，“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
变1
已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
变2
设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
变3
已知条件p：点在函数的图象上；条件．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
求得命题成立时的值，由此判断出充分、必要条件.
【详解】
若p成立，则，解得，∴p是q的必要不充分条件．
故选：B
例4
已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
首先根据不等式的性质变形为，再分情况讨论，判断充分，必要条件.
【详解】
结论，
当时，；
当时，；
当时，；
综上：．
故选：C
例5
设M、P、S为三个集合，“M⊆P”是“（P∩S）⊇（M∩S）”的（　　）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充要条件的定义，集合的运算性质，即可得到结论．
【解答】解：当“M⊆P”时，可以推出“（P∩S）⊇（M∩S）”，
由（P∩S）⊇（M∩S）”推出M⊆P，或S⊆P，
故“M⊆P”是“（P∩S）⊇（M∩S）”的充分不必要条件，
故选：A．
例6
设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件判断出：开关A闭合推不出灯泡B亮，但灯泡B亮能推出开关A闭合，从而选出选项.
【详解】
选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；
选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
故选：C.
变4
已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
变5
已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据“”与“”互相推出情况判断属于何种条件.
【详解】
当时，则中至少有一个数大于，不妨设此数为，
若，则，所以，所以，所以，
若，则，此时显然成立，
若，此时也显然成立，
所以充分性满足；
当时，则中至少有一个数大于，不妨设此数为，
若，则，因为，所以，
若，则显然成立，
若，则也显然成立，
所以必要性满足，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题在充分、必要条件问题的背景下考查不等式的性质，解答本题的关键在于分类讨论思想的运用以及对不等式性质的理解.
变6
设集合A，B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合韦恩图进行判定A⊆B⇒A∩∁UB=∅，而A∩∁UB=∅⇒A⊆B，从而确定出A⊆B与A∩∁UB=∅的关系．

【解答】解：由韦恩图可知
A⊆B⇒A∩∁UB=∅，
反之也可得出A∩∁UB=∅⇒A⊆B
∴“A⊆B”是“A∩∁UB=∅”的充要条件
故选：C．
变7
在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
判断条件p与条件q的关系，利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.
【详解】
若开关A闭合，则灯泡B亮，所以条件p可以推出条件q；
若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合，不能确定开关A闭合，条件q推不出条件p；
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
例7
必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（　　）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.
【详解】
因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，
故选：B.
例8
王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由推出关系即可判断得到结论.
【详解】
由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，即“攻破楼兰”“返回家乡”；
若“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，即“返回家乡”“攻破楼兰”；
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：A.
变8
《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的（ ）条件.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据已知条件分析“有毛”和“有皮”的互相推出情况，由此判断属于何种条件.
【详解】
根据条件可知：“有毛”则一定“有皮”，但是“有皮”不一定“有毛”，
即“有毛”可以推出“有皮”，但是“有皮”不一定能推出“有毛”，
所以“有毛”是“有皮”的充分不必要条件，
故选：A.
变9
1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（ ）条件．
A．充分
B．必要
C．充分必要
D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】
直接利用充分条件的定义进行判断即可.
【详解】
记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.
故选：A.
例9
已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
A．是的既不充分也不必要条件
B．是的必要条件
C．是的必要不充分条件
D．是的充要条件
【答案】D
【分析】
根据题意得到，再逐项判断.
【详解】
由题意得，
所以 ，
所以，所以是的充分条件，故A错误；
是的充分条件，故B错误；
是的充要条件，故C错误；
是的充要条件，故D正确；
故选：D.
变10
已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．r是q的充分不必要条件
B．p是q的充分不必要条件
C．r是q的必要不充分条件
D．r是s的充分不必要条件
【答案】B
【分析】
利用推出号表示充分条件和必要条件，然后可得结论．
【详解】
由题意，但是不能推出成立，则，所以是等价的，
因此ACD都错误，B正确．
故选：B．
题型二 充分、必要条件的选择
【方法点睛】充分条件选择小范围，必要条件选择大范围.
（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；
（2）p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集；
（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；
（4）p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含．


例1
（多选）的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
例2
下列是“”成立的必要不充分条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
求出不等式的解集，然后根据必要不充分条件的定义分析可得．
【详解】
，分析各选项，只有B是必要不充分条件．
故选：B．
例3
方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．或
【答案】C
【分析】
按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.
【详解】
当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C
变1
（多选）的必要不充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
变2
（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】
先由求出的范围，记其组成的集合为A，要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集即可
【详解】
由，得，记为，
所以要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集，
对于A，集合 不是集合A的真子集，所以A不正确，
对于B，集合不是集合A的真子集，所以B不正确，
对于C，集合是集合A的真子集，所以C正确，
对于D，集合是集合A的真子集，所以D正确，
故选：CD
变3
（多选）已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.
【详解】
由命题:，成立，得，解得.
故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，
故选：ABD.




