【暑假小初衔接】苏科版数学六年级（六升七）暑假预习-第02讲《有理数的相关概念》同步讲学案

第02讲 有理数的相关概念

【学习目标】

重点：有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．

难点：绝对值的化简及运算．

【基础知识】

一．正数和负数

1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．

2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．

3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．

二．有理数

1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．

2、有理数的分类：

①按整数、分数的关系分类：有理数；

②按正数、负数与0的关系分类：有理数．

注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．

三．无理数

（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．

（2）、无理数与有理数的区别：

　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．

　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如等．

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．

（3）含有π的绝大部分数，如2π．

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．

四．数轴

（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

         数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）

（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．

五．相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．

六．绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数．

（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）

七．非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．

【考点剖析】

一．正数和负数（共3小题）

1．（2021秋•思明区校级期末）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出100元记作﹣100元，则+60元表示（　　）

A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元

2．（2021秋•东台市期末）北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间14：00，同一时刻的柏林时间是7：00，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间8：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（　　）

A．9：30 B．11：30 C．13：30 D．15：30

3．（2021秋•海门市期末）如果“盈利10%'记为+10%，那么“亏损6%”记为　   　．

二．有理数（共2小题）

4．（2021秋•宝应县期末）在下列数，﹣π，2，﹣3中，为负整数的是（　　）

A． B．﹣π C．2 D．﹣3

5．（2021秋•无锡期末）在数﹣12，π，﹣3.4，0，+3，中，属于非负整数的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

三．无理数（共2小题）

6．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列各数中，是无理数的是（　　）

A．11 B．2π C．﹣0.5 D．0

7．（2022春•如皋市校级月考）下列各数﹣5，，4.1212112，0，，0.中，无理数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

四．数轴（共3小题）

8．（2021秋•如东县期末）如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则a+b的值可能是（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2

9．（2021秋•松滋市期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣2、1，若B、C两点之间的距离为2，则A、C两点之间的距离为（　　）

A．5 B．1 C．1或5 D．4

10．（2021秋•仪征市期末）数在数轴上的位置可以是（　　）

A．点A与点B之间 B．点B与点O之间 

C．点O与点D之间 D．点D与点E之间

五．相反数（共2小题）

11．（2022•石城县模拟）﹣2022的相反数是（　　）

A．﹣2022 B．2022 C． D．

12．（2021秋•相城区月考）﹣|﹣（﹣2.5）|的相反数是（　　）

A．﹣2.5 B．2.5 C．﹣（） D．

六．绝对值（共4小题）

13．若|x|+|x﹣4|＝8，则x的值为（　　）

A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对

14．（2022春•宜兴市校级月考）|﹣9|的值是（　　）

A．9 B．﹣9 C． D．±9

15．（2021秋•襄都区校级期末）||的相反数是（　　）

A． B． C． D．

16．（2021秋•常州期末）已知x，则|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|的值是 　   　．

七．非负数的性质：绝对值（共3小题）

17．（2021秋•东台市月考）若|a﹣1|+|b+3|＝0，则b﹣2a的值是（　　）

A．﹣5 B． C．﹣1 D．4

18．（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 　   　．

19．（2022春•兴化市校级月考）若|2a﹣1|+|2a+b|＝0，且（c+1）2＝0，求c2•（a3﹣b5）的值．

【过关检测】

一．选择题（共9小题）

1．（2019秋•江阴市期中）如果向西走5m，记作+5m，那么﹣15m表示（　　）

A．向东走15m B．向南走15m C．向西走15m D．向北走15m

2．（2022•广西模拟）下列数中，﹣2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

3．（2021秋•鼓楼区校级期末）在0，，1.333…，，3.14中，有理数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列各数中，是无理数的是（　　）

A．11 B．2π C．﹣0.5 D．0

5．（2021秋•惠山区期末）如图，点A是数轴上一点，则点A表示的数可能为（　　）

A．﹣2.5 B．﹣1.5 C．﹣0.5 D．1.5

6．（2021秋•泗洪县期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若|a﹣b|＝2022，当a取最大值时，b值是（　　）

A．2023 B．2021 C．1011 D．1

7．（2021秋•雄县期末）如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PR＝2．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|＝6，则原点是（　　）

A．M或N B．N或P C．M或R D．P或R

8．（2021秋•锡山区期末）两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0

9．（2021秋•宜兴市月考）若|a﹣1|+|b+2|＝0，则a+b的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．0 D．3

二．填空题（共1小题）

10．（2021秋•玄武区校级月考）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2021的值是 　   　．

三．解答题（共10小题）

11．（2021秋•仪征市期中）现有一批橘子共7筐，以每筐15kg为标准，超过或不足的质量分别用正、负数来表示，统计如下（单位：kg）：

（1）这批橘子中，最重的一筐比最轻的一筐重 　   　kg；

（2）已知橘子每千克售价8元，求售完该批橘子的总金额．

12．（2021秋•高新区月考）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内：，﹣7，+2.8，﹣900，﹣3，99.9，0，4．

13．（2021秋•海陵区校级月考）泰州市海陵路正在进行旧城改造工程，为加强宣传力度，市政府决定派一辆宣传车宣传相关政策，如果车上的GPS系统设定以“万象城”为原点，1公里为单位长度，向南为正方向，下表是宣传车停靠点的位置，根据表中的数据回答下列问题：

（1）如果宣传车在上午8：00从出发点出发，以每小时8公里的速度向南行驶，在8点45分时，车上GPS显示的数字是多少？

（2）如果宣传车在上午8：00从出发点出发，以每小时8公里的速度行驶，在每个宣传点宣传政策的时间是45分钟，那么回到出发点的时间是下午几点？

14．（1）﹣[﹣（+2）]＝　   　

（2 ）﹣[﹣（﹣2007）]＝　   　

（3）﹣[+（﹣27）]＝　   　

（4）　   　．

15．在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它们的相反数．

16．（2020秋•饶平县校级期末）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b|

17．（2020秋•镇江月考）（1）若a＜0，则　   　．

（2）若a×b≠0，的取值可能是 　   　．

18．（2019秋•崇川区校级月考）已知|3x﹣2|+|y﹣4|＝0，求|6x﹣y|的值．

19．（2021秋•秦淮区校级月考）若|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，请求出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．

20．若|x+3|与|y+2|互为相反数，求x+y的值．