【暑假小初衔接】北师大版数学六年级（六升七）暑假预习-第10讲《有理数及其运算全章复习》同步讲学案

第10讲 有理数及其运算全章复习

【学习目标】

1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.

2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.

3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.

4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；

5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.

【基础知识】

一、有理数的概念

1．有理数的分类：

（1）按定义分类：                                    （2）按性质分类：

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；

（2）有理数“0”的作用：

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．

要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．

要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．

（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．

4．绝对值：

（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． 

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．

二、有理数的运算

1 ．法则：

（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．

（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．

（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．

（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．

（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．

(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．

（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．

2．运算律：

（1）交换律:   ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；

（2）结合律:   ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)；  ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)

（3）分配律：a(b+c)=ab+ac

三．近似数和有效数字

（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．

四．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

五．科学记数法—原数

（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．

（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．

六．科学记数法与有效数字

（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；

（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．

例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．

【考点剖析】

一．正数和负数（共2小题）

1．（2022•德宏州模拟）若海平面以上500米，记作+500米，则海平面以下100米可记作（　　）

A．100米 B．﹣100米 C．500米 D．﹣500米

2．（2022•滨海县一模）若盈余3万元记作+3万元，则﹣3万元表示（　　）

A．亏损3万元 B．盈余3万元 

C．亏损﹣3万元 D．不盈余也不亏损

二．有理数（共1小题）

3．（2022•冠县二模）下列各数是负分数的是（　　）

A．﹣7 B． C．﹣1.5 D．0

三．数轴（共1小题）

4．（2022•市北区二模）如图，在数轴上若两个不同的点A和B到原点的距离相等，则点B所表示的数是（　　）

A．3 B．±3 C．﹣3 D．

四．绝对值（共2小题）

5．（2022•红河州二模）已知|a|＝1，b是的相反数，则a+b的值为（　　）

A．或 B． C． D．或

6．（2022•港北区二模）2的绝对值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．0 D．3

五．非负数的性质：绝对值（共1小题）

7．（2021秋•聊城期末）若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则b﹣a﹣的值是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1

六．倒数（共1小题）

8．（2020秋•大武口区期中）分别写出﹣4，2.5的相反数、绝对值和倒数．

七．有理数大小比较（共1小题）

9．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣|﹣|　   　﹣（﹣5.25）．（用“＞”或“＜”填空）

八．有理数的加法（共1小题）

10．（2021秋•环江县期末）计算：﹣2+5+（﹣6）+7．

九．有理数的减法（共1小题）

11．（2020秋•静安区期末）计算：．

一十．有理数的加减混合运算（共1小题）

12．（2022春•徐汇区校级期中）计算：．

一十一．有理数的乘法（共1小题）

13．（2021秋•岚皋县校级月考）计算：0.5×（﹣0.6）．

一十二．有理数的除法（共1小题）

14．（2022春•普陀区校级期中）计算：（﹣）×（﹣）÷（﹣3）．

一十三．有理数的乘方（共1小题）

15．（2021秋•吉林期末）计算：|﹣4|÷×（﹣3）2．

一十四．非负数的性质：偶次方（共1小题）

16．（2021春•兰州期中）如果|x﹣y+1|+（y﹣2）2＝0，求﹣（﹣y）x+1．

一十五．有理数的混合运算（共1小题）

17．（2021秋•全州县期末）计算：

（1）（+13）+（﹣5）﹣（﹣7）；             （2）（﹣2）3÷4﹣4×（﹣2）．

一十六．近似数和有效数字（共1小题）

18．（2021秋•南关区校级期末）把9.831精确到百分位得到的近似数为 　   　．

一十七．科学记数法—表示较大的数（共1小题）

19．（2022•德宏州模拟）我国新型商业运载火箭捷龙三号，预计在今年进行首飞，首飞时，计划采用全新的发射平台在海上发射，这款中低轨道运载火箭，500公里轨道运载能力达到1500千克．将1500用科学记数法可表示为 　   　．

