【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第10讲《指数》讲学案（必修1）

第10讲  指数

       【学习目标】

1.理解n次方根、n次根式的概念.

2.能正确运用根式运算性质化简求值.

3. 通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.

【基础知识】

知识点一  n次方根，n次根式

(1)a的n次方根的定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示　求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论

(3)根式

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

知识点二  根式的性质　

(1)负数没有偶次方根.

(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.

(3)()n＝a(n∈N*，且n>1).

(4)＝a(n为大于1的奇数).

(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数).

知识点三  分数指数幂　

根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

知识点四  有理数指数幂的运算性质　记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘

(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).

(2)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q).

知识点五  无理数指数幂　实数指数幂是一个确定的实数

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

   【考点剖析】

考点一：由根式的意义求范围

例1．，则实数a的取值范围_________ 

【答案】

【解析】

【分析】

由二次根式的化简求解

【详解】

由题设得，

，

所以

所以，．

故答案为：

考点二：利用根式的性质化简或求值

例2．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

本题应用，为奇数，进行整理计算．

(1)

(2)

考点三：有限制条件的根式的化简

例3．已知，化简：_____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据根式与指数幂的互化即可求出结果.

【详解】

，

．

故答案为：．

考点四：根式与指数幂的互化

例4．用分数指数幂表示下列各式：

(1)＝____;   (2)＝____；(3)＝____;   (4)＝____；(5)＝____.

【答案】                    ##    

【解析】

【分析】

利用分数指数幂的定义，将根式化为分数指数幂.

【详解】

（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5）

故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.

考点五：利用分数指数幂的运算性质化简求值

例5．化简（式中字母都是正数）：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）同底数幂的乘除法法则进行计算；（2）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算.

(1)

(2)

考点六：整体代换法求分数指数幂

例6．已知，求下列各式的值：

①；

②．

【解析】

①将两边平方，得．

即．

②将两边平方，得，

即．

        【真题演练】

1．化简 (a>0)等于（       ）

A．6a B．－a

C．－9a D．9a2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数运算法则进行运算.

【详解】

故选：C

2．若，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答.

【详解】

因，则有，即，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D

3．已知实数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次根式的运算求解.

【详解】

设，，

，，

，

.

.

又，，

，.

故选：D

4．有下列四个式子：

① ；

② ；

③ ；

④

其中正确的个数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用公式进行求解.

【详解】

① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误．

故选：A

5．若，，则的值为（       ）

A．1 B．5 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解.

【详解】

依题意，，，

则，

所以的值为1.

故选：A

6．若有意义，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】

由负分数指数幂的意义可知，，

所以，即，因此的取值范围是．

故选：C.

7．若，，则的值为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由求出，结合指数幂公式可分别求出，进而得解.

【详解】

由，，得，，，．

故．

故选：C

8．计算：

(1)()2＝____；　(2)()3＝___；

(3)＝____;   (4)＝___；

(5)＝_____   (6) ＝____；

(7)＝____;   (8) ＝____.

【答案】     11     -8          2     ##     3     ##1.5    

【解析】

【分析】

（1）当n为偶数时，；（2）当n为奇数时，；（3）化为分数指数幂进行计算；（4）当n为偶数时，；（5）当n为偶数时，；（6）化为分数指数幂进行计算；（7）化为分数指数幂进行计算；（8）化为分数指数幂进行计算.

【详解】

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.

故答案为：11；-8；；2；；3；；

9．已知，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

通过平方，得两式的转化关系，，从而得，再由，开方即可求得.

【详解】

因为，所以，又因为

，所以

故答案为：.

10．计算：．

【答案】.

【解析】

【分析】

根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答.

【详解】

原式=.

       【过关检测】

一、单选题

1．的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用指数幂的运算性质化简即可.

【详解】

．

故选：A

2．已知（），则的值等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

对其（）两边平方，可知，又，即可求出，进而求出结果.

【详解】

由（），得，

因为，故．

又，且，

所以．于是．

故选:D.

3．化简(其中，)的结果是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得.

【详解】

因，，所以.

故选：C

4．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（       ）

A．（） B．

C．（） D．（）

【答案】C

【解析】

【分析】

利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.

【详解】

A中，（），故A错误；

B中，，故B错误；

C中，（），故C正确；

D中，（），故D错误．

故选：C．

5．若有意义，则a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据根式、幂的定义判断．

【详解】

由题意可知，且，∴a的取值范围是且．

故选：B．

6．化简的结果为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平方差公式结合指数运算性质即可

【详解】

因为，

，

，

，

，

所以原式=

故选：B

7．若代数式有意义，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由有意义求出的取值范围，然后根据根式的运算性质化简计算即可得答案

【详解】

由有意义，得解得．

所以

所以．

故选：B．

8．已知，下列各式中正确的个数是（       ）

①；②；③；④；

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.

【详解】

①,正确；

②，正确；

③因为可知，，，

所以，故错误；

④，正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.

二、多选题

9．[多选题]下列各式运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用指数幂的运算法则逐一考查所给的选项是否正确即可.

【详解】

逐一考查所给的选项：

A．，故A正确；

B．，故B正确；

C．，故C错误；

D．，故D正确．

故选：ABD．

10．[多选题]下列根式与分数指数幂的互化正确的是（       ）

A． B．（）

C．（） D．（）

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用指数幂的性质逐一判断即可.

【详解】

对于选项A，因为（），而（），故A错误；

对于选项B，因为（），故B错误；

对于选项C，（），故C正确；

对于选项D，（），故D正确．

故选:CD

11．（多选题）已知，下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据实数指数幂的运算性质，逐项计算，即可求解.

【详解】

由，所以A正确；

由，所以B正确；

由，

因为，，所以，所以C错误；

由，所以D正确．

故选：ABD．

三、填空题

12．设，则___________.

【答案】4

【解析】

【分析】

由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.

【详解】

由.

故答案为：4.

13．若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意列方程组，求解，然后代入计算即可得答案.

【详解】

∵，，且，

∴，

∴

故答案为：

四、解答题

14．计算下列各式：

(1).

(2).

(3)已知，求的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【解析】

【分析】

(1)利用实数指数幂的运算法则直接计算作答.

(2)利用实数指数幂的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答.

(3)将给定等式两边平方直接计算即可作答.

(1)

原式.

(2)

原式.

(3)

因，两边平方得，

所以.

15．已知，，求的值.

【答案】

【解析】

【分析】

先化简，再将，代入计算求解即可.

【详解】

化简，因为，，所以.

16．（1）已知，求的值；

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）18；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题可得，结合条件及指数幂的运算法则即得；

（2）由题意化简所给的代数式，再结合条件即求.

【详解】

（1）

．

（2）∵，，

∴原式

．