【暑假小初衔接】北师大版数学六年级（六升七）暑假预习-第08讲《有理数混合运算》同步讲学案

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1掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算（以三步为主）。
2在运算过程中能合理使用运算律，简化运算。
【基础知识】
1．有理数运算规则
加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算．
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）．
2．“奇负偶正”
（1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号；
（2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号；
（3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．
【考点剖析】
一．有理数的混合运算（共6小题）
1．（2022春•徐汇区校级期中）计算：．
【分析】根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：
＝1×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）
＝﹣24+36+（﹣14）
＝﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．
2．（2022•南岗区校级开学）计算下面各题．
（1）；
（2）．
【分析】（1）把除化为乘，再用有理数乘法法则计算；
（2）把除化为乘，再逆用乘法分配律即可计算．
【解答】解：（1）原式＝××
＝；
（2）原式＝×+×
＝×（+）
＝×
＝．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则及运算律．
3．（2021秋•全州县期末）计算：
（1）（+13）+（﹣5）﹣（﹣7）；
（2）（﹣2）3÷4﹣4×（﹣2）．
【分析】（1）先化简符号，再加减即可；
（2）先算乘方，再乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝13﹣5+7
＝15；
（2）原式＝﹣8÷4﹣（﹣8）
＝﹣2+8
＝6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运的顺序和相关运算的法则．
4．（2021秋•公安县期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）把相加是整数的先相加即可；
（2）先算乘方和绝对值，再逆用乘法分配律，即可算出答案．
【解答】解：（1）原式＝（12.3﹣25.3）+（﹣+11.5）
＝﹣13+9
＝﹣4；
（2）原式＝﹣8×+9×﹣×15
＝×（﹣8+9﹣15）
＝×（﹣14）
＝﹣10．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算的顺序及相关运算的法则．
5．（2021秋•定远县校级期末）计算：
（1）（﹣15）+21﹣（﹣6）；
（2）．
【分析】（1）先把减法变成加法，从左到右依次计算即可．
（2）首先计算乘方，绝对值，然后计算乘除，最后计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣15+21+6＝12；
（2）原式＝﹣1﹣6÷（﹣2）×＝﹣1+3×＝﹣1+1＝0．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握解题法则是解答本题的关键．
6．（2021秋•高青县期末）计算：
（1）（）÷；
（2）﹣23÷8﹣×（﹣2）2；
（3）﹣24+（3﹣7）2﹣2×（﹣1）2；
（4）[（﹣2）3+]÷4+（﹣）．
【分析】（1）运用乘法对加法的分配律，简化计算．
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
（4）先算乘方，再算中括号里的，再算除法，再算加法．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝6+9﹣14
＝1．
（2）原式＝
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
（3）原式＝﹣16+（﹣4）2﹣2×1
＝﹣16+16﹣2
＝﹣2．
（4）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
二、有理数中的新定义问题
7.（2020秋•紫阳县期末）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：
（1）（﹣2）☆4；
（2）（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
【分析】（1）根据m☆n＝mn+mn﹣n，可以求得所求式子的值；
（2）根据m☆n＝mn+mn﹣n，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣2）☆4
＝（﹣2）4+（﹣2）×4﹣4
＝16+（﹣8）+（﹣4）
＝4；
（2）∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣1）☆[（﹣5）☆2]
＝（﹣1）☆[（﹣5）2+（﹣5）×2﹣2]
＝（﹣1）☆（25﹣10﹣2）
＝（﹣1）☆13
＝（﹣1）13+（﹣1）×13﹣13
＝（﹣1）+（﹣13）+（﹣13）
＝﹣27．
8.（2020秋•包河区校级月考）用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a，如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16
（1）求（﹣2）⊕3的值；
（2）求（⊕3）⊕（）的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝﹣2×32﹣2×2×3﹣2
