【暑假小升初自学】苏科版数学六年级（六升七）暑假-专题05《找规律》预习讲学案

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《一》 算式规律
在算式过程中，其实也有很多规律，比如：观察1×1＝1，11×11＝121，111×111＝12321，那么1111×1111＝（ 1234321 ）。
观察这组算式，两个因数相同，均由若干个1组成。积的位数比两个因数的位数和少1。积中间的数字等于一个因数的位数，并向两边分别依次递减1，积的最高位和个位都是1。根据已知的算式得出前后算式之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
《二》数列规律
等差数列，如1，3，5，7，
等比数列，如1，2，4，8，
二阶等差数列，如1，3，6，10，
递推数列，如兔子数列，1，1，2，3，5，8...
交替数列，如1，1，2，2，3，4，4，
等差数列求和：总和=
非零连续自然数数列求和：1+2+3+4+...+n=n（n+1）÷2
连续奇数列求和：1+3+5+7+...+（2n-1）=n²
《三》裂项规律
（一）整数的裂项公式
1.
2.
3.4.
5.
（二）分数的裂项公式
1.
2.
3.
4.
《四》数表规律
在生活中，我们也有常见的一些表格规律，比如：日历。
我们可以根据月历表中上下相邻两个数的差是7，左右相邻两个数的差是1，根据框中的数与数之间的关系，用正中间的数表示出其它4个数，这些规律还有很多。
【解惑】
类型一、算式规律
照样子写出下面算式的答案。



( )
( )
【答案】
【分析】通过观察：



可知：有个这样的数相加，计算结果中整数部分是；小数部分的最后一位数都是，小数部分从倒数第二位开始，就从开始，从大到小依次写，据此解答即可，
【详解】，
【点睛】解答.此题的关键是根据已知算式找出规律，然.后再根据规律解答。
类型二、数列规律
找规律填数。
(1)90，81，72，( )，( )，( )。
(2)16，5，14，5，12，5，( )，( )。
(3)24，27，30，( )，( )，39。
(4)2，3，5，8，13，( )，( )。
【答案】(1) 63 54 45
(2) 10 5
(3) 33 36
(4) 21 34
【分析】（1）后一个数比前一个数少9。
（2）第1个数，第3个数，第5个数，第7个数，后一个数比前一个数少2；
第2个数，第4个数，第6个数，第8个数，都是5。
（3）后一个数比前一个数多3。
（4）从第3个数开始，每个数是等于它前面两个数的和。据此解答。
【详解】（1）72－9＝63，63－9＝54，54－9＝45；
故，90，81，72，63，54，45。
（2）12－2＝10，
故，16，5，14，5，12，5，10，5。
（3）30＋3＝33，33＋3＝36；
故，24，27，30，33，36，39。
（4）8＋13＝21，13＋21＝34；
故，2，3，5，8，13，21，34。
【点睛】此题主要考查的是数字排列的规律，关键是发现规律并运用。
类型三、裂项规律
观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：（ ）。
（2）（ ）。
（3）探究并计算：（ ）。
（4）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解；
（4）先拆项，再抵消结果即可求解。
【详解】（1）
＝
＝
【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。
类型四、数表规律
下表中的a、b、c表示3个连续的奇数。
(1)在表中任意写出三组这样的数，并求出各组数的和。
(2)观察上表，发现了( )。
(3)如果3个连续奇数的和是99，这3个数从小到大分别是( )，( )，( )。
【答案】(1) 1 3 5 9 7 9 11 27 13 15 17 45
(2)三个连续奇数的和是中间数的3倍
(3) 31 33 35
【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；相邻的两个奇数之间相差2，据此填空，填空后发现，三个连续奇数的和是中间数的3的倍数。
【详解】（1）
（答案不唯一）
（2）9÷3＝3
27÷9＝3
45÷15＝3
观察上表，发现了：三个连续奇数的和是中间数的3倍。
（3）99÷3＝33
33－2＝31
33＋2＝35
如果3个连续奇数的和是99，这3个数从小到大分别是31，33，35。
【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
【知不足】
1．根据33×88＝2904，333×88＝29304，3333×88＝293304，33333×88＝2933304，不用计算， 得333333×88＝（ ）。
A．2933304B．29333304C．293333304D．2933333304
【答案】B
【分析】观察这组算式，积的前两位是29，后两位是04，中间数字3的个数是乘数中3的个数减2。
