备战2024高考一轮复习数学（理） 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件PPT

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1．等差数列的有关概念
2.等差数列的前n项和公式
1．等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝2，则a6的值是(　 )A．15 B．5 C．10 D．20
2．数列{2n－1}的前10项的和是(　 )A．120 B．110 C．100 D．10
3．设{an}是等差数列，且a1＋a2＝12，a3＋a4＝18，则a5＋a6＝(　 )A．－12 B．0 C．6 D．24解析：∵{an}是等差数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等差数列，∴2(a3＋a4)＝(a1＋a2)＋(a5＋a6)，∴a5＋a6＝36－12＝24.答案：D　
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝3(a5＋3)，且a4＝－1，则{an}的公差为________．
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)基础点　等差数列基本量的运算　[题点全训]1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S19＝57，则3a5－a1－a4＝(　 )A．2 B．3C．4 D．6
2．在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(　 )A．12 B．18C．24 D．30解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a5＋a10＝12，所以2a1＋13d＝12，所以3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24.答案：C　
3．(2023·宜春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，S5＝35，则S10＝(　 )A．100 B．110 C．120 D．130解析：在等差数列{an}中，a2＝5，S5＝35，所以a1＋d＝5,5a1＋10d＝35，解得a1＝3，d＝2，所以S10＝10a1＋45d＝10×3＋45×2＝120.答案：C　4．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________.解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.答案：2
5．(2023·唐山模拟)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a1a4＝a5，则an＝________.
[一“点”就过]等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[提醒]　在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，所以{an}是以1为公差的等差数列．
[方法技巧]　等差数列的判定与证明方法
[解析]　(1)因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝lg225×4＝20.故选B.
考法2　等差数列前n项和的性质[例2]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　 )A．63 B．45 C．36 D．27[解析]　由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.[答案]　B
考法3　等差数列前n项和的最值[例3]　在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　 )A．S15 B．S16C．S15或S16 D．S17
[针对训练]1．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，且a5>a2，则a5＝(　 )A．13 B．4 C．14 D．5
2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝5，S15＝21，则S10＝(　 )A．9 B．10 C．12 D．13解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，由等差数列前n项和的性质可知：S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋(S15－S10)，即2(S10－5)＝5＋(21－S10)，解得S10＝12，故选C.答案：C　
2．(忽视值为0的项)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5n－105，当Sn取得最小值时，n等于(　 )A．20 B．22C．20或21 D．21解析：令an＝5n－105＝0，得n＝21，即a21＝0，又当1≤n≤20时，an＜0，故当n＝20或n＝21时，Sn取得最小值．答案：C　
4．(忽视项的符号)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝________.解析：∵Sn＝n2－16n，∴当n＝1时，a1＝－15，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17，令an≤0，解得n≤8，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝－a1－a2－a3－…－a8＋a9＋a10＋a11＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73.答案：73
5．(强化开放思维)设数列{an}的前n项和为Sn，写出一个同时满足条件①②的等差数列{an}的通项公式an＝________.①Sn存在最小值且最小值不等于a1；②不存在正整数k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1