一十八．科学记数法—原数（共1小题）

20．（2021秋•鼓楼区校级月考）一个数用科学记数法表示为2.18×105，则这个数是 　   　．

一十九．科学记数法与有效数字（共1小题）

21．（2022•浦东新区校级模拟）第七次全国人口普查，国家统计局发布公报上海市常住人口为24870895人，这个数用科学记数法表示为 　   　.（结果保留3个有效数字）

【过关检测】

一、单选题

1．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．可以表示为（    ）

A． B． C．81 D．

3．（2021·河南郑州市·七年级期末）2020年12月12日，国家主席习近平在气候雄心峰会上强调：到2030年单位国内生产总值二氧化碳排放量将比2005年下降65%以上，森林积蓄量将比2005年增加60亿立方米等，为全球应对气候变化做出更大贡献．其中60亿立方米用科学记数法表示正确的为（    ）

A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米

4．（2020·浙江七年级期中）若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式的最小值为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

5．记运入仓库的大米吨数为正，则表示（    ）

A．先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨

B．先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨

C．先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨

D．先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨

6．（2020·山西太原市·七年级期末）2020年末“霸王级”寒潮来袭，全国各地气温骤降，如图表示2021年元月某天山西省四个城市的天气情况．这一天最高气温最低的城市为（    ）

A．大同 B．太原 C．长治 D．晋城

二、填空题

7．如果将中午定为0，以后为正，单位是小时，那么上午应表示为_________；下午应表示为_________．

8．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期中）截止4月6日，电影《你好，李焕英》上映55天，票房接近54亿元，成为了春节期间上映电影中的一匹黑马，54亿元用科学计数法可表示为___________元．

9．求的值为________．

10．（2021·江苏南京一中七年级月考）将输入如图所示的流程图，在输出圈的括号内输出的数分别为__________________．

11．（1）|－2|×（－2）＝____，         （2）|－|×5.2＝_____，

（3）|－|－＝____，              （4）－3－|－5.3|＝_____．

12．（2021·重庆巴蜀中学七年级期中）为了让市民接种新冠疫苗更加方便，某社区卫生中心对辖区居民接种疫苗意愿进行了预登记．某小区居民在预登记时，申请需接种两针的“国药灭活疫苗”、一针的“康希诺腺病毒载体疫苗”和三针的“智飞生物重组蛋白疫苗”的人数均不低于10人．正式登记时，该小区居民接种两针疫苗和一针疫苗的人数均比预登记时增加了，接种三针疫苗的只有8人，实际接种时在接种两针疫苗的居民中有几人因身体不符合接种条件而没能接种．接种结束后（需要接种的针剂全部打完）卫生中心统计发现该小区预登记和实际接种时的针剂总数恰好都为100针，则该小区实际接种的人数最多为________人．

三、解答题

13．用四张大小完全相同的长方形纸片拼成的图形如图所示．若已知长方形的长为，宽为，求图中空白部分的面积．

14．一道路保洁员在一条东西走向的马路上工作，从O地出发，先向东走了千米到达A地，再向西走了4千米到达B地，最后回到O地，以向东方向为正方向．

（1）用有理数依次表示这位保洁员的3次走动情况；

（2）以O地为原点，用一个单位长度表示1千米，在数轴上标出点A，B的位置，它们分别表示的数是什么？A，B两地与原点的距离分别是多少？

（3）这3次走动，这位保洁员一共走了多少路？

15．在数轴上，A、B两点的数分别用a、b表示，如果，，请你在给定的数轴上，

（1）画出B点可能的位置，并标上字母；

（2）计算A、B两点的距离为多少？

17．计算

（1）            （2）

（3）           （4）

（5）      （6）

（7）      （8）

18．计算：

（1）      （2）

（3）      （4）

（5）       （6）－12×（－5）÷[－32＋（－2）2]．