【详解】6－2＝4，积的中间有4个3。
333333×88＝29333304
故答案为：B
【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
2．观察算式和得数特点，填写算式。
1×9＋2＝11 12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111 123456×( )＋( )＝( )。
【答案】 9 7 1111111
【分析】观察前三个算式可知：算式的第一个数从1开始，每次增加一个连续的自然数，与另一个因数9相乘，用得到的积再依次加上2、3、4…，加上几，这个算式的结果就是几个连续的1，根据此解答即可。
【详解】根据分析可知：
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
123456×9＋7＝1111111
【点睛】根据题目中的数据特点，找出规律，运用找出的规律解决问题。
3．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第9个数据是( )。
【答案】
【分析】先观察分子：9、16、25、36，分别是32、42、52、62，据此得出第n个数据的分子是（n＋2）2；再观察分母：5、12、21、32，可分别改写成1×5、2×6、3×7、4×8，据此得出第n个数据的分母是n（n＋4），接下来将n＝9代入即可求出第9个数据。
【详解】观察前面四个数据，可得规律是：
分子是：32，42，52，62，…，（n＋2）2，…，
分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，…，n（n＋4），…
所以第n个数据是
所以第9个数据是：。
【点睛】本题考查的是探究规律——数字字母规律问题，应从仔细观察题中所给的已知数据，，，，找到它们的共同特点入手。
4．有一串数，这串数从左起数第( )个分数是。
【答案】111
【分析】观察此数列知道，分母是1的分数有1个，分母是2的分数有3个，分母是3的分数有5个，分母是4的分数有7个…由此得出在这个数列里，以n为分母的数的数量成一列奇数列，那么以分母为10的分数共有2×10－1＝19，由此求出从第1＋3＋5＋7＋9…＋17＋19个分数是结束以10为分母的分数，从分母是11开始一直到总共有11个分数，前面算出的结果加上11即可。
【详解】（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19）＋11
＝（1＋19）×10÷2＋11
＝20×10÷2＋11
＝100＋11
＝111
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。
5．按规律填数。
①3，20，4，19，5，( )，( )；
②2，4，6，10，16，( )，( )。
【答案】 18 6 26 42
【解析】略
6．仔细观察找出规律，再填数。
①1，6，7，12，13，( )，( )。
②2，5，4，7，6，( )，( )。
【答案】 18 19 9 8
【解析】略
7．计算：_______
【答案】
【详解】原式
8．计算：________ ．
【答案】
【详解】原式
9．计算：_________
【答案】
【详解】原式
10．找规律，填一填。
【答案】45；22；7
【分析】由题中数据可知，左侧两个小三角形中的数相加等于右侧大三角形中的数，依此列式计算即可。
【详解】37＋8＝45；62－40＝22；72－65＝7
第三个图中应填写45；第四个图中应填写22；第五个图中应填写7。
【点睛】本题考查数字的排列规律。
11．认真观察下图阴影方框中正中间与其他四个数的关系。
(1)中间数是x，左边的数是( )，右边的数是( )，上边的数是( )，下边的数是( )。
(2)中间数是x，5个数的和是( )。
(3)当5个数的和是80时，中间的数是( )。
【答案】(1) x－1 x＋1 x－7 x＋7
(2)5x
(3)16
【分析】（1）观察题意可知，左边的数比中间的数少1，右边的数比中间的数多1，上边的数比中间的数少7，下边的数比中间的数多7；
（2）将5个数相加，也就是x＋x＋1＋x－1＋x－7＋x＋7，然后再化简即可，即5x；
（3）已知5x＝18，根据等式的性质2，求出x的值即可。
【详解】（1）中间数是x，左边的数是（x－1），右边的数是（x＋1），上边的数是（x－7），下边的数是（x＋7）。
（2）x＋x＋1＋x－1＋x－7＋x＋7
＝x＋x＋x＋x＋x＋（1－1）＋（7－7）
＝5x
中间数是x，5个数的和是5x。
（3）5x＝80
解：5x÷5＝80÷5
x＝16
当5个数的和是80时，中间的数是16。
【点睛】本题考查了用字母表示数以及含未知数式子的化简和求值，关键是明确5个数之间的关系。
12．仔细观察，你发现了什么规律？在□里填上合适的数。
【答案】81；46
