【暑假初升高】(人教A版2019)数学初三（升高一）暑假-2.1《等式性质及不等式性质》讲学案

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第二章一元二次函数、方程和不等式
§2.1 等式性质及不等式性质
01课堂先知

知识
题型
重要度
难度
不等式的性质
不等式性质的应用
★★★☆
★★☆
比较大小
★★★
★★☆
不等式的证明
★★☆
★★★
02知识清单

一．等式的性质
条件
结论
性质
如果a=b
那么b=a
对称性
如果a=b，b=c
那么a=c
传递性
如果a=b
那么a±c=b±c
可加性
如果a=b
那么ac=bc
可成性
如果a=b，c≠0
那么
可除性
二．不等式的性质
条件
结论
性质
如果a>b
那么b 对称性
如果a>b，b>c
那么ac
传递性
如果a>b
那么a±c>b±c
可加性
如果a>b，c>0
那么ac>bc
可成性
如果a>b>0
那么anbn(n∈N，n≥1)
可乘方性
a>b>0
(n∈N，n≥2)
可开方性

03题型剖析

题型一不等式的性质的应用
【易错警示】这类题很容易错，一定要细心哦！！！

例1
下列命题中，正确的是（　　）
A．若ac＜bc，则a＜b
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2
D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出-d＜-c，所以a-d＜b-c，D错误．
故选：C．
例2
若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的
个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3

变1
已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（）
A．ac+bd>ad+bc
B．ac+bd C．ac>bd
D．ac 【答案】A
【分析】利用作差法可判断A，B，利用特值法可判断C，D．
【解答】解：∵a＞b，c＞d，
对于A，B，
ac+bd-（ad+bc）=（a-b）（c-d）＞0，
故A正确，B错误；
对于C，当b=0，c＜0时，ac＜0，bd=0，故C错误；
对于D，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd，故D错误；
故选：A．
变2
若，，则下列不等关系一定正确的是（）
A．a B．a C．|a|＞|b|
D．a+b>0
【答案】B
【解析】，，所以故选：B
变3
若，则下列不等式中，不能成立的是（）
A．
B．
C．
D．

例3
（多选）下列命题不正确的（）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A：且，因此，
即，故本命题不正确；
B：因为，显然不成立，所以本命题不正确；
C：由，而，
所以有，而，故本命题正确；
D：若，显然成立，但是不成立，故本命题不正确，
故选：ABD
变4
下列不等式中，正确的是（　　）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若a＞b，则c﹣a＜c﹣b
C．若a＞b，c＞d，e＞f，则ace＞bdf
D．若a＞b，c＞d，e＞f，则ac＞bd＞ef
【分析】根据不等式的性质只能判断选项B正确，得不出其它选项正确，然后可举反例说明其它选项都错误．
【解答】解：A．a＞b得不出a2＞b2，比如a＝2，b＝﹣3，∴该选项错误；
B．∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b．该选项正确；
C．a＞b，c＞d，e＞f得不出ace＞bdf，比如，a＝1，b＝﹣2，c＝2，d＝﹣3，e＝2，f＝1，∴该选项错误；
D．a＞b，c＞d，e＞f得不出ac＞bd＞ef，比如，a＝1，b＝﹣6，c＝1，d＝﹣2，e＝6，f＝1．
故选：B．

题型二不等式的大小比较

【方法点睛】常用的比较大小的方法有：作差法，做商法.

