【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第03讲《交集、并集》讲学案（必修1）

第03讲  交集、并集

【学习目标】

理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的并集与交集.

【基础知识】

知识点一   并集

1.一般地,给定两个集合A,B,由这两个集合的所有元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作,读作“A并B”,

2.数学表达式：.

3.用Venn图表示（阴影部分）如图所示：

4. 并集的性质

对于任意两个集合A与集合B,有：

①；

②；

③；

④如果,则,反之也成立.

知识点二  交集

1.一般地,给定两个集合A,B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作,读作“A交B”.

2.数学表达式：.

3.用Venn图表示（阴影部分）如图所示：

4. 交集的性质

对于任意两个集合A与集合B,有：

①；

②；

③；

④如果,则,反之也成立.

知识点三  区间

(1)设a,b是两个实数,而且a<b.我们规定：

①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为 [a,b]；

②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为 (a,b)；

③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 [a,b),(a,b]．

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．

实数集R可以用区间表示为 (－∞,＋∞),“∞”读作“无穷大”,“－∞”读作“负无穷大”,“＋∞”读作“正无穷大”．

我们可以把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合,用区间分别表示为 [a,＋∞), (a,＋∞), (－∞,b], (－∞,b)．

(2)区间的几何表示

   【考点剖析】

考点一：有限数集的交集运算

例1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据交集运算即可求解.

【详解】

因为，，所以.

故选：D.

考点二：不等式解集的交集运算

例2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先用列举法表示集合，再根据交集的定义计算可得；

【详解】

解：因为，又，

所以；

故选：D

考点三：有限数集的并集运算

例3．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

直接运用集合并集的定义进行求解即可.

【详解】

因为，

所以，

故选：A

考点四：不等式解集的并集运算

例4．已知集合，，则（       ）

A． B． C．  D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，，，再根据集合并集运算求解即可.

【详解】

解：因为，，

所以

故选：C

考点五：交、并、补集的混合运算

例5．已知集合，，全集.求：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)=

【解析】

【分析】

（1）先求得集合A，根据交集运算的概念，即可得答案.

（2）先求得集合A的补集，根据并集运算的概念，即可得答案.

(1)

由，解得，，

；

(2)

，

，

=

考点六：Venn图表达集合的关系及运算

例6．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由图中阴影部分可知对应集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.

【详解】

解：由图中阴影部分可知对应集合为

全集，2，3，4，，集合，，，3，，

=，=．

故选：．

考点七：根据集合运算性质求参数范围

例7． 已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出集合A，进而求出A的补集，根据集合的交集运算求得答案；

（2）根据，可得，由此列出相应的不等式组，解得答案.

(1)

，则或 ，

当时，，

；

(2)

若，则，

，

实数a的取值范围为，即 .

考点八：区间的表示

例7．用区间表示下列集合：

(1)；

(2)且.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

先求解集合中的不等式，再利用区间表示即可

(1)

由题意，

(2)

由题意，且且

        【真题演练】

1．已知全集，集合，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用补集概念求解即可.

【详解】

.

故选：C

2．若集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用集合交集运算求解即可.

【详解】

由集合交集运算可得.

故选：C.

3．已知集合，，且（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

直接进行交集运算即可求解.

【详解】

因为集合，

所以，

故选：A.

4．已知集合，，若，则的值是（       ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.

【详解】

因为，若，经验证不满足题意；

若，经验证满足题意.

所以.

故选：B.

5．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据交集并集的定义即可求出.

【详解】

，

，.

故选：C.

6．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据交集、补集的定义可求.

【详解】

由题设可得，故，

故选：B.

7．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】

由题意可得：.

故选：B.

8．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】

由交集的定义结合题意可得：.

故选：D.

9．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分析可得，由此可得出结论.

【详解】

任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

10．设集合，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据交集定义运算即可

【详解】

因为，所以,

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

11．已知集合，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：由题意得，，故选C.

12．已知集合,则________

【答案】；

【解析】

【分析】

直接根据集合的运算求解即可

【详解】

，.

13．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.

(1)求A∪B，；

(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.

【答案】(1)A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2}

(2){a|a<8}

【解析】

【分析】

（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；

（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.

(1)

A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}.

∵＝{x|x<2或x>8}，

∴∩B＝{x|1<x<2}.

(2)

∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可，

∴a<8.

∴a的取值范围为{a|a<8}.

       【过关检测】

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A．（0，1] B．[0，1） C．（0，＋∞） D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据补集的运算求得，再和求交集即可.