＝﹣18﹣12﹣2
＝﹣32；
（2）根据题中的新定义得：
原式＝（⊕3）⊕（）
＝（9﹣10）⊕（）
＝（）⊕（）
2
．
9.（2020秋•西城区校级期中）对于正整数a，b，定义一种新算a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b
（1）计算1△2的值为 ；
（2）写出a△b的所有可能的值 ；
（3）若a△b△c△d△e△f＝（﹣1）a+（﹣1）b+（﹣1）c+（﹣1）d+（﹣1）e+（﹣1）f，其中a、b、c、d、e、f都是正整数，请你写出使a△b△c△d△e△f＝﹣4成立的一组a、b、c、d、e、f的值 ；
（4）若a，b，c都是正整数，则下列说法正确的是 ．（选出所有正确选项）
A．a△b＝b△a
B．a△（b+c）＝a△b+a△c
C．（a△a）2＝2[（2a）△（2a）]
D．（a△b）3＝3[（3a）△（3b）]
【分析】（1）根据a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，可以求得所求式子的值；
（2）分正整数a，b都是奇数，一奇一偶，都是偶数进行讨论即可求解；
（3）写出五奇一偶的情况即为所求；
（4）根据a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，依次计算，再进行比较即可求解．
【解答】解：（1）∵a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，
∴1△2＝（﹣1）1+（﹣1）2＝﹣1+1＝0．
故答案为：0；
（2）正整数a，b都是奇数，
a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝﹣1﹣1＝﹣2；
正整数a，b一奇一偶，
a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝﹣1+1＝0；
正整数a，b都是偶数，
a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝1+1＝2．
综上所述，a△b的所有可能的值是﹣2或0或2．
故答案为：﹣2或0或2；
（3）使a△b△c△d△e△f＝﹣4成立的一组a、b、c、d、e、f的值1，3，5，7，9，2（答案不唯一）．
故答案为：1，3，5，7，9，2（答案不唯一）；
（4）A．∵a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，b△a＝（﹣1）b+（﹣1）a，
∴a△b＝b△a，故说法正确；
B．∵a△（b+c）＝（﹣1）a+（﹣1）b+c，a△b+a△c＝（﹣1）a+（﹣1）b+（﹣1）a+（﹣1）c，
∴无法得到a△（b+c）＝a△b+a△c，故说法错误；
C．∵（a△a）2＝[（﹣1）a+（﹣1）a]2＝4，2[（2a）△（2a）]＝2[（﹣1）2a+（﹣1）2a]＝2×2＝4，
∴（a△a）2＝2[（2a）△（2a）]，故说法正确；
D．∵（a△b）3＝[（﹣1）a+（﹣1）b]3，3[（3a）△（3b）]＝3[（﹣1）3a+（﹣1）3b]，
∴无法得到（a△b）3＝3[（3a）△（3b）]，故说法错误．
故答案为：A、C．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·全国）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则值为（ ）
A．B．3C．D．3或
【答案】B
【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．
【详解】解：根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，
原式=4-1+0=3
故选：B
【点睛】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是根据题意得出a+b=0，cd=1，m=±2．
2．（2021·安徽芜湖市·七年级期末）小明乘电梯从一楼到六楼，向上平移了15米，若每层楼的高度相同，则她乘电梯从十三楼到一楼（ ）
A．向下平移28.8米B．向下平移33米
C．向下平移26.4米D．向下平移36米
【答案】D
【分析】计算出每层楼的高度即可．
【详解】解：∵从1楼到六楼，向上平移了15米．
∴每层楼高：15÷（6﹣1）＝3（米）
∴从13楼到1楼需要向下平移：（13﹣1）×3＝36（米）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查有理数计算的应用，解题的关键是根据题意列式求解．
3．（2021·湖北武汉市·七年级期中）下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若定义运算“*”，规定则有
C．若，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】利用乘方的意义，新定义，以及相反数性质判断即可．
【详解】解：A、若a=-b，则a2=b2，正确；
B、若定义运算“*”，规定a*b=a（1-b），则有2*（-2）=2×（1+2）=6，正确；
C、若0＜a＜1，则a2＞a3，正确；
D、若a＞b，ab≠0，则不一定小于，如a=，b=-，则=2，=-3，满足a＞b，而2＞-3，则，故该选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2021·广东广州市·铁一中学七年级期中）按如图所示的运算程序，能使输出结果为3的，的值分别是（ ）
A．5，-2B．3，-3C．-3，-9D．-4，2
【答案】C
【分析】根据运算程序，结合输出结果确定出的值即可．
【详解】解：根据题意得：，
则，的值可以为，，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
5．（2020·山西七年级期中）“⊙”表示一种运算符号，其意义是a⊙b＝2a﹣b，则⊙（1⊙3）等于（ ）
A．2B．1C．0.5D．0
【答案】A
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：1⊙3＝2×1﹣3＝﹣1，