例1
已知，，则（）
A．
B．
C．
D．a，b大小不确定
【答案】B
变1
比较大小：．（用>，<或=填空）
【方法点睛】此类题是方法是，若a+b=c+d，则两个数越接近，其根式和越大.
【答案】<
例2
若y1=3x2-x＋1，y2=2x2＋x-1，则y1与y2的大小关系是（）
A．y1 B．y1=y2
C．y1>y2
D．随x值变化而变化
【答案】C
例3
设，.
（1）当时，比较的大小；
（2）当时，比较的大小.
【答案】（1）M>N；（2）若a>0，则M>N；若a<0，则M

变2
比较大小_____.
【解析】，所以.
变3
已知，则．（用“>”或“<”填空）
【答案】>

例4
若b＞a＞0，m＜﹣a，设X=ba，Y=b+ma+m，则（　　）
A．X＞Y
B．X＜Y
C．X＝Y
D．不确定
【分析】根据题意，用作差法分析X﹣Y的符号，即可得答案．
【解答】解：根据b＞a＞0，m＜﹣a，可得b﹣a＞0，m+a＜0，m＜0，
所以X−Y=ba−b+ma+m=m(b−a)a(a+m)＞0，
所以X＞Y．
故选：A．
变4
若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则ab，ba，b+ma+m，a+nb+n按由小到大的顺序排列为（　　）
A．ba＜b+ma+m＜a+nb+n＜ab
B．ba＜a+nb+n＜b+ma+m＜ab
C．ba＜b+ma+m＜ab＜a+nb+n
D．ba＜ab＜a+nb+n＜b+ma+m
【分析】利用作差比较法，分别计算它们的差，与0 比较，即可得到结论．
【解答】解：ba−b+ma+m=ab+bm−ab−ama(a+m)=(b−a)ma(a+m)，
∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，
∴(b−a)ma(a+m)＜0，
∴ba＜b+ma+m，
∵b+ma+m−a+nb+n=(b+a)(b−a)+(b−a)(m+n)(a+m)(b+n)，
∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，
∴(b+a)(b−a)+(b−a)(m+n)(a+m)(b+n)＜0，
∴b+ma+m−a+nb+n＜0，
∴b+ma+m＜a+nb+n，
a+nb+n−ab=ab+bn−ab−anb(b+n)=(b−a)nb(b+n)，
∵a＞b＞0，n＞0，
∴a+nb+n−ab＜0，
∴a+nb+n＜ab，
综上可知，ba＜b+ma+m＜a+nb+n＜ab，
故选：A．
例5
甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑
步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（　　）
A．甲先到教室
B．乙先到教室
C．两人同时到教室
D．谁先到教室不确定
【分析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较
【解答】解：设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，
显然v1＜v2，总路程为2s，
则甲用时间为sv1+sv2，乙用时间为4sv1+v2，
而sv1+sv2−4sv1+v2=s(v1+v2)2−4sv1v2v1v2(v1+v2)
=s(v1−v2)2v1v2(v1+v2)＞0，
故sv1+sv2＞4sv1+v2，故乙先到教室，
故选：B．
变5
某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时
间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（　　）
A．甲先到达终点
B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点
D．无法确定谁先到达终点
【分析】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设全程的距离为2s，
对于甲，前半程s的时间为sa，后半程的时间为sb，则甲的时间t1=sa+sb=s(a+b)ab，
对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有a×t22+b×t22=2s，
变形可得t2=4sa+b，
则有t1﹣t2=s(a+b)ab−4sa+b=sab(a+b)[（a+b）2﹣4ab]=sab(a+b)（a﹣b）2，
又由a≠b，则t1﹣t2＞0，
故乙先到达终点，
故选：B．
例6
已知P=1a2+a+1，Q＝a2﹣a+1，则P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≤Q
D．无法确定
【解题思路】配方可得P和Q都大于0，作商法比较可得．
【解答过程】解：∵P=1a2+a+1=1(a+12)2+34＞0，
Q＝a2﹣a+1＝（a−12）2+34＞0，
QP=（a2﹣a+1）（a2+a+1）＝（a2+1）2﹣a2
＝（a2）2+a2+1≥1，故Q≥P
当且仅当a＝0时取等号．
故选：C．
变6
已知x＞0，y＞0，M=x2x+2y，N=4(x−y)5，则M和N大小关系为（　　）
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．以上都有可能
【分析】利用作差法即可比较大小．
【解答】解：M﹣N=x2x+2y−4(x−y)5=x2+8y2−4xy5(x+2y)=x2+4y2−4xy+4y25(x+2y)=(x−2y)2+4y25(x+2y)＞0
∴M＞N．
故选：A．
例7
若，，，试比较与的大小.
【答案】利用做商法，可得答案为>

