【暑假小升初自学】苏科版数学六年级（六升七）暑假-专题01《解方程》预习讲学案

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01解方程
【推本溯源】
《九章算术——卷八》方程
今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上，各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何?
答曰：上禾一秉实二十五分斗之九，中禾一秉实二十五分斗之七，下禾秉实二十五分之四。
今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。问牛羊各直金几何?
答曰：牛一，直金一两二十一分两之一十三，羊一，直金二十一分两之二十。
【解惑】
类型一、解百分数、小数与比例方程
                    
                  
【答案】；；；
；；
【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以4，解出方程。
（2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以0.1，解出方程。
（3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以0.4，解出方程。
（4）先计算7.2－2.4的差，再根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，利用等式的性质2，方程左右两边同时除以4.8，解出方程。
（5）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以，解出方程。
（6）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以12，解出方程。
【详解】
解：





解：





解：



解：





解：






解：




类型二、解繁方程
    
【答案】；
【分析】，依据比例的基本性质，先写成的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×，再同时＋1即可。
，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可；
【详解】
解：






解：









类型三、循环小数与分数化简
阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数化成分数：设0.6666…＝x，10x＝6.6666…，可得方程：10x－x＝6，解得x＝，即＝。参考以上方法，解决下面的问题。
（1）把化成分数。
（2）把化成分数。
（3）把化成分数。
（4）通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）见详解
【分析】（1）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数0.3…＝x，根据等式的性质，在等式两边同时乘10变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去x，然后解方程即可；
（2）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数0.4343…＝x，根据等式的性质，在等式两边同时乘100变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去x，然后解方程即可；
（3）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数5.24343…＝x，根据等式的性质，在等式两边同时乘10变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去x，然后解方程即可；
（4）根据题意和解题过程说出自己的发现即可。
【详解】（1）设0.3…＝x
10x＝3.33…
10x－x＝3
9x＝3
9x÷9＝3÷9
x＝
（2）设＝x
＝100x
100x－x＝43
99x＝43
99x÷99＝43÷99
x＝
（3）设＝x
＝10x
＝1000x
1000x－10x＝5191
990x＝5191
990x÷990＝5191÷990
x＝
（2）我发现纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
【点睛】本题考查等式的性质，熟练运用等式的性质是解题的关键。

类型四、新定义方程
规定：a◎b＝8a＋ab－2b，求x◎（10◎5）＝144中的未知数x。
【答案】x=3
【分析】根据a◎b＝8a＋ab－2b，先求出10◎5的值，再列出方程求出未知数x即可。
【详解】由a◎b＝8a＋ab－2b，可得：
10◎5
＝8×10＋10×5－2×5
＝120
x◎120
＝8x＋120x－2×120
＝128x－240
由x◎（10◎5）＝144可得：
128x－240＝144
解：128x－240＋240＝144＋240
128x＝384
128x÷128＝384÷128
x＝3
【点睛】本题主要考查定义新运算，根据已知的新运算规律这个法则去解决问题即可。


【知不足】
1．解方程。
                
【答案】；；
【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以，解出方程。
（2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以6，解出方程。
（3）先合并方程左边含共同未知数的算式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以0.2，解出方程。
【详解】
解：





解：




解：




2．解比例或解方程。
2.5＋3x＝8.5      0.4∶x＝1.2∶2      120%x＋x＝44
【答案】x＝2；x＝；x＝20
【分析】（1）方程两边同时减去2.5，两边再同时除以3；
（2）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以1.2；
（3）先把方程左边化简为2.2x，两边再同时除以2.2。
【详解】（1）2.5＋3x＝8.5
解：2.5＋3x－2.5＝8.5－2.5
3x＝6
3x÷3＝6÷3
x＝2
（2）0.4∶x＝1.2∶2
解：1.2x＝0.8
1.2x÷1.2＝0.8÷1.2
x＝
（3）120%x＋x＝44
解：2.2x＝44
2.2x÷2.2＝44÷2.2
x＝20
3．解方程或比例。
2－35%x＝1.3        x∶∶10
【答案】x＝2；x＝；x＝
【分析】（1）方程两边同时加上，两边再同时减去1.3，最后两边再同时除以35%；
（2）先把方程左边化简为，两边再同时乘6；
（3）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，两边再同时除以10。
【详解】（1）
解：




