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    【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三(升高一)暑假-第02讲《子集、全集、补集》讲学案(必修1)
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    【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三(升高一)暑假-第02讲《子集、全集、补集》讲学案(必修1)

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    02  子集、全集、补集

           【学习目标】

    1. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
    2. 在具体情境中,了解全集与补集的含义.
    3. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.

    【基础知识】

    知识点一   子集

    1.一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A为集合B的子集.,记作 AB(或 BA,读作A包含于B(或B包含A.

    2.规定:空集是任何集合的子集,.

    3.子集的性质:

    1)任何一个子集都是它本身的子集,.

    2)若,,.

    知识点二   韦恩图

    韦恩(Venn)图:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. AB的子集,可用下图表示:

       

             

     

    知识点三  真子集

    1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B(或B A,读作:A真包含于B(或B真包含A.

    2.真子集的性质

    1)空集是任何非空集合的子集.

    2)若A B,B C,A C.

    知识点四   集合的相等与子集的关系

    1.如果ABBA,A=B.

    2.如果A=B,ABBA.

    知识点五   有限集合的子集个数

    若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n1,非空子集个数2n1,非空真子集个数为2n2.

    知识点六   补集

    1.全集:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用表示.

    2.如果集合A是全集的一个子集,则由中不属于A的所有元素组成的集合,称为A中的补集,记作.

    3. 数学表达式:.

    4.Venn图表示(阴影部分)如图所示:

     

     

     

    5. 给定全集的子集及其任意一个子集A,

    .

     

       【考点剖析】

    考点一:集合的包含关系判断

    1,其中正确的个数为(       )

    A1 B2 C3 D4

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    根据元素与集合的关系、集合与集合的关系即可判断.

    【详解】

    正确;

    正确;

    不正确,左边是数集,右边是点集;

    不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.

    故正确的有①②,共2.

    故选:B.

    考点二:集合的相等

    2已知.,则______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    根据集合与集合相等列式即可求解

    【详解】

    因为

    所以解之得:

    故答案为:

    考点三:空集的定义、性质及运算

    3下列各式中:.正确的个数是(       

    A1 B2 C3 D4

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    根据相等集合的概念,元素与集合、集合与集合之间的关系,空集的性质判断各项的正误.

    【详解】

    集合之间只有包含、被包含关系,故错误;

    两集合中元素完全相同,它们为同一集合,则,正确;

    空集是任意集合的子集,故,正确;

    空集没有任何元素,故,错误;

    两个集合所研究的对象不同,故为不同集合,错误;

    元素与集合之间只有属于、不属于关系,故错误;

    ∴②③正确.

    故选:B.

    考点四:子集与真子集的个数问题

    4设集合,则集合的子集个数为________

    【答案】16

    【解析】

    【分析】

    先化简集合A,再利用子集的定义求解.

    【详解】

    解:

    A的子集个数为8

    故答案为:16

    考点五:补集及其运算

    5已知集合,则  

    【答案】

    【解析】

    考点六:集合关系中的参数取值问题

    6设非空集合

    )当时,求集合

    )当时,求实数的取值范围.

    【解析】()当时,

    )若,则有:

    由于,有

    解得:

    的取值范围为:

     

            【真题演练】

    1.已知集合,则满足条件的集合的个数为(   

    A1 B2 C3 D4

    【答案】D

    【解析】

    【详解】

    求解一元二次方程,得

    ,易知.

    因为,所以根据子集的定义,

    集合必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4

    原题即求集合的子集个数,即有个,故选D.

    【点评】

    本题考查子集的概念,不等式,解一元二次方程.本题在求集合个数时,也可采用列举法.列出集合的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查频度极高.

    2.已知集合是平行四边形是矩形是正方形是菱形,则

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    【详解】

    因为菱形是平行四边形的特殊情形,所以DA,矩形与正方形是平行四边形的特殊情形,所以BACA,正方形是矩形,所以CB

    故选B

    3.已知集合,则中元素的个数为(       

    A9 B8 C5 D4

    【答案】A

    【解析】

    【分析】

    根据枚举法,确定圆及其内部整点个数.

    【详解】

    时,

    时,

    时,

    所以共有9个,

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查集合与元素关系,点与圆位置关系,考查学生对概念理解与识别.

    4.已知集合,则 

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    【详解】

    试题分析:因为,所以,

    故选D.

    考点:集合的运算.

    5.设a,bR,集合,则=(       )

    A1 B-1 C2 D-2

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    利用集合中元素有意义,集合相等的意义列式计算作答.

    【详解】

    ,则,从而得,有,于是得

    所以.

    故选:C

    6.已知集合,则的子集个数为(       

    A3 B C7 D8

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    先求出,再按照子集个数公式求解即可.

    【详解】

    由题意得:,则的子集个数为.

    故选:B.