变7
已知，，，比较与的大小.
【答案】利用做商法，可得答案为>

题型三不等式的证明

例1
若，，求证：.
【分析】利用作差法，结合条件，即可得出结论．
【解答】证明：a+bb−c+dd=ad+bd−bc−bdbd=ad−bcbd，
∵bc﹣ad≥0，bd＞0，
∴ad−bcbd≤0，
∴a+bb≤c+dd．

例2
（1）已知，，求证：；
（2）已知，，求证：；
（3）已知，，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】证明：（1）因为，所以.则.
（2）因为，所以.又因为，所以，即，因此.
（3）因为，根据（2）的结论，得.
又因为，则，即.

变1
已知：，，求证：．
【答案】同上第三问

变2
设，求证：．
【答案】略

题型四根据不等式的性质求范围
【方法点睛】若a
例1
若角α，β满足，则α+β的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．

变1
若角α，β满足，求，的取值范围．

例2
已知角α，β满足，，则4α-β的取值范围是_______.

变2
已知角α，β满足，，则3α-β的取值范围是_______.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式的基本性质，即可求出3α-β的取值范围．
【解答】解：∵，
∴-π＜2α-2β＜π；
又0＜α+β＜π，
∴-π＜（2α-2β）+（α+β）＜2π，
即-π＜3α-β＜2π；
∴3α-β的取值范围是（-π，2π）．
故答案为：（-π，2π）．
例3
已知，，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，，故选：C
变3
已知，，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】A
【解析】设，可得，解得，，
即，
因为，，所以，
所以.
故选：A.
例4
（多选）已知实数满足，，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，A正确；
因为，所以，解得，B错误；
因为，，所以，C正确；
，，所以， D错误.故选：AC.
变4
（多选）设为实数，满足，，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】，，，A正确；
，，，B错误；
，，，C正确；
，，，D错误；故选：AC
04课后强化

专练一不等式的性质的应用

1.（多选）下列命题中正确的是（　　）
A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd
B．若a＞b，则ka＞kb
C．若a＜b，则|a|＜|b|
D．若a＞b＞0，则1a＜1b
【分析】由不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：对于A，若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd，故A正确；
对于B，当k≤0时，不等式ka＞kb不成立，故B不正确；
对于C，若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故C不正确；
对于D，若a＞b＞0，则1a＜1b显然成立，故D正确．
故选：AD．
2.（多选）对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
D．若a＞b，则1a＞1b
【分析】可代入特例判断选项错，可由性质定理判断AB对．
【解答】解：若ac2＞bc2，则a＞b，A对，
由不等式同向可加性，若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，B对，
当令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则ac＝bd，C错，
令a＝﹣1，b＝﹣2，则1a＜1b，D错．
故选：AB．
3.下列四个命题：
①若a＞|b|，则a2＞b2
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd
④若a＞b＞0，c＜0，则ca＞cb
其中正确命题的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】①由a＞|b|，利用不等式的性质可得a2＞b2；
②由a＞b，c＞d，利用不等式的性质可得a+c＞b+d，即可判断a﹣c＞b﹣d是否正确；
③取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，满足a＞b，c＞d，即可判断出；
④由a＞b＞0，c＜0，利用不等式的性质可得1b＞1a＞0，﹣c＞0，于是−cb＞−ca，因此ca＞cb．
【解答】解：①∵a＞|b|，∴a2＞b2，故正确；
②∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，因此a﹣c＞b﹣d不正确；
③取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，满足a＞b，c＞d，但是ac＝﹣4＜bd＝﹣3，故不正确；
④∵a＞b＞0，c＜0，∴1b＞1a＞0，﹣c＞0，
∴−cb＞−ca，∴ca＞cb，故正确．
综上可知：只有①④正确．
故选：B．
4.已知，满足，，，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
5.已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a+1b＜b+1a
B．2a+ba+2b＜ab
C．ba−c＞ab−c
D．3ca＜3cb
【解题思路】根据不等式的性质判断A，根据举实例判断CD，根据作差法判断B．
【解答过程】解：A、∵a＞b＞0，∴1a＜1b，∴a+1b＞b+1a，∴A错误，
B、∵a＞b＞0，∴2a+ba+2b−ab=(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b=b2−a2(a+2b)b＜0，∴B正确，
C、当a＝2，b＝1，c＝﹣1时，∵ba−c=13，ab−c=1，∴ba−c＜ab−c，∴C错误，
D、当a＝8，b＝1，c＝﹣1时，3ca=−12，3cb=−1，∴3ca＞3cb，∴D错误，
故选：B．
6.（多选）设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是（）
A．＞
B．ac＜bc
C．a(b－c)＞b(a－c)
D．＞
【答案】ABC