（2）
解：


（3）x∶∶10
解：


【点睛】熟练掌握等式的基本性质和比例的基本性质是解题的关键。
4．设，已知求。
【答案】x＝9
【分析】，就是前一个数的3倍减去后一个数的2倍，，即是3x－（4×3－1×2）×2＝7，应用等式的性质解此方程即可。
【详解】因为，
所以：即是3x－（4×3－1×2）×2＝7，
3x－（4×3－1×2）×2＝7
解：3x－（12－2）×2＝7
3x－10×2＝7
3x－20＝7
3x＝20＋7
3x＝27
x＝9
5．已知☆＋△＝30，☆＋☆＋☆＋△＝40，那么☆＝( )，△＝( )。
【答案】 5 25
【分析】根据已知条件“☆＋△＝30”可知△＝30－☆，把“△＝30－☆”代入“☆＋☆＋☆＋△＝40”可先求出☆的值，再把☆的值代入“△＝30－☆”，即可求出△的值，据此解答。
【详解】由“☆＋△＝30”可知△＝30－☆，
把“△＝30－☆”代入“☆＋☆＋☆＋△＝40”可得出：
☆＋☆＋☆＋30－☆＝40
2☆＝40－30
2☆＝10
☆＝10÷2
☆＝5，
把“☆＝5”代入“△＝30－☆”中得：△＝30－5＝25。
已知☆＋△＝30，☆＋☆＋☆＋△＝40，那么☆＝5，△＝25。
【点睛】本题有两个未知量，解答时要注意观察已知条件，然后把一个未知量用另一个未知量代替，这样比较容易理解。
6．定义一种运算b＝，若m＝37.45，则m＝( )。
【答案】2.35
【分析】根据定义新运算的运算规则，把式子m＝37.45进行展开，然后根据等式的性质解方程即可。
【详解】m＝37.45
7m＋3×7＝37.45
7m＋21＝37.45
7m＝37.45－21
7m＝16.45
m＝16.45÷7
m＝2.35
【点睛】本题考查解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。
7．阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将0.化为分数：
解：设x=0.=0.5555…
那么10x=5.=5+0.（利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数）
所以10x﹣x=5.﹣0.=5，解得x=
所以，0.=．这样我们就将无限循环小数0.化为了分数．
（1）试着用上述方法将无限循环小数0.，0.分别化为分数．
（2）将无限循环小数2.化为分数．
【答案】（1）；
（2）2
【详解】（1）解：设x=0.=0.5555…
10x=5.=5+0.
10x﹣x=5.﹣0.=5
9x=5
x=
设x=0.=0.252525…
所以100x﹣x=25.﹣0.=25
99x=25
x=
（2）解：设x=0.=0.5555…
那么10x=5.=5+0.
所以10x﹣x=5.﹣0.=5
9x=5
x=
2.=2+=2．
【一览众山小】
1．求未知数。
0.16÷（x—）＝÷2.7    ∶20%＝∶（x＋0.3）   2.7∶x＝5×（1—10%）
【答案】x＝；x＝；x＝
【分析】0.16÷（x－）＝÷2.7，先计算出÷2.7的商，再根据等式的性质2，方程两边同时除以÷2.7的商，同时再乘x－；最后根据等式的性质1，方程两边同时加上，即可；
∶20%＝∶（x＋0.3），解比例，原式化为：×（x＋0.3）＝20%×，再根据等式的性质2，方程两边同时除以，再根据等式的性质1，方程两边同时减去0.3，即可；
2.7∶x＝5×（1－10%），解比例，原式化为：5×（1－10%）x＝2.7，再根据等式的性质2，方程两边同时除以5×（1－10%）的结果，即可。
【详解】0.16÷（x－）＝÷2.7
解：0.16÷（x－）＝×
0.16÷（x－）＝
0.16÷＝x－
x－＝0.32
x＝0.32＋
x＝＋
x＝
∶20%＝∶（x＋0.3）
解：×（x＋0.3）＝20%×
×（x＋0.3）＝
x＋0.3＝÷
x＋0.3＝×2
x＋0.3＝
x＝－0.3
x＝
2.7∶x＝5×（1－10%）
解：2.7∶x＝5×0.9
2.7∶x＝4.5
4.5x＝2.7
x＝2.7÷4.5
x＝
2．若1.78＋[1×0.8－3×（x＋0.2）]÷5＝0.28，求x的值。
【答案】
【分析】先化简等号的左边，将方程转化为，1.82－0.6x＝0.28，再方程左右两边同时减去0.6x，将其转化为0.28＋0.6x＝1.82，再左右两边同时减去0.28，将其转化为0.6x＝1.54，再左右两边同时除以0.6即可。
【详解】1.78＋[1×0.8－3×（x＋0.2）]÷5＝0.28
解：1.78＋[0.8－3x－0.6）]÷5＝0.28
1.78＋[0.2－3x]÷5＝0.28
1.78＋0.04－0.6x＝0.28
1.82－0.6x＝0.28
1.82－0.6x＋0.6x＝0.28＋0.6x
0.28＋0.6x＝1.82
0.28＋0.6x－0.28＝1.82－0.28
0.6x＝1.54
0.6x÷0.6＝1.54÷0.6
x＝
3．和都是自然数，并且满足，则________。
【答案】3
【分析】观察算式，是异分母分数加法，先通分，然后按照同分母分数的加法进行计算。由此得出和的关系式，再根据和都是自然数，分情况讨论和的值，进而求出的值。
【详解】
则
①当时