则原式＝⊙（﹣1）＝2×﹣（﹣1）＝1+1＝2．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2021·浙江七年级期末）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，则的结果是（ ）
A．69B．90C．100D．112
【答案】B
【分析】首先理解两种运算“⊕”“*”的规定，然后按照混合运算的顺序，有括号的先算括号里面的，本题先算6⊕8，3⊕5，再把它们的结果用“*”计算．
【详解】解：由题意知，（6⊕8）*（3⊕5）=（6+8-1）*（3+5-1）=13*7=13×7-1=90．
故选：B．
【点睛】本题考查了学生读题做题的能力．理解两种运算“⊕”“*”的规定是解题的关键．
7．（2021·河北石家庄市·七年级期中）要使算式﹣34□（23﹣（﹣2）3）的计算结果最大，在“□”里填入的运算符号应是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
【答案】D
【分析】分别进行加减乘除的运算，根据结果的大小判断即可．
【详解】解：﹣34+（23﹣（﹣2）3）=﹣81+16=﹣65，
﹣34﹣（23﹣（﹣2）3）=﹣81﹣16=﹣97，
﹣34×（23﹣（﹣2）3）=﹣81×16=﹣1296，
﹣34÷（23﹣（﹣2）3）=﹣81÷16=，
∵﹣1296＜﹣97＜﹣65＜，
∴要使算式﹣34□（23﹣（﹣2）3）的计算结果最大，在“□”里填入的运算符号应是÷号，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的运算法则是解答的关键．
二、填空题
8．（2021·福建省漳州第一中学七年级开学考试）口算
（1）__________ （2）__________ （3）__________
（4）__________ （5）__________ （6）__________
【答案】3.2，900，，0，，64
【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1），
（2）
（3），
（4），
（5），
（6），
故答案为：3.2，900，，0，，64．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
9．（2021·诸暨市开放双语实验学校七年级期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，则＝__________．
【答案】26
【分析】根据题意可得 ， ， ，代入即可求解．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴，‘
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的性质，熟练掌握相反数的定义，倒数的定义，绝对值的性质是解题的关键．
10．（2021·福建省漳州第一中学七年级开学考试）对于任意两个数和定义新运算，运算规则如下：，，按此规则计算：（1）__________；（2）__________．
【答案】5.4 19
【分析】（1）根据◆，列出算式计算即可求解；
（2）根据先算7.5，再根据◆，列出算式计算即可求解．
【详解】解：（1）3.6◆2
；
（2）7.55
，
2◆
◆10
．
故答案为：5.4，19．
【点睛】本题考查了定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案．
11．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）规定一种新运算“*”，，例，则_______．
【答案】-5
【分析】根据新定义求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：-5.
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解题的关键在于能够准确读懂新定义.
12．（2021·福建省光泽第一中学七年级开学考试）______千克比150千克多，比45米少40%是______米．
【答案】200 27
【分析】根据分数的加法的意义，比150千克多的重量是150千克的，根据分数乘法的意义，比150千克多的重量是千克；根据分数减法的意义，比45米少40%是45米的，则比45米少40%的量是米．
【详解】解：（千克），
（米），
故答案是：200，27．
【点睛】本题考查了分数加法、减法、乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则．
13．（2021·四川）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费14元；超过5千克的部分每千克加收3元，小明在该快递公司寄一件9千克的物品，需要付费___元．
【答案】26
【分析】根据题意可直接进行列式求解．
【详解】解：由题意得：
所需费用为14+(9-5)×3=26（元），
故答案为26．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
14．（2021·重庆西南大学附中七年级期中）计算：﹣（﹣3）2×+|2﹣4|＝_____．
【答案】-1
【分析】先算乘方、绝对值，再算乘法，最后算加减．
【详解】解：﹣（﹣3）2×+|2﹣4|
＝﹣9×+2
＝﹣3+2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握有理数运算顺序和法则，准确进行计算．
15．（2021·四川成都市·七年级期末）如图是一个数值转换机，例如输入a＝5，第一步52＝25，第二步25﹣4×5＝5，第三步5×（﹣3），输出结果为﹣15．若输入a＝﹣6，则输出结果应为_______．
【答案】-180
【分析】把a的值代入计算程序中计算即可得到结果．
【详解】解：输入a＝﹣6，
第一步（﹣6）2＝36，
第二步36﹣4×（﹣6）＝60，
第三步60×（﹣3）＝﹣180，
输出结果为﹣180．
故答案为：﹣180．
【点睛】本题主要考查了与程序流程图有关的运算，解题的关键在于能够读懂题意一步步进行求解.