专练二比较大小

1.比较大小．
【答案】<

2.求证：．
【答案】做商法，过程略
3.设，，，则M与N的大小关系为________.
【答案】>
4.已知，且，试判断与的大小，并用比较法给出证明.
【答案】略

5.已知a，b为正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过作差，提取公因式便可得出a3+b3-（a2b+ab2）=（a-b）2（a+b），并根据条件可以判断（a-b）2（a+b）＞0，这样即可得出所比较两个式子的大小关系
【解答】解：∵（a3+b3）-（a2b+ab2）=a3+b3-a2b-ab2
=a2（a-b）-b2（a-b）
=（a-b）（a2-b2）
=（a-b）2（a+b）；
∵a＞0，b＞0且a≠b；
∴（a-b）2＞0，a+b＞0；
∴（a-b）2（a+b）＞0；
即（a3+b3）-（a2b+ab2）＞0；
∴a3+b3＞a2b+ab2．

6.已知，，试比较与的大小．
【答案】先平方在相减，可得M>N

7.已知，，，．试比较M与N的大小，并证明．
【答案】相减，可得M

专练三根据不等式的性质求范围

1.若，，求2a＋3b的取值范围．
【分析】把2a+3b设为m（a+b）+n（a﹣b），解出m，n，回代，然后利用不等式的性质，求出2a+3b的取值范围．
【解答】解：2a+3b＝m（a+b）+n（a﹣b），
∴m+n=2m−n=3∴m=52，n=−12．∴2a+3b=52（a+b）−12（a﹣b）．
∵﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，∴−52＜52（a+b）＜152，﹣2＜−12（a﹣b）＜﹣1，
∴−92＜52（a+b）−12（a﹣b）＜132即−92＜2a+3b＜132．
故答案为：−92＜2a+3b＜132．
2.已知，，则的取值范围是________________.
【答案】；
【解析】，因为，
所以，所以，故答案为:
3.已知实数满足，，则的最大值是________.
【答案】
【解析】令，
解得：，，
又，，
，
即的最大值是.
故答案为：.
4.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围________________.
【答案】
【解析】令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.所以解得
因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，所以所以-2≤4a-2b≤10.
5.已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________．
【答案】
【解析】，即，，，
又，，；
又，，又，.
综上所述：的取值范围为；的取值范围为.
故答案为：；.
6.若角α，β满足，，则α-β的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
7.已知α，β满足−1≤α+β≤1①1≤α+2β≤3②，试求α+3β的取值范围．
【解题思路】该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．
【解答过程】解　设α+3β＝λ（α+β）+v（α+2β）
＝（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得λ+v=1λ+2v=3，
从而解出λ＝﹣1，v＝2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，
两式相加，得1≤α+3β≤7．
故α+3β的取值范围是[1，7]．
8.实数满足，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由，，两式相加得，，则，
由，得，又，两式相加得，，即；
（2）设，则，解得，
∴，
∵，∴，则．

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