【分析】44＋18＝62；54＋25＝79，由此可知，每一组盒子中的卡片，左右两边的数的和等于最上方的数，因此用最上方的数减左边的数，即可得到右边的数，依此解答。
【详解】19＋62＝81
71－25＝46
因此填空如下：
【点睛】此题考查的是数表中的规律，应熟练掌握100以内数的加、减法计算。
【一览众山小】
1．观察下列算式：
1＋3＝4＝2×2
1＋3＋5＝9＝3×3
1＋3＋5＋7＝16＝4×4
……
计算：1＋3＋5＋…＋2005＝( )。
【答案】1003×1003
【分析】观察发现，等式的左侧是从1开始的连续的奇数求和，其结果可以表示为奇数个数的平方。
【详解】从1到2005有1003个奇数；
【点睛】对于从1开始的连续的n个奇数求和，可以表示为。
2．按规律填空并计算。
32－23＝9×1＝9
42－24＝9×2＝18
63－36＝9×( )＝( )
51－15＝9×( )＝( )
94－49＝( )×( )＝( )
71－17＝( )×( )＝( )
( )－( )＝( )×( )＝( )
【答案】 3 27 4 36 9 5 45 9 6 54 81 18 9 7 63
【详解】略
3．我们把“n个相同的数a相乘”记为“an”，例如23=2×2×2=8．
（1）计算：29=_____，55=_____．
（2）观察以下等式：
（x﹣1）×（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）×（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）×（x3+x2+x+1）=x4﹣1
…
由以上规律，我们可以猜测（x﹣1）×（xn+xn﹣1+…+x+1）=_____．
（3）计算：32011+32010+…+3+1．_____
【答案】 512 3125 xn+1﹣1
【详解】试题分析：（1）根据乘方的运算法则计算即可；
（2）根据给出的材料可看出，等号右边x的指数规律是n+1，所以（x﹣1）×（xn+xn﹣1+…+x+1）=xn+1﹣1．
（3）运用（2）的规律计算即可求解．
解：（1）计算：29=512，55=3125．
（2）（x﹣1）×（xn+xn﹣1+…+x+1）=xn+1﹣1．
（3）32011+32010+…+3+1，
=（32012﹣1）÷（3﹣1），
=．
故答案为512，3125；xn+1﹣1；．
4．按规律填数。
12、1、10、1、8、1、（ ）、（ ）
1、2、5、14、（ ）、（ ）
1、4、9、16、25、36、 （ ）

【答案】6；1
41；122
49
16
3865
【分析】第1问，奇数项相邻两个数的差是2，依次递减，偶数项都是1；
第2问，相邻两个数的差分别是1、3、9、27等，依次乘3；
第3问，第n个数，可以写成；
第4问，右下角三角形中的数等于另外两个三角形中的数相乘再除以2；
第5问，以3、7、2、5为例，3是下面四位数的千位，5是四位数的个位， 是四位数的百位，是四位数的十位。
【详解】第1问：
；1
第2问：
；
第3问：
第4问：
第5问：
，
方格中的四位数是：3865。
【点睛】数列找规律时，如果相邻两个数之间的关系不固定，可以分成奇数项和偶数项考虑。
5．在下面的○里填不同的整百数，使每条边上的三个数的和是1200。
【答案】
【详解】略
6．把5,6,7,8,9,10这六个数分别填人圆圈内,使横行4个数与竖行3个数的和相等．(等于方框里数)
（1）
（2）
【答案】
【详解】略
7．在○里填上合适的数（使每条线上的三个数相加都得14）。
【答案】见详解
【分析】①先计算14－2－9＝3和14－2－7＝5，接着计算14－7－3＝4。
②先计算14－6－6＝2和14－6－7＝1，接着计算14－1－8＝5，14－2－8＝4及14－6－5＝3。
【详解】由题意分析得：
【点睛】此题主要考查的是20以内数的连减计算，要熟练掌握。
8．找规律，填数。
【答案】；
【分析】观察每个图形中3个数字的排列，，，，可发现规律：用每个图片数字组合中前两个数相除，即可求出下面那个数字；用最下面的数字乘上边第二个数字，即可求出第一个数字。据此解答。
【详解】根据分析得，
填数如下：
【点睛】此题的解题关键是寻找数表中的规律，平时要注重多积累，培养数感。
9．找规律填数。
（1） 1，13，2，12，3，11，4，10，（ ），（ ）。
（2） 根据前三个方格图中数的规律，填出第四个方格中各数。
【答案】（1）5；9
（2）7；63
【分析】（1）第奇数个数字成1、2、3、4……排列，第偶数个数字成13、12、11、10……排列，那么可以推测第9个数字是5，第10个数字是9；
（2）第一幅图：1＋2＝3，3×4＝12；第二幅图：2＋3＝5，5×5＝25；第三幅图：3＋4＝7，7×6＝42。那么推测第五幅图，4＋5＝9，9×7＝63。据此填空。
【详解】（1） 1，13，2，12，3，11，4，10，5，9。
（2）如图：
【点睛】本题考查了找规律，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。
10．7个圆圈内各填一个数，使得每条直线上的3个数，居中的那个都是旁边两个数的平均数，现在已经填好了两个，那么a＝( )。
