【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第一章《空间向量与立体几何》检测卷（基础版）

第一章《空间向量与立体几何》检测卷（基础版）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．

1．下列说法正确的是（       ）

A．零向量没有方向

B．空间向量不可以平行移动

C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D．同向且等长的有向线段表示同一向量

【答案】D

【解析】

【分析】

根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.

【详解】

对于A：零向量的方向是任意的，A错误；

对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；

对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，

所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.

故选：D.

2．若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由空间向量基底的定义即可得出答案.

【详解】

选项A：令，则，，A正确；

选项B：因为，所以不能构成基底；

选项C：因为，所以不能构成基底；

选项D：因为，所以不能构成基底．

故选：A.

3．已知向量，，若，则（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长.

【详解】

由，则，即，

有，

所以，

所以，则

故选：D

4．已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（       ）

A．平面ABC的一个法向量是 B．的一个单位向量的坐标是

C． D．与是共线向量

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

因为，，，故可得，

因为，故，不平行，则D错误；

对A：不妨记向量为，则，

又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；

对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；

对C：因为，故可得，故C错误；

故选：A.

5．在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用空间向量处理，根据异面直线夹角的处理代入计算．

【详解】

如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设

则

，则直线MN，PB所成角的余弦值为

故选：D．

6．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设，，，根据向量的线性运算表示出，平方后利用向量的数量积运算即可求解.

【详解】

记，，，

因为，，

所以，．

又因为，，

所以，．

易得，

所以，

所以．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档题.

7．已知长方体的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.

【详解】

连接，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵底面是边长为8的正方形，，

∴，，，

因为,且，所以平面，

∴，平面的法向量，

∴与对角面所成角的正弦值为．

故选：A.

8．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（       ）

A．直线与直线相交

B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点

C．存在点，使得直线与直线所成角为

D．三棱锥的体积为定值

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线面平行的判定定理可得平面，进而可判断A；

利用勾股定理和反证法即可判断B；建立如图空间直角坐标系，利用向量法和反证法即可判断C；根据等体积法即可判断D.

【详解】

A：由题意知，，平面，平面

所以平面，

又平面，所以与不相交，故A错误；

B：连接，如图，

当点为的中点时，，又，所以，

若点在平面的射影为，则平面，垂足为，

所以，设正方体的棱长为2，则，

在中，，所以，

即不成立，故B错误；

C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，

所以异面直线与所成角为直线与所成角，

设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，

则，所以，

所以，又，

得，解得，

不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；

D：如图，

由等体积法可知，

又，

为定值，所以为定值，

所以三棱锥的体积为定值，故D正确.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．在长方体中，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据空间向量的加减运算即可得到答案.

【详解】

如图：

对A，，正确；

对B，，正确；

对C，，错误；

对D，，错误.

故选：AB.

10．在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【详解】

解：如图建立空间直角坐标系，则、、、

、、、、、，

所以、、、，

所以，故A正确；

，故B正确；

，，，，

所以，，故，即C正确；

因为，所以与不垂直，故D错误；

故选：ABC

11．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（       ）

A．平面

B．

C．直线与平面所成角为

D．异面直线与所成角为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

连接，，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面，故A正确；由线面垂直的性质可以得到，故B正确；直线与平面所成角即直线与平面所成角为，故C正确；异面直线与所成角即为直线与所成角，故D错误.

【详解】

\

如图，连接，.

在正方形中，为的中点,，即也为的中点，

在中，分别为的中点，，

又平面，平面，平面，故A正确；

平面，，，故B正确；

，直线与平面所成角即直线与平面所成角为，故C正确；

由题可知，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，为，故D错误.

故答案为：ABC.

12．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面，下列说法正确的是（       ）

A．与所成的角是

B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是

C．三棱锥的体积是

D．与平面所成的角的正弦值是

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由题意以分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法判断选项A，B，D，直接由锥体的体积公式求出三棱锥的体积，判断选项C.

【详解】

由,可得,又平面

故以分别为轴建立空间直角坐标系.

则

选项A. 由

则,所以

所以与所成的角是，故选项A正确.

选项B. 由题意为平面的一个法向量.

设为平面 的一个法向量，

由 ，即 ，则取

所以

所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故选项B不正确.