16．（2021·贵州铜仁市·七年级期末）规定一种运算：x*y＝x2﹣2y．则2*（﹣3）＝_____．
【答案】10
【分析】根据新定义即可代入求解．
【详解】∵规定一种运算：x*y＝x2﹣2y．
∴2*（﹣3）＝22-2×（-3）=4+6=10
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是根据题意列式求解．
三、解答题
17．（2021·广东广州市·七年级期末）计算：
（1）7+（﹣6）﹣（﹣4）×3；
（2）﹣23÷8﹣×（﹣2）2．
【答案】（1）13；（2）﹣2
【分析】（1）先算乘法，再算减法，最后算加法即可求得答案；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可求得答案．
【详解】解：（1）原式＝7＋（－6）－（－12）
＝7＋（－6）＋12
＝13；
（2）原式＝﹣8÷8﹣×4
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则及运算顺序是解决本题的关键．
18．（2021·杭州市公益中学七年级期末）计算：
（1）12×（）；
（2）﹣32＋5×（﹣6）﹣（﹣4）2÷（﹣2）．
【答案】（1）5；（2）-31
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【详解】解：（1）
=
=6-4+3
=5；
（2）-32+5×（-6）-（-4）2÷（-2）
=-9+（-30）-16×（）
=-9+（-30）+8
=（-39）+8
=-31．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
19．（2021·福建省福州延安中学七年级期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）-18
【分析】（1）先整数相加，再分数相加；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法求解．
【详解】解：（1）原式===；
（2）原式=-4×5-（-8）÷4=-20+2=-18．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左至右的顺序进行计算；同时注意使用各个运算律使运算得到简化．
20．（2020·广州市天河中学七年级期中）某登山队5名队员以大本营为基地，向海拔距离大本营500米的顶峰发起登顶冲击，假设向上走为正，向下走为负，行程记录如下（单位：米）＋120，－30，－45，＋205，－30，＋25，－20，－5，＋30，＋105，－25，＋90．
（1）他们有没有登上顶峰？如果没有登上顶峰，他们距离顶峰多少米？
（2）登山时，5名队员在进行中全程均使用了氧气，每人每100米消耗氧气0.5升，求共使用了多少升氧气？
【答案】（1）他们没有登上顶峰，他们距离顶峰米；（2）
【分析】（1）将行程的数据相加，与500比较，进而判断是否登上顶峰，再计算距离顶峰多少米；
（2）将行程的数据的绝对值相加，根据每人每100米消耗氧气0.5升，计算即可
【详解】（1）（米）．
（米），
答：他们没有登上顶峰，他们距离顶峰米．
（2）（米），
每人每100米消耗氧气0.5升，
（升），
答：他们共消耗升氧气．
【点睛】本题考查了有理数加减法的应用，有理数的混合运算，理解题意正确的计算是解题的关键．
21．（2020·广州市天河中学七年级期中）计算．
（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算方，再计算乘除，最后计算加减；
（2）根据分配率进行计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘方分配率，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．
22．（2021·湖北武汉市·七年级期中）计算
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【答案】（1）；（2）4.4；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）根据有理数的减法可以解答本题；
（2）根据有理数的加法可以解答本题；
（3）根据有理数的乘除法可以解答本题；
（4）根据乘法分配律可以解答本题；
（5）先乘方，再根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【详解】解：（1）；
（2）
；
（3）
1；
（4）
；
（5）
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
23．（2021·福建省漳州第一中学七年级开学考试）甲、乙两艘轮船从相距96千米的码头同时出发相向而行，甲轮船每小时行驶25千米，乙轮船每小时行驶35千米，几小时后两轮船相距24千米？
【答案】1.2小时或2小时后两轮船相距24千米
【分析】分相遇前和相遇后两种情况，利用路程÷速度和=时间计算．
【详解】解：相遇前：
（96-24）÷（25+35）=1.2小时；
相遇后：
（96+24）÷（25+35）=2小时；
∴1.2小时或2小时后两轮船相距24千米．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是要注意分类讨论．
24．（2021·福建省漳州第一中学七年级开学考试）计算
（1） （2）
（3）简便计算 （4）简便计算
【答案】（1）288；（2）；（3）1201；（4）1
【分析】（1）先算括号内的，再算除法；
（2）先通分，计算括号内加减法，再算乘法；
（3）将变为，再利用乘法分配律计算；
（4）将分母中的1992变为1993-1，利用乘法分配律展开，即可计算．
【详解】解：（1）
=
=
=288；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=
=1201；
（4）
=
=
=
=1
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，同时要根据算式的形式选择简便运算的方法．
25．（2021·河南濮阳市·七年级期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．
（1）求的值； （2）求的值．
【答案】（1）3；（2）16
【分析】各式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：
原式=3×（-1）+2×3=-3+6=3；
（2）根据题中的新定义得：
原式=-2⊕[-4×+2×（-4）]
=-2⊕（-10）
=20-4
=16．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．