【答案】19
【解析】如图，可以求出最下面一行是中间的数是15，然后设A处的数是x，可以通过x表示出其它位置的数，然后列方程求解。
【详解】如图所示：
所以a＝19。
【点睛】本题考查的是数阵图问题，合理设未知数是求解问题的关键。
11．计算：
【答案】
【详解】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
原式
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……
原式
12．
【答案】
【详解】原式
【竞速吧】
1．观察下面三个算式，并根据规律将其他算式补充完整。
99999×14＝1399986
99999×17＝1699983
99999×25＝2499975
我发现：99999与两位数相乘，积的前两位是这个两位数( )的得数，中间三位都是( )，末尾两位是( )。
99999×32＝( )
99999×47＝( )
99999×69＝( )
【答案】 减1 999 100减这个两位数的差 3199968 4699953 6899931
【分析】观察这组算式，都是99999乘两位数，积的中间三位都是999，99999×32＝1399986，积的前两位是（32－1），后两位是（100－32），99999×17＝1699983，积的前两位是（17－1），后两位是（100－17），99999×69＝2499975，积的前两位是（69－1），后两位是（100－69）。所以99999与两位数相乘，积的前两位是这个两位数（减1）的得数，中间三位都是（999），末尾两位是（100减这个两位数的差）。
【详解】32－1＝31，100－32＝68，99999×32＝3199968；
47－1＝46，100－47＝53，99999×47＝4699953；
69－1＝68，100－69＝31，99999×69＝6899931
观察下面三个算式，并根据规律将其他算式补充完整。
99999×14＝1399986
99999×17＝1699983
99999×25＝2499975
我发现：99999与两位数相乘，积的前两位是这个两位数（减1）的得数，中间三位都是（999），末尾两位是（100减这个两位数的差）。
99999×32＝（3199968）
99999×47＝（4699953）
99999×69＝（6899931）
【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
2．找规律，再填数。
（1）1、6、11、16、21、( )。
（2）1、5、4、10、9、15、16、( )、( )。
【答案】 26 20 25
【分析】第一个数列，相邻两个数之间相差5；第二个数列，奇数项可以看成1乘1，2乘2，3乘3，4乘4等等，偶数项相邻两个数之间相差5。
【详解】
【点睛】数列找规律问题，首先观察相邻两个数之间的关系，必要的情况下需要分奇数项和偶数项考虑。
3．=________
【答案】
【分析】这道题目关键是考察对公式；要注意的是，分母中1与3，3与5都是要差2，所以在裂项时，括号外面要乘以．
【详解】解：原式=
=
=
=
4．月历上数的规律。
（1）用框出4个数（如上图），这4个数的和是多少？将斜着的2个数求和，你发现了什么规律？
（2）如果用框出的4个数的和是60，那么这4个数分别是哪4个数？
（3）能框出和是30的4个数吗？为什么？
【答案】（1）40；两组斜着的两个数相加的和相等
（2）11、19、12、18
（3）不能；框出前面2组数的和小于30，而后面一组数的和大于30，那么再后面的每组数的和都会比30大（原因答案不唯一）
【分析】（1）将框中的四个数相加求出和；将斜着的两组数相加，分别求出和；发现两组斜着的两个数相加的和相等；
（2）如果用框出的4个数的和是60，那么斜着的两个数相加需要是30；观察月历得出11和19相加为30，12和18相加为30；
（3）从1号开始框4个数，依次算出前几组数的和，与30进行比较后判断；根据举例说明不能框出和是30的4个数；据此解答。
【详解】（1）6＋7＋13＋14＝40
6＋14＝20
7＋13＝20
20＝20
答：这4个数的和是40；我发现两组斜着的两个数相加的和相等。
（2）11＋19＋12＋18＝60
答：这4个数分别是11、19、12、18。
（3）框1、2、8、9：1＋2＋8＋9＝20
20＜30
框3、4、10、11：3＋4＋10＋11＝28
28＜30
框4、5、11、12：4＋5＋11＋12＝32
32＞30
答：不能框出和是30的4个数，因为框出前面2组数的和小于30，而后面一组数的和大于30，那么再后面的每组数的和都会比30大。（原因答案不唯一）
【点睛】考查学生观察月历的规律，并根据找出的规律解决问题的能力。a
b
c
a＋b＋c
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
a
b
c
a＋b＋c
1
3
5
9
7
9
11
27
13
15
17
45