【暑假小初衔接】浙教版数学六年级（六升七）暑假预习-第13讲《实数及其运算》同步讲学案

第13讲 实数及其运算

一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

       （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

二、实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

 2.实数与数轴上的点的关系

我们尝试用数轴上的一个点来表示．

由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．

这样，就在数轴上确定一个点来表示．

要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。

3.两个实数比较大小

①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。

②数轴上，如果点A,点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离

4.估算：怎样估算无理数 (①误差小于1)？(②误差小于0.1)？

误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1.

估算无理数的方法是： 

（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；

（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。

（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。

记忆常用数的近似值：≈1.414   ≈1.732   ≈2.236

三、实数的运算

1、实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。

2、实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里的。

3、实数的运算结果

涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。

例1．在0.618，0，，，，3.14，，无理数有（       ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

例2．不是（       ）．

A．分数 B．小数 C．无理数 D．实数

例3．如图，在数轴上表示实数的点可能（       ）．

A．点P B．点Q C．点M D．点N

例4．（1）___________叫做无理数；

（2）___________和___________统称为实数；

（3）___________和数轴上的点一一对应．

例5．判断正误，并举例说明：

（1）不带根号的数都是有理数；（       ）

（2）两个无理数的和还是无理数．（       ）

例6．比较大小：____；____；____；____．

例7．在数轴上与1距离是的点表示的实数是__________．

例8．已知a，b为两个连续整数，，则_________．

例9．如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段_________上．（从“”，“”，“”，“”中选择）

例10．若的整数部分是，小数部分是，则__．

例11．已知，那么在中，最大的数是（       ）

A． B． C． D．

例12．计算的结果是_______________．

例13．计算:_______

例14．有个数值转换器，原理如图所示，当输入为8时，输出的值是__________．

例15．计算：

(1)；

(2)．

例16．计算：

一、单选题

1．下列说法正确的是（       ）

A．实数可分为正实数和负实数 B．无理数可分为正无理数和负无理数

C．实数可分为有理数，零，无理数 D．无限小数是无理数

2．若一个正方形的面积为32，则其边长应在（       ）

A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间

3．下列个数，3．1415926，，，，，中，无理数的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（     ）

A．个 B．个 C．个 D．个

5．实数在数轴上的对应点可能是（       ）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点

6．已知a为整数，且满足，则a等于（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．如图，数轴上的A、B两点分别表示的数是：－1和，点O为原点，AB＝AC，则点C所表示的数为（       ）

A． B． C． D．

8．若的整数部分为，小数部分为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为64时，输出的y值是（       ）

A．8 B． C． D．

10．黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（       ）

A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间

11．已知；；，则a、b、c的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

12．如图，在数轴上点表示的数为1，在点的右侧作一个边长为1的正方形，对角线的长度为，将对角线绕点逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．比较大小：3________（填“>”或“<”）．

14．计算：______；

15．如图，一条长度为的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数轴重合时，A点表示的数为 _____．

16．大于﹣小于的整数有 _____个．

17．若n为整数，且，则n的值为________________．

18．把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_______．

19．已知实数a在数轴上的位置如图所示，计算＝_____．

20．对于实数，我们规定：用表示不小于 的最小整数，例如：． 现对 72 进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2，类似地：

（1）对 36 只需进行_______次操作后变为 2；

（2）只需进行 3 次操作后变为 2 的所有正整数中，最大的是________

三、解答题

21．把下列各数填入相应的集合内．

、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），

(1)有理数集合{                                 …   }

(2)无理数集合{                                 …   }

(3)负实数集合{                                   … }

22．计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

23．计算：

（1）；               （2）．

24．如图：

(1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；

(2)O为原点，求出O、A两点间的距离．

(3)求出A、B两点间的距离．

25．如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．

(1)求m的值；

(2)求|m﹣1|+1的值．

26．已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．

27．为了切实减轻学生的课业负担，各地中小学积极响应，开展一系列形式多样的课后服务．某次晚托兴趣活动中：

图1                                                图2

(1)小红用两个大小一样的小正方形纸片，剪拼出了一个面积400cm2的大正方形纸片．如图1，则每个小正方形的边长是 　   　；

(2)小美想用这块面积为400cm2的大正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为6：5，且要求长方形的四周至少留出1cm的边框．（如图2）请你用所学过的知识来说明，能否用这块纸片裁出符合要求的纸片．

28．如图1，依次连接2×2方格四条边的中点，得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位，则这个阴影正方形的边长为．

（1）图1中阴影正方形的边长为 　   　；点P表示的实数为 　   　；

（2）如图2，在4×4方格中阴影正方形的边长为a．

①写出边长a的值．

②请仿照（1）中的作图在数轴上表示实数﹣a+1．

29．阅读下面的两则材料，解答问题

材料1：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分

材料2：因为，所以式子①和式子②均成立．

请解答下列问题：

(1)的整数部分是______，小数部分是______．

(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．

30．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．

(1)仿照以上方法计算：=_______；=_____．

(2)若，写出满足题意的x的整数值_____________．

如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．

(3)对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．

(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．