【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第3章《不等式》综合测试（必修1）

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第3章 不等式综合测试 一、单选题1．下列命题中正确的是（       ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】B【解析】【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；选项B.当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，故，故D错误.故选：B2．若为实数，且，则下列命题正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】对于A，当时，，可判断；对于B，举反例，当，时，代入比较可判断；对于C，作差 ，由已知可判断；对于D，运用作差比较法可判断.【详解】对于A，当时，，A错误；对于B，当，时，，，此时，B错误；对于C，因为，所以，又，，C错误；对于D，，，，，，D正确.故选：D.3．若x>1，则有（       ）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1【答案】A【解析】【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.【详解】因x>1，则1，当且仅当，即时取等号.所以有最小值为1.故选：A4．若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（       ）A．m≥1 B．m≥2 C．m≥3 D．m≥4【答案】C【解析】【分析】x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.【详解】解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.5．设一元二次不等式的解集为，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据和是方程的两个根，由韦达定理解得和，可得结果.【详解】由题意可知方程的根为，由韦达定理得：，，解得，所以.故选：B.6．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（       ）A．{a|a<2} B．{a|a≤2}C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2}【答案】D【解析】【分析】分a－2＝0和a－2≠0两种情况进行讨论，第一种情况很容易验证符合题意，第二种情况结合二次函数的特点，讨论开口方向和判别式从而可求出参数的取值范围.【详解】当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；当a－2≠0时，由题意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2，故选:D．【点睛】易错点睛:本题的易错点是忽略了的系数可能为零这种情况，只根据二次函数来求参数，导致求出参数的范围比实际小.7．设，则下列不等式中恒成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】ABD通过举反例可知错误，C利用不等式的性质可证明.【详解】对于A，例如，，此时满足，但，故A错，对于B，例如，，此时满足，但，故B错，对于C，，故C正确，对于D，例如，此时满足，，故D错，故选：C.【点睛】本题主要考查了由条件不等式判断不等关系，属于基础题.8．已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可得恒成立，由利用基本不等式求最值即可求解.【详解】若恒成立，则，因为，当且仅当，即时取等号．所以所以，即，解得：．故选：C【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.二、多选题9．已知关于x的不等式的解集为，则（       ）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.【详解】关于的不等式的解集为选项正确；且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，则，则，C选项错误；不等式即为，解得选项正确；不等式即为，即，解得或选项正确.故选：.10．设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】由已知可得，作差即可比较大小，得出答案.【详解】∵，两式相减得，即，∴．又，∴．而．∴，从而．故选：BD．11．已知实数x，y满足则（       ）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ABD【解析】利用不等式的性质直接求解.【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.12．关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的值可以为（       ）A． B．1 C．－1 D．2【答案】AC【解析】【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1,所以分这3个数为，或分别计算求解即可.【详解】不等式的解集中恰有3个整数当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.当时，不等式的解集中有无数个整数.所以，，，所以所以不等式的解集为：， 由不等式的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1.则这3个整数为：，或 若这3个整数为：，则，解得： 若这3个整数为：则，解得：所以实数的取值集合是.故选：AC.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.三、填空题13．设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质，要使二次函数在区间上仅有一个零点，只需当时，函数值小于0即可，列出不等式，从而可得答案.【详解】解：因为二次函数的对称轴为，且图像开口向上，因为函数在区间上仅有一个零点，所以当时，，解得.故答案为：.14．若正数，满足，则的最小值为______.【答案】8【解析】【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为，则，又，是正数.所以，当取得等号，即且时取等号，所以的最小值为8，故答案为：815．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2．【答案】25【解析】【分析】设矩形的一边为xm，面积为ym2，进而可得另一边的表示，利用基本不等式求解可得矩形场地的最大面积．【详解】设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，∴y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．故答案为：2516．若正数、满足，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】由可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知正数、满足，则，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了的妙用，考查计算能力，属于基础题.四、解答题17．已知关于x的不等式－x2+ax+b>0.(1)若该不等式的解集为（－4，2），求a，b的值；(2)若b=a+1，求此不等式的解集.【答案】(1)a=－2，b=8(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根的关系得出方程的根，然后由韦达定理列式求解；（2）根据相应一元二次方程的根的大小分类讨论可得．(1)根据题意得解得a=－2，b=8.(2)当b=a+1时，－x2+ax+b>0⇔x2－ax－（a+1）<0，即[x－（a+1）]（x+1）<0.当a+1=－1，即a=－2时，原不等式的解集为；当a+1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为（a+1，－1）；当a+1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为（－1，a+1）.综上，当a<－2时，不等式的解集为（a+1，－1）；当a=－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，不等式的解集为（－1，a+1）.18．若不等式的解集是．(1)解不等式；(2)b为何值时，的解集为R．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可，（2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围(1)由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，所以不等式化为，，解得或，所以不等式的解集为或(2)由（1）可知的解集为R，所以，解得，所以的取值范围为19．汽车在行驶过程中，遇到特别情况需要刹车，从刹车（刹死车轮）到停止汽车所走过的路程称为刹车距离.已知某汽车的刹车距离s（单位：m）与速度v（单位：）之间的关系可近似表示为.若该汽车在某路段行驶过程中，前方80m处可能会突然出现障碍物，驾驶员从发现障碍物到刹车需经过0.8s的反应时间，为了安全，汽车必须在障碍物前5m处停住.问：这辆汽车在该路段最大限制速度是多少？【答案】27.19【解析】【分析】根据题意可得，解得即可得出答案.【详解】解：由题意可知，即，解得，所以这辆汽车在该路段最大限制速度是27.19.20．（1）已知，则取得最大值时的值为？（2）已知，则的最大值为？（3）函数 的最小值为？【答案】（1）；（2）1；（3）【解析】【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【详解】（1），当且仅当，即时，取等号.故所求的值为.（2）因为，所以，则.当且仅当，即时，取等号.故的最大值为1.（3）.当且仅当，即时，取等号.故函数的最小值为.21．已知函数的零点为（1）求二次函数的解析式；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】【分析】（1）利用韦达定理求出、的值即可；（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值即可；（3）易得的最小值为12，然后解出不等式即可.【详解】（1）由题知2和3是方程的两个根．由根与系数的关系得即，所以．（2）不等式对于任意恒成立，由于的对称轴是，由二次函数的知识可得，当时二次函数取最大值，所以只需，即，解得或．（3）当时，取得最小值为12，故，即解得，即的取值范围为22．已知关于x的不等式，其中．（1）当k变化时，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）可以，k=-3.【解析】（1）根据相应二次函数的开口方向和二次方程根的大小关系，分，，，和五种情况讨论求解. （2）根据解集A，结合B为有限集，则，在根据B中元素个数最少，则最大，利用基本不等式求解.【详解】（1）当时，不等式化为，此时，不等式的解集是，当时，不等式化为，不等式的解集是，当时，不等式化为，此时，不等式的解集是，当时，不等式化为，不等式的解集是，当时，不等式化为，此时，不等式的解集是，综上：当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，（2）若B为有限集，则此时，要使B中元素个数最少，则最大，，当且仅当，即时，取等号，所以时，集合B中元素最少.【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．