【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-1.4.2《第2课时 夹角问题》讲学案（必修1）

第2课时　夹角问题知识点一　两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．知识点二　 空间角的向量法解法题型一、两条异面直线所成的角1．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，则，，，，，，所以，故选：D2．如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.【答案】【详解】如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：则设，则，设直线与所成角为所以，即，解得或（舍去），所以，故答案为：．3．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点(1)求证：面；(2)求异面直线与所成角的大小.【详解】(1)证明： 由面建立如图所示的直角坐标系，以A点为坐标原点，分别以，垂直于AD以及为方向建立轴，如图所示:由底面是等腰梯形以及可知：，，，又由点为线段中点，可知，， 设为平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一个法向量为：根据线面平行的向量法判断法则可知面(2)由题意得：由（1）分析可知，可知向量互相垂直，故异面直线与所成角的大小为4．如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求与所成的角；(2)求直线与面所成的角的余弦值.【详解】(1)因为面，所以两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)则 ,=，所以与所成的角为(2)设平面的法向量为，令，则，设直线与面所成的角的为，又，sin=直线与面所成的角的余弦值为.题型二、直线与平面所成的角1．如图，在三棱锥中，，点O､M分别是､的中点，底面.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.【详解】(1)证明：连接OB,由,O为AC的中点，得，又底面，故,∵点M为的中点，∴,又∵，∴,，故平面.(2)解法一：由（1）知平面,且 ,又，面,平面，∴面，则点A到面的距离就是点B到面的距离.设直线与平面所成角为 ，，∴与面所成的角的正弦值为， 故与面所成的角的大小为.解法二：设点A到面的高为h，而 ,由得，则，设直线与平面所成角为 ，，∴与面所成的角的正弦值为，即所成的角的大小为.解法三：如图，以O为坐标原点，以OB,OC,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ,则 ,由（1）可知为平面SOM的一个法向量，设直线与平面所成角为 ， ，则 , 故，即直线与平面所成角为.2．如图，在中，，为边上一点，且，平面，，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明：，，，，，又平面，平面，，、平面，，平面；(2)分别以、、所在射线为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，，即，令，则，，，设与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.3．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝．(1)证明：；(2)点在棱上，且＝，求直线与平面的夹角的正弦值.【详解】(1)证明：取的中点，连，，∵为等边三角形，且是边的中点，∴，∵平面底面，且它们的交线为，∴平面，则，∵，且∴平面，∴；(2)由（1）知，面，，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，易求各点坐标如下，则设平面的一个法向量为则令，得平面的一个法向量为题型三、两个平面的夹角1．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，M是PA的中点.(1)证明：；(2)若，求平面PBC与平面BCM所成角的大小.【详解】(1)如图，在中，因为，，由正弦定理得：，故，又因为，所以，则，即.又因为平面ABC，所以，又，所以平面PAC，又因为平面PAC，所以；(2)因为平面ABC，，所以CA，CB，CP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，设平面BCM的一个法向量为由 ，即 ，可取，可取为平面PBC的一个法向量，所以，所以平面PBC与平面BCM所成角的大小为；综上，平面PBC与平面BCM所成角的大小为.2．如图1，矩形中，，，为上一点且.现将沿着折起，使得，得到的图形如图2.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.【详解】(1)∵四边形为矩形，，且，∴∵，∴∵，，∴，∴∵四边形为矩形，∴∵，平面，∴平面(2)过作，交于，∵，，∴，∴由（1）知平面,平面,所以，由得平面，平面，∴平面平面，又，平面，∴平面，故以为原点建立空间直角坐标系如图所示，∴，，，平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则，∵，，∴，令，得，，∴∴∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.3．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，且边长为，，，与交于点．(1)求证：平面(2)求二面角的余弦值．【详解】(1)证明：因为和均为正三角形，所以．又，所以为的中垂线．所以为的中点．又，所以．又，，平面，所以平面．(2)因为，为的中点，所以．又因为，所以，，为全等三角形．所以，所以．结合（1）知，不妨以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以设平面的一个法向量为，则，故，令，则，，所以．设二面角的大小为，则．又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．1．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】取中点为，连接，所以，又面面且交线为，面，所以面，面，则.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，，所以，.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:A2．已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______【答案】【详解】取点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，0，，，2，，，1，，，1，，，，，，与所成的角为．故答案为：．3．在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点，(1)求证：平面ADE；(2)求与所成的角的大小.【详解】(1)以D为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，(0,0,1)，E(1,1,)，F(0,,0)，则＝(0,,－1)，＝(1,0,0)，＝(0,1,)，则＝0，＝0，，，即，，又，故平面ADE.