解：



不符合“和都是自然数”的要求。
②当时

解：




符合“和都是自然数”的要求。
所以，，。
。
【点睛】先根据异分母分数加法的计算法则，找出和的关系，再分情况讨论它们的取值。
4．满足的最小正整数A＝( )；B＝( )。
【答案】 6 3
【分析】利用代数法代入求解，注意A和B是正整数时才符合要求。
【详解】因为
所以24＝
AB都是正整数，所以至少要大于等于24。
A最小为3，当A为3，4，5时，B不是正整数不符合题干。
当A＝6时，＝9，B＝3。
所以A＝6，B＝3。
【点睛】代入数值利用等式的性质求解，A和B是正整数是解题的关键。
5．在算式“（口口＋7×口）÷9＝4”中，“口”代表同一个数字，这个数字是_______。
【答案】2
【分析】由题意可知，“口”代表同一个数字，则口口一定能被11整除，即能够写成11×口的形式，由此解答即可。
【详解】（口口＋7×口）÷9＝4
解：（11×口＋7×口）÷9＝4
18×口÷9＝4
18×口＝36
口＝2
【点睛】明确口口能被11整除是解答本题的关键。
6．如果规定a△b＝，已知x△（5△1）＝6，那么x是多少？
【答案】0.3
【分析】根据题意，先算小括号中的5△1＝，然后求出满足x△1.2＝6的值即可。
【详解】由分析得：


x△
6×（x÷1.2）＝x＋1.2
6x÷1.2＝x＋1.2
5x＝x＋1.2
5x－x＝1.2
4x＝1.2
x＝1.2÷4
x＝0.3
答：那么x是0.3。
【点睛】本题主要考查定义新运算，正确理解定义新运算的含义是解题的关键。
7．某学生用乘一个数a时，把误看成1.23，使乘积比正确结果小0.3。则正确结果应该是多少？
【答案】111
【分析】根据题意可知，原题结果是a，现在结果是1.23a；则a－1.23a＝0.3，a－1.23a＝a；化成分数为：；化成分数为：；解方程，求出a的值，进而解答。
【详解】根据分析可知，
a－1.23a＝0.3
a＝0.3
a＝0.3÷
a＝÷
a＝×
a＝90
×90
＝×90
＝111
答：正确结果是111。
【点睛】利用循环小数的逆还原法，把循环小数化为分数，根据题意，列方程，解方程，求出a的值，进行解答。
8．规定表示与的差的2倍或与的差的2倍（即大数减小数的2倍），例如，。
①计算：。
②若，求的值。
【答案】①8；②x＝6或x＝10
【分析】①可按大数减小数的差的2倍来计算；
②当8＞x时，可列方程：（8－x）×2＝4；
当8＜x时，可列方程：（x－8）×2＝4。
【详解】①＝（33－29）×2＝4×2＝8
②由题意得：
（8－x）×2＝4
解：8－x＝4÷2
8－x＝2
x＝6
（x－8）×2＝4
解：x－8＝2
x＝2＋8
x＝10
【点睛】①小题需要我们读懂题意并按题意列式计算即可；②小题展示了在数学中答案的不唯一，可结合数字的大小分两种情况展开思考。
9．已知x＋x＋x＋x＋x＋y＋y＝36，x＋x＋y＝15，求x和y的值。
【答案】x＝6，y＝3
【分析】将x＋x＋y＝15代入x＋x＋x＋x＋x＋y＋y＝36，得15×2＋x＝36，解得x＝6。
将x＝6代入x＋x＋y＝15，解得y＝3。
【详解】（1）把x＋x＋y＝15代入x＋x＋x＋x＋x＋y＋y＝36，得
x＋x＋x＋x＋x＋y＋y＝36
（x＋x＋y）＋（x＋x＋y）＋x＝36
15×2＋x＝36
30＋x＝36
x＝6
（2）将x＝6代入x＋x＋y＝15，得
x＋x＋y＝15
6＋6＋y＝15
y＝3
10．已知：x、y为有理数，如果规定一种新运算※，定义x※y=xy﹣2．根据运算符号的意义完成下列各题．
（1）求2※4 的值；
（2）求（1※5）※6的值；
（3）3※m=13求m的值．
【答案】6；16；5；
【详解】试题分析：由题意得：新运算的方法为：x※y等于这两个数的乘积减2；
（1）根据新运算知：2※4=2×4﹣2，计算即可；
（2）根据新运算先计算出括号里的，再计算括号外的；
（3）根据新运算得：3※m=3×m﹣2=13，解出m的值即可．
解；（1）2※4
=2×4﹣2
=8﹣2
=6
（2）（1※5）※6
=（1×5﹣2）※6
=3×6﹣2
=16
（3）3※m=13
3×m﹣2=13
3m﹣2+2=13+2
3m=15
3m÷3=15÷3
m=5
【竞速吧】
x－（＋）－＝0           x÷5＋x÷0.4＝2.7         2x－4×（x＋3）＝2x－27  
                               