选项C. ,故选项C正确.

选项D. ,设与平面所成的角为

则 ，故选项D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量线性运算，利用表示出，由此可得的值.

【详解】

，

，，，.

故答案为：.

14．已知，若，则_________．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据空间向量的线性运算，结合数量积的坐标运算求解即可

【详解】

因为，故，即，故，故

故答案为：2

15．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．

【答案】##-0.125

【解析】

【分析】

根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.

【详解】

连接，如图，

因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，

则平面PAB，又平面PAB，即有，

因M是AC的中点，则，又，

，当且仅当取“=”，

所以的最小值为.

故答案为：

16．一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，以下命题正确的是___________.（填序号）

①；

②平面；

③与是异面直线且夹角为；

④与平面所成的角为；

⑤二面角的大小为.

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】

由正方体的平面展开图可得正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【详解】

解：由正方体的平面展开图可得正方体（其中与重合），

如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，

则，，，，，，，，，

所以，，所以，所以，故①正确；

，，

所以，，即，，，

平面，所以平面，即②正确；

，显然与是异面直线，设与所成角为，

则，因为，所以，故③正确；

，平面的法向量可以为，

设与平面所成的角为，所以，故④错误；

，，设平面的法向量为，

则，令，所以，

设二面角为，显然二面角为锐二面角，

则，所以，故⑤正确；

故答案为：①②③⑤

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．

(1)用向量、、表示、；

(2)求；

(3)判断与是否垂直．

【答案】(1)，

(2)

(3)垂直

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.

(1)

解：根据空间向量的运算法则，可得，

.

(2)

解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得，

则.

(3)

解：根据空间向量的运算法则，可得；

则，

所以与垂直．

18．如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．

(1)试用，，表示向量；

(2)若，，，，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；

（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；

(1)

解：，

，

又

(2)

解：由（1）可得知

19．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

（1）求 的模；

（2）求cos〈，〉的值；

（3）求证：A1B⊥C1M.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；

（2）利用坐标运算计算cos〈，〉的值；

（3）通过计算·＝0可得答案.

【详解】

（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，

∴＝＝.

（2）由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，

∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，

·＝3，||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝.

（3）由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，

∴·＝－＋＋0＝0，

∴⊥，即A1B⊥C1M.

20．如图，四棱锥中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．

(1)若，，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；

(2)试判断在线段PC是否存在一点E，使得三棱锥的体积为？若存在求出的值．若不存在说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【解析】

【分析】

（1）证明且即可

（2）证明平面PCD．再由等体积法转化后求解

(1)

证明：连接ME，EN，NF，FM，AC，

∵点M在线段PA上且满足，

∴，又∵，即中

∴且，

∵中，F为AB的中点，N为BC的中点

∴FN为的中位线，∴且，

∴且，

∴四边形MENF为梯形．

(2)

在线段PC存在一点E满足时，三棱锥的体积为．

证明如下：设，

平面平面ABCD，平面平面，正方形ABCD中，，平面ABCD，∴平面PCD．取PC的中点为M，连接DM，∵中，，M为PC的中点，∴，

∵又，

∴，

∴，∴．

21．如图，点O是正方形ABCD的中心，，，，．

(1)证明：平面ABCD；

(2)若直线OE与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

【答案】(1)详见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）由正方形性质和线面垂直判定可知平面，由此可得，结合，由线面垂直的判定可得结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角定义可求得，利用二面角的向量求法可求得结果.

(1)

四边形为正方形，

，又，，平面，

平面，

平面，

；

又，，平面，

平面.

(2)

以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

平面，

直线与平面所成角为，

，

解得：；

，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，

；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，

；

，

二面角为锐二面角，

二面角的余弦值为.

22．如图，在直三棱柱中，，点D是的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求平面与平面夹角的正弦值．

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）构建空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而求出直线与的方向向量，利用空间向量夹角的坐标表示求夹角余弦值.

（2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值，进而求出正弦值即可.

(1)

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

∴．

∵，

∴异面直线与所成角的余弦值为．

(2)

设平面的法向量为，

∵，

∴，即且，

取，则是平面的一个法向量．

取平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角的大小为．

由，得：．

因此，平面与平面夹角的正弦值为．