(2)由（1）知：(1，1，1)，C(0，1，0)，故＝(1，0，1)，而＝(－1，－，－)，则＝－1＋0－＝－，又，，则cos. ，由线线角的范围知：与所成的角为.4．如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，；(1)求证：直线面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【详解】(1)证明：取的中点P，连因为分别为的中点，所以且，又在直三棱柱中，且，所以且 .所以四边形为平行四边形，所以因为平面平面，所以直线平面；(2)在直三棱柱中平面，所以，又侧面侧面，平面平面，所以平面，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，所以；所以．所以异面直线MC1与BN所成角的余弦值为．5．如图所示，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成的角．【详解】(1)连接,则,又因为直四棱柱中， 平面，则,又,故平面,平面,故;设AB的中点为F，连接 ,交于G点，由，是正三角形，可得 ,则 ,故在中， , 在中， ,故，所以,即，连接DF，则 ,又平面ABCD，平面ABCD， 故,而,故 平面 ,故,又,故平面，平面,则,又,故平面；(2)设AC,BD交点为O,以O为坐标原点，OA,OB分别为x,y轴，过点O作底面的垂线为Z轴，建立空间直角坐标系，则,则 ,设平面的法向量为 ，则 ,即 ，令 ，则 ，则，设直线与平面所成的角为，则 ，故 ，即直线与平面所成的角为.6．如图，在正三棱柱中，P为的中点，Q为棱的中点.(1)求证：平面；(2)若，求AC与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明：正三棱柱中，取线段AB的中点记为D，连接CD，PD，由已知，易知，且，所以四边形PDCQ是平行四边形，.又，，，所以平面，所以平面.(2)由（1）易知，DB，DC，DP两两垂直，如图，以D为坐标原点，以DB，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量，则即 取，可得所以，即AC与平面所成角的正弦值为.7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，点E为线段PC的中点，且．(1)证明：；(2)求直线PB与平面ADE所成角的正弦值．【详解】(1)证明：由底面ABCD为矩形可知，又因为平面，所以平面PCD，                                          又因为平面PCD，故，∵满足，∴，又因为平面ABCD，，故平面ABCD，                  又因为平面ABCD，故(2)由（1）可知平面ABCD，又底面ABCD为矩形，故以为基底建立如图所示空间直角坐标系，则，则，                    设平面ADE的一个法向量为，由可取，               则直线PB与平面ADE所成角的正弦值为                            8．如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱的中点，平面．(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．【详解】(1)在正中，因为为的中点，所以．因为平面，平面所以因为，，均在平面内，所以平面(2)因为平面．所以，．即，，两两相互垂直．以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以点，，，所以，，从而，设平面的一个法向量为，则，即，令，则记直线与平面所成角为．则，所以，直线与平面所成角的正弦值为．9．在四棱锥中，，平面平面.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【详解】(1)作于点，平面平面，平面平面∴平面，平面，则又，平面平面，则，平面(2)取中点为，则由，得又平面，得，所以平面以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为则，则今，则设平面的法向量为则，则令，则故故二面角的正弦值为10．在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点，N为CD中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离．【详解】(1)证明：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，显然平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；(2)因为，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；(3)由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离.11．如图，且，，且，且，平面ABCD，.(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；(2)求二面角的正弦值；【详解】(1)因为，，平面ABCD，而AD､平面ABCD，所以，，因此以D为坐标原点，分别以､､的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.因为且，且，，所以，，，，，，，，.设为平面CDE的法向量，，，则，不妨令，可得；又，所以.又∵直线平面CDE，∴平面CDE；(2)依题意，可得，，.设为平面BCE的法向量，则，不妨令，可得.设为平面BCF的法向量，则，不妨令，可得.若二面角的大小为，则，因此.∴二面角的正弦值为1．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，∵E是BC的中点，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知 ∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，所以，， 则，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D2．在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】在平面中过作，垂足为；在平面中过作，垂足为.由于平面平面，且交线为，所以平面，平面，设，，同理可得，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设与所成角为，则.故选：C3．已知正四面体VABC的棱长为2，E，F分别是棱VA，BC的中点，则该正四面体外接球的表面积为___________．异面直线BE与VF所成角的余弦值为___________．【答案】          【详解】将正四面体补成一个正方体，因为正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，所以正方体的体对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，外接球的表面积为．如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为；故答案为：；；4．在三棱锥中，已知是边长为的正三角形，平面，、分别是、的中点，若异面直线、所成角的余弦值为，则的长为______，三棱锥的外接球表面积为______．       