    7.设集合M={5x2}N={5x5}.若M=N,则实数x的值组成的集合为(       

    A{5} B{1} C{05} D{01}

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    利用集合相等求解.

    【详解】

    解:因为

    所以

    解得

    的取值集合为

    故选:C

    8.已知集合,且下列三个关系:有且只有一个正确,则_______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    根据集合相等的条件,列出所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出的值后代入式子求值.

    【详解】

    由已知,若正确,则,即均与三个关系有且只有一个正确矛盾;

    正确,则正确,不符合题意;

    所以正确,则有,故.

    故答案为:

    9.已知集合,若,则实数的取值范围_________

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    根据,利用数轴,列出不等式组,即可求出实数的取值范围.

    【详解】

    用数轴表示两集合的位置关系,如上图所示,

     

     

    要使,只需,解得

    所以实数的取值范围.

    故答案为:

     

     

           【过关检测】

    一、单选题

    1.下列集合中表示同一集合的是(       ).

    A

    B

    C

    D

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    根据集合相等,检查集合中的元素是否一样即可判断.

    【详解】

    选项A,集合为点集,而点与点为不同的点,故A错;选项C,集合为点集,集合为数集,故C错;选项D,集合为数集,集合为点集,故D错;选项B,集合表示的都是大于的实数,为同一个集合.

    故选:B

    2.设集合,则(       

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】

    【分析】

    根据集合的描述确定的元素,进而判断它们的包含关系即可.

    【详解】

    ,即,而

    所以的子集,则.

    故选:A

    3.设集合,集合,若,则的取值范围为(       

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    【分析】

    直接由求解即可.

    【详解】

    可得.

    故选:D.

    4.已知集合,集合.若,则实数m的取值集合为(       

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    根据的子集列方程,由此求得的取值集合.

    【详解】

    由于,所以

    所以实数m的取值集合为.

    故选:C

    5.集合,则MP之间的关系为(       

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    用列举法表示集合,即可判断两集合的关系;

    【详解】

    解:因为

    所以

    故选:C

    6.已知,若,则的值为(       )

    A1或-1 B01或-1 C D

    【答案】A

    【解析】

    【分析】

    A{11},若,则±1,据此即可求解

    【详解】

    ,则1或-1,故a1或-1

    故选:A

    7.设,若,则的取值范围是(       

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    根据集合的包含关系,列不等关系,解不等式即可.

    【详解】

    由题:,则.

    故选:B

    二、多选题

    8.若,则(       )

    A B C D

    【答案】ABC

    【解析】

    【分析】

    根据题意可知集合B最少包含12两个元素,最多包含123124三个元素.

    【详解】

    B{12}B{123}B{124}.

    故选:ABC.

    9.下列关系式错误的是(       

    A B C D

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】

    由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.

    【详解】

    A选项由于符号用于元素与集合间,是任何集合的子集,所以应为A错误;

    B选项根据子集的定义可知正确;

    C选项由于符号用于集合与集合间,C错误;

    D选项是整数集,所以正确.

    故选:AC.

    10.以下满足的集合A有(       

    A B C D

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】

    直接写出符合题意要求的所有集合A,再去选项中选正确答案.

    【详解】

    由题意可知,集合A包含集合,同时又是集合的真子集,

    则所有符合条件的集合A,,.

    选项BD均不符合要求,排除.

    故选:AC

    三、填空题

    11.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成鲸吞;对于集合,若这两个集合构成鲸吞,则的取值为____________

    【答案】0

    【解析】

    【分析】

    根据题中定义,结合子集的定义进行求解即可.

    【详解】

    时,,显然,符合题意;

    时,显然集合中元素是两个互为相反数的实数,而集合中的两个元素不互为相反数,所以集合之间不存在子集关系,不符合题意,

    故答案为:

    12.已知集合,若,则实数的取值范围是__.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    可知集合中的元素都在集合中,即把集合中的元素带入集合应该满足,从而得到的取值范围.

    【详解】

    解:

    ,解得

    的取值范围是.

    故答案为:.

    四、解答题

    13.已知集合,若,求实数的取值范围.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    分析得出,求得,对方程,计算得出,分三种情况讨论,在的前题下 ,验证成立,在时,可得出,可求得实数的值,综合可得出实数的取值范围.

    【详解】

    因为

    对于方程.

    时,,则,合乎题意;

    时,,此时,合乎题意;

    时,即当时,则,所以,,解得.

    综上所述,实数的取值范围是.

    14.已知集合

    (1),求实数a的取值范围;

    (2),求实数a的取值范围;

    (3),求实数a的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

    (3)

    【解析】

    【分析】

    1)由,以及的子集,确定出的范围即可;

    2)由,以及的子集,确定出的范围即可;

    3)分别求出的补集,根据补集为补集的真子集,确定出的范围即可.

    (1)

    (2)

    (3)

    ,且

     

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