3x－4（x＋）＝2x－           x－3×（4－x）＝12             x－
【答案】x＝；x＝1；x＝
x＝；x＝；x＝5
x＝；x＝；x＝25
【分析】x－（＋）－＝0，先计算出（＋）的和，再加上，就是x的值，即可解答；
x÷5＋x÷0.4＝2.7，先化简，原式化为：x＋ x＝2.7，先计算出与的和，再用2.7除以与的和，即可解答；
2x－4×（x＋3）＝2x－27，先化简方程，原式化为：4x＋12＝27，4x＝15，用15除以4，即可解答；
，先计算出＋－的差，再除以，即可解答；
，先化简，方程两边同时乘6，原式化为：6x－2x－4＝6－3x＋3，化简，原式化为：7x＝13，再用13除以7，即可解答；
，先化简，方程两边同时×6，原式化为：6x－3x－3＝18＋4－2x，化简，原式化为：5x＝25，再用25÷5，即可解答；
3x－4（x＋）＝2x－，先化简，原式化为：3x－4x－＝2x－，再化简，原式化为：3x＝－，再用－的差除以3，即可解答；
x－3×（4－x）＝12，先化简方程，原式化为：x－12＋3x＝12，再化简为：x＝24，再用24除以，即可解答；
x－ ，先化简，原式化为：5x－x＋2.5＝102.5，再化简，原式化为：4x＝102.5－2.5，再用102.5－2.5的差除以4，即可解答。
【详解】x－（＋）－＝0
解：x－（＋ ）－ ＝0
x－ －＝0
x＝＋
x＝
x÷5＋x÷0.4＝2.7
解：x＋ x＝2.7
x＝2.7
x＝2.7÷
x＝2.7×
x＝1
2x－4×（x＋3）＝2x－27
解：2x－4x－4×3＝2x－27
2x＋4x－2x＝27－12
4x＝15
x＝

解：x＝＋－
x＝＋－
x＝
x＝÷
x＝×
x＝

解：6x－2×（x＋2）＝6－3×（x－1）
6x－2x－4＝6－3x＋3
6x－2x＋3x＝9＋4
4x＋3x＝13
7x＝13
x＝13÷7
x＝

解：6x－3×（x＋1）＝18＋2×（2－x）
6x－3x－3＝18＋4－2x
3x＋2x＝18＋4＋3
5x＝25
x＝25÷5
x＝5
3x－4（x＋）＝2x－
解：3x－4x－＝2x－
2x＋4x－3x＝－
3x＝1
x＝1÷3
x＝
x－3×（4－x）＝12
解：x－12＋3x＝12
x＝12＋12
x＝24
x＝24÷
x＝24×
x＝
x－
解：5x－（x－2.5）＝20.5×5
5x－x＋2.5＝105.5
4x＝102.5－2.5
4x＝100
x＝100÷4
x＝25