【答案】          【详解】连接，则，又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，，，由已知可得，解得，因此，，则点，设三棱锥的外接球球心为，由，即，解得，所以，三棱锥的外接球半径为，因此，该三棱锥外接球的表面积为.故答案为：；.5．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【详解】由题意，,,所以，，，所以故答案为：.6．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．(1)求的长；(2)直线与所成角的余弦值．【详解】(1)由题意，，，，．(2)，，，所以，所以直线与所成角的余弦值为．7．如图，正方体的棱长等于4，点是棱的中点．(1)求直线与直线所成的角；(2)若底面上的点满足平面，求线段的长度．【详解】(1)如图以D为坐标原点，以为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，，设直线与直线所成的角为，则,所以，即直线与直线所成的角的大小等于.(2)假设在底面上存在点，使得平面，设，因为，所以，由得，，即 ，解得，即，所以，，故线段的长度为.8．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【详解】(1)，，，得，由题意，因为，所以，，又侧面，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，，设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成的角的余弦值为.(2)由（1）得，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，假设存在点，设，其中，，由已知可得，得，即，解得或，因此，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，且或.9．如图，四棱雉的底面为直角梯形，∥，，，，平面．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求出点A在平面上的投影M的坐标．【详解】(1)因为平面，平面，所以，因为，所以，，两两垂直，所以以D点为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，所以异面直线与所成的角的余弦值为．(2)设，则．又，由，，得，解得．所以．10．如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线与所成角．【详解】(1)设圆锥母线长为，，，即，圆锥的高，.(2)解法一：取边上中点，连结，，，是的中位线，；垂直于底面，垂直于底面，；，为中点，，即；，平面，平面，又平面，，即异面直线与所成角为.解法二：取圆弧中点，连结，则；以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，即，异面直线与所成角为.11．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.(1)求证：平面；(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.【详解】(1)设，连接，因为是正方形，所以是中点，又因为是矩形，是线段的中点，所以,,所以四边形为平行四边形，所以,因为平面，平面，所以平面；(2)如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意设，则，，因为，，，与所成角是，所以，即，化简得，解得或（不合题意舍去），从而，因此点应在线段的中点处．12．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，.(1)试在棱PC上找一点E满足：；(2)若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值.【详解】(1)∵，，，∴，，如图，以A为原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，可得，，，，设点E为棱PC上的点，且.向量，，且∴，，∴∴，，若故.∴，∴即∴E为棱PC的中点.(2)，，，由点F在棱PC上，设，故，由，得,，解得，即.设为平面ABF的法向量，则，即，不妨令，可得为平面ABF的一个法向量.取平面PAB的法向量，则.易知，二面角是锐角，∴其余弦值为.13．如图，在四棱锥P－ABCD中，，底面四边形ABCD为菱形，，，异面直线PD与AB所成的角为60°．试在①PA⊥BD，②PC⊥AB，③三个条件中选两个条件，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明选择理由，并求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值．【详解】选择条件①③.理由如下：若选择条件②，利用反证法.由平面，平面，得，又，所以平面，又平面，所以，由菱形的性质可得，所以，与矛盾.故不选择条件②.由底面为菱形，得，又，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又，所以平面；以点O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设OP=h(h>0)，则，有，则异面直线PD与AB所成的角的余弦值为：，解得，则，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，，解得，所以平面与平面所成角的余弦值为.14．在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.【详解】(1)设是中点，为正三角形，则.因为平面平面ABCD，平面平面，又平面PAD，所以面ABCD.又因为，，所以为正三角形，所以，以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，于是，，.设平面PEC的法向量为，由即可取.平面EBC的一个法向量为，设二面角的平面角为，则由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为.(2)设，则，，，所以，解得或0（舍），所以存在点M使得.15．如图，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点.将沿DM翻折至，连接PC，PB． (1)证明：DM⊥PC.(2)若二面角P－DM－C的大小为60°，求PB与平面ABCD所成角的正弦值.【详解】(1)证明：连接AC，交DM于点O，连接PO.因为AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点，所以AM＝AD＝CD.又四边形ABCD为梯形，则四边形AMCD为菱形，所以DM⊥AC.又PD＝PM，O是DM的中点，所以DM⊥PO.因为AC⊂平面PCO，PO⊂平面PCO，AC∩PO＝O，所以DM⊥平面PCO又PC⊂平面PCO，所以DM⊥PC.(2)以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为二面角P－DM－C的大小为60°，由（1）DM⊥平面PCO ，所以∠POC＝60°，易得∠BAD＝60°，则.平面ABCD的一个法向量，设PB与平面ABCD所成的角为，则，即PB与平面ABCD所成角的正弦值为16．在四棱锥中，四边形为菱形，，且平面平面.