题型三 根据条件求参数的值

【方法点睛】充分条件选择小范围，必要条件选择大范围.
（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；
（2）p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集；
（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；
（4）p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含．

例1
“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
变1
（多选）“不等式在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD

例2
已知，，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，-1]
B．（-∞，-1）
C．[1，+∞）
D．（1，+∞）
【答案】A
【分析】】先求出绝对值不等式的解集A，结合充分条件和必要条件的定义，利用集合的包含关系进行求解即可．
【解答】解：因为q：|x+2a|＜2，所以q：-2a-3＜x＜-2a+3，记A={x|-2a-3＜x＜-2a+3}，
p：x≥a，记为B={x|x≥a}，
因为p是q的必要不充分条件，所以A⊆B，
所以a≤-2a-3，解得a≤-1．
故选：A．

例3
已知命题，命题，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是_________．

变1
已知；，若q是p的充分条件，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
用集合表示命题，将命题间的关系转化为集合间的关系即可得解.
【详解】
记，，
因为是的充分条件，所以，
所以.
故答案为：.

变2
已知，，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_________．

变3
若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

例4
已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（ ）
A．-1
B．1
C．3
D．5
【答案】ABC
【分析】
解不等式得集合，将必要条件转化为集合之间的关系列出关于的不等式组，解得范围即可得结果.
【详解】
由，解得，∴，
非空集合，
又是的必要条件，所以，
当，即时，满足题意；
当，即时，
∴，解得，
∴的取值范围是，
实数m的取值可以是，
故选：ABC.
变4
已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围____________.
【答案】
【分析】
求解不等式得到B,根据充分不必要条件的定义，转化为集合之间的包含关系，进而得到关于的不等式组，求解即得.
【详解】
由题意知，不为空集，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以A真包含于，
则，且不能同时取“=”，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
例5
已知集合，.
（1）若a=1，求；
（2）若a>0，设命题，命题，已知命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由时，求得，得到，再结合集合的交集运算，即可求解；
（2）当时，得到，根据命题是命题的充分不必要条件，得到Ü，列出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）当时，，可得，
又由，所以.
（2）当时，可得.
因为命题是命题的充分不必要条件，则Ü，可得，等号不能同时成立，
解得，所以实数的取值范围为.
变5
设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．





题型四 充要条件的证明

例1
求证：是等边三角形的充要条件是.（这里a，b，c是△ABC的
三条边）
【答案】见试题解答内容
【分析】从充分性和必要性这两个方面进行求证．
【解答】证明：先证明必要性，
∵△ABC是等边三角形
∴a=b=c，
∴ab+ac+bc=a2+b2+c2
∴必要性成立，
再证明充分性
∵a2+b2+c2=ab+ac+bc，两边都乘以2，得
2a2+2b2+2c2=-（2ab+2ac+2bc），
∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
∴a=b=c，
△ABC是等边三角形．
充分性成立，
∴原命题成立．

例2
设，求证成立的充要条件是．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明充要条件关键是证明其互相推出性，要根据|x+y|=|x|+|y|证明出xy≥0，也要在xy≥0下证明出|x+y|=|x|+|y|．
【解答】解：证明：充分性：如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立．
如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|，
当x＜0，y＜0时，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|，
总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|．
必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R，
得（x+y）2=（|x|+|y|）2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，
综上，原命题成立．
故结论成立．




变1
求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
【答案】答案见解答过程．
【分析】【分析】根据韦达定理，先证明必要性，由“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”能推出“ac＜0”成立，反之再证明充分性，由韦达定理，判断出“ac＜0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，利用充要条件的有关定义得到证明．
【解答】证明：证明必要性：若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立，
由韦达定理可得，x1x2=＜0，
所以ac＜0成立；
证明充分性：若“ac＜0”成立，
此时一元二次方程ax2+bx+c=0的△＞0，此时方程有两个不等的根
由韦达定理可得，x1x2=＜0，
即方程两个根的符号相反，
即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根．
所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“ac＜0”．


变2
求证：关于的方程有两个负实根的充要条件是．



04课后强化

专练一 充分、必要条件的判断

1.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A．
2.设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
3.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A．
4.设p：函数的图象与x轴无交点，对任意恒成立，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A．
5.已知关于x的方程存在两个实根，，则“，且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
6.设是实数，则“”是“”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
7.设，则是的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A．
8.设全集，在下列条件中，是的充要条件的有（ ）
①； ②； ③； ④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】利用Venn图进行判断，理解B⊆A的等价关系是解决本题的关键．

【解答】解：如下图借助Venn图，
可以判断出A∪B=A⇔B⊆A，
CUA∩B=ϕ⇔B⊆A，
CUA⊆CUB⇔B⊆A，
A∪CUB=U⇔B⊆A，
故①②③④均正确．
故选：D．
专练二 充分、必要条件的选择

1.（多选）下列条件中是“”的充分条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
2.（多选）“”的充分条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
3.（多选）“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
4.（多选）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
专练三 根据条件求参数的值

1.已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_______.
【答案】（1，+∞）．
【分析】根据充分条件和必要条件与集合关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，
∴（-1，3）⫋（-1，m+2），
则m+2＞3，即m＞1，
即实数m的取值范围是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）
2.已知，，，若是的必要不充分条件，则m的取值范围是_______.
【答案】
3.已知，，若p是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】


4.已知集合，．若是的充分条件，求a的取值范围.






专练四 充要条件的证明

1.设证明：的充要条件是.
【答案】详见证明过程．
【分析】本题要证明一个条件是另一个条件的充要条件，这种题目的证明，要从两个方面来证明，即证明充分性，也要证明必要性，注意条件的等式的整理成完全平方的形式．
【解答】证明：（1）必要性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
（2）充分性：若a=b=c．
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca
综上可知：a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c．

2.已知，．是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求实数的取值范围．