【详解】

，

所以（0，1].

故选：A

2．已知集合，，则等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，注意区别集合的元素．

【详解】

故选：D．

3．下列集合不能用区间的形式表示的个数为(      )

①；②；③；④；⑤；⑥．

A．2       B．3       C．4       D．5

【答案】D

【解析】

【详解】

区间形式可以表示连续数集，是无限集

①②N是自然数集，

③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，

④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合。

⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，

故只有⑤可以，区间形式为

故答案为：D

4．已知集合，，若满足，则的值为(       )

A．或5 B．或5 C． D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据可知9∈A，则或由此可求出a的值，分类讨论即可确定符合题意的a的取值．

【详解】

∵，∴9∈A，或，解得或或，

当时，，，此时，不符合题意；

当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；

当时，，，此时，符合题意；

综上，

故选：C．

5．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次函数、一次函数的性质求出其值域，然后由交集定义可得.

【详解】

因为，所以

易知，所以，即

故选：D

6．设集合，集合，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

对两个集合直接求交集即可.

【详解】

集合，集合，

则，

故选：D

7．已知集合，，，则（       ）

A．{6，8} B．{2，3，6，8} C．{2} D．{2，6，8}

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知，先有集合和集合求解出，再根据集合求解出即可.

【详解】

因为，，所以，

又因为，所以.

故选：A.

8．已知集合或，，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由集合的运算结果分析的值

【详解】

，

则

故选：A

二、多选题

9．对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（       ）．

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据所给定义求出，，即可求出，从而判断即可；

【详解】

解：因为，，所以，

∴．

故选：CD

10．若全集为，集合则下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用子集、交集、并集、补集的定义及性质直接求解作答.

【详解】

因集合，则有，A正确；

全集为，则，又，则有，B正确；

因，，因此，不正确，C不正确；

因，则，而，则正确，D正确.

故选：ABD

11．(多选)已知集合，．若，则实数m的值为（       ）

A．0 B．1

C．3 D．3

【答案】AD

【解析】

【分析】

依题意可得，即可得到或，即可求出，再代入检验即可；

【详解】

解：因为，所以．因为，，所以或，解得或或.

当时，，，符合题意；

当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意；

当时，，，符合题意．综上，或；

故选：AD

12．已知，，则下列正确的是（       ）

A． B．

C．或x>3} D．或

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用交集、并集及补集的定义运算即得.

【详解】

∵，，

∴或，

故选：ABD.

三、填空题

13．已知全集，，，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】

先求集合A的补集，再求A的补集与集合B的交集即可.

【详解】

由得，

又，则

故答案为：

14．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，集合B={2，3，4，5}，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】

先求，再求解交集.

【详解】

因为，则.

故答案为：

15．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.

【答案】

【解析】

【分析】

设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果.

【详解】

设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：

由图可知：，解得，

所以同时参加数学和化学小组有人.

故答案为：.

16．已知，，，则实数的取值范围是______

【答案】或

【解析】

【分析】

由可得，根据题意可得到端点的大小关系，得到不等式，从而可得答案.

【详解】

由题意 ，则

要使得，则或

解得或

故答案为：或

四、解答题

17．设全集为，，.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值组成的集合.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）若，求出集合，，即可求；

（2）若，讨论集合，即可得到结论.

(1)

解： ，

当，则，

则；

(2)

解：当时，，此时满足，

当时，，此时若满足，

则或，解得或，

综上.

18．设全集，集合

(1)求；

(2)若集合，且，求a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据交集，并集和补集的定义即可得出答案；

（2）根据，可得，从而可得出答案.

(1)

解：，

或，

，

(2)

解：，

，，

所以，解得.

19．已知，，，，求集合，．

【答案】A={1 , 3 , 5 , 8}，B={ 2 , 3 , 5 , 6}.

【解析】

【分析】

利用韦恩图，将各个集合进行表示，据图可以写出A，B.

【详解】

由题可得如图韦恩图，

可知A={1 , 3 , 5 , 8}，B={ 2 , 3 , 5 , 6}.

20．（1）已知，，，求与；

（2）在如图中用阴影表示与；

（3）由（1）（2），你有什么发现？

【答案】（1），；（2）答案见详解；（3）

【解析】

【分析】

根据交并补定义可直接求解与；阴影部分详见解析；可得出集合的反演律结论

【详解】

（1）因为，，，所以，，则；

（2）如图所示：

（3）由（1）（2）可得