(1)证明：平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接BD交AC于O,四边形为菱形，所以，平面平面，平面平面平面所以平面，因为平面，所以，，故，又平面，所以平面(2)连接OM，则平面,则可以O为原点，建立空间直角坐标系如图则则，设直线与平面所成角为，记平面的法向量为，，取所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．如图，在矩形ABCD中，，点M为边AB的中点．以CM为折痕把BCM折起，使点B到达点P的位置，使得，连接PA，PB，PD．(1)证明：平面PMC⊥平面AMCD；(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．【详解】(1)取线段的中点，连接，，因为：，，所以：为等边三角形，所以：．所以：，．又因为：，所以：，所以：，所以：，又因为：，所以：平面．因为：平面，所以：平面平面．(2)由（1）知，，，相互垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，连接，则，且，所以：所以：，，．设为平面的一个法向量，则，令，则，，所以：，设直线与平面所成角为，所以：，所以：直线与平面所成角的正弦值为．18．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．【详解】(1)证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；(2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，点M和点N分别为PA和PC的中点．(1)证明：直线DM∥平面PBC；(2)求直线BM和平面BDN所成角的余弦值；(3)求二面角M-BD-N的正弦值；(4)求点P到平面DBN的距离；(5)设点N在平面BDM内的射影为点H，求线段HA的长．【详解】(1)四棱锥，底面是一个直角梯形，，平面，所以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量，所以，，取，则，所以，平面，所以直线平面.(2)，，，设平面的法向量，则，即，取，则，设直线与平面所成的角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.(3)设平面的法向量为，则，即，取，得，平面的法向量，设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为.(4)，平面的法向量，所以点到平面的距离为.(5)设点在平面的射影为点，则，所以点到平面的距离为，根据，得解得，，，或者，，（舍）所以.20．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，E是的中点，，，.(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【详解】(1)延长，过点P作，垂足为F，连接，，由平面平面，平面平面，平面，又平面，，∵，，，∴，，是正三角形，又∵是直角梯形，∴，即也是正三角形，故为菱形，所以F，E，B三点共线，且，∴平面，又平面，从而.(2)几何法：过A作，连接，∵，∴平面，即，所以就是平面与平面所成二面角的平面角，在中，，，得，，所以平面与平面夹角的余弦值是.坐标法：由（1）知，以点F为坐标原点建立空间直角坐标系（如图），∴，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，又∵平面，所以平面的法向量为，设平面与平面所成二面角的平面角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值是.21．如图，在三棱柱中，，．(1)证明：平面平面．(2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．【详解】(1)设．在四边形中，∵，，连接，∴由余弦定理得，即，∵，∴．又∵，∴，，∴平面，∵平面，∴平面平面．(2)取AB中点D，连接CD，∵，∴，由（1）易知平面，且．如图，以B为原点，分别以射线BA，为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，则，，，，，．，，设平面的法向量为，则，得，令，则取，，，AC与平面所成角的正弦值为．22．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求平面与平面夹角的余弦值.【详解】(1)证明：连接，与交于，则为的中点，又分别为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.(2)设是的中点，连接，∵是正方形，为正三角形，∴.又∵面面，交线为，∴平面.以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，令.则，得.设直线与平面所成角为，∴，即直线与平面所成角的正弦值，故所求角大小为60°.(3)由（2）可知，设平面的法向量为，则，令.则，，.设面与面夹角为，∴，∴面与面夹角的余弦值为.23．如图，四棱锥中，底面是梯形，，侧面，，，是线段的中点．(1)求证：；(2)若，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．【详解】(1)证明：因为侧面，平面，所以．又因为，是线段的中点，所以．因为，平面，所以平面．而平面，所以．(2)解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，设，所以，，因为，所以，解得或（舍去），所以，所以，，，，设为平面的法向量，由，有，取，所以．设平面的法向量为， 由，有，取，所以，设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，所以，所以故锐二面角的平面角的正弦弦值为．24．如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.(1)证明：；(2)若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.【详解】(1)证明：因为平面，平面，所以；因为，所以；因为，平面，所以平面；因为平面，所以.(2)以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则，，，设，，，因为若到直线的距离为，即，解得.故，，，，，，.设平面的法向量为，则，所以，不妨取.设平面的法向量为，则，所以，不妨取.设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.25．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为；①求三棱锥P-ACE的体积；②求二面角P-AC-E的余弦值.【详解】(1)证明：∵平面，平面，∴.∵，有，且ABCD是直角梯形，∴，即，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面(2)①由（1）易知平面，∴即为直线与平面所成角.∴，∴，则∴.②取的中点G，连接，以点C为坐标原点，分别以、、为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设为平面的法向量，则，，得，取，，得设平面的法向量，则，，取，，，得.∴.所求二面角为锐角，二面角的余弦值为.角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))