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【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第07讲《空间向量的应用》讲学案
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这是一份【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第07讲《空间向量的应用》讲学案，文件包含第07讲空间向量的应用解析版docx、第07讲空间向量的应用原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共129页， 欢迎下载使用。
第07讲 空间向量的应用
【知识点梳理】
知识点一：直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.
知识点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．
2.平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
知识点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．
知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有．
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，
则二面角的平面角或，
即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
知识点五、用向量方法求空间距离
1.求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
3. 点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .
【题型归纳目录】
题型一：求平面的法向量
题型二：利用向量研究平行问题
题型三：利用向量研究垂直问题
题型四：异面直线所成的角
题型五：线面角
题型六：二面角
题型七：距离问题
【典型例题】
题型一：求平面的法向量
1．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
2．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）若是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是( )
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
6．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体，分别写出对角面和平面的一个法向量．
7．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面ABCD；
(2)平面；
(3)平面．
8．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中作出该向量．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知，求平面的一个单位法向量的坐标.
题型二：利用向量研究平行问题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
3．（2022·四川成都·高二期中（理））若直线l的方向向量，平面的法向量，则（ ）
A． B． C． D．或
4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______．
5．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．
(1)判断PQ与BD的位置关系；
(2)求的最小值．
6．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点M在棱PD上，点N为BC中点.
(1)若，证明：直线平面PAB：
(2)线段PD上是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由
7．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面.
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
(2)用向量法证明平面．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
10．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
11．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体中，M与N分别是棱与对角线的中点．求证：，并且．
题型三：利用向量研究垂直问题
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，若直线平面，则直线的方向向量可以为（ ）.
A．（8，6，4） B．
C． D．
3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（ ）
A．，平行 B．，垂直
C．，重合 D．，相交不垂直
4．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是___________.
5．（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
6．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期末（理））设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________．
7．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E､F分别是棱AB､BC上的动点，且.
(1)求证：；
(2)若､E､F､四点共面，求证：.
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点M，N是否存在：.
9．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
10．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正三棱锥中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面，且，平面与平面的交线为.
（1）求证：；
（2）试建立适当的空间直角坐标系，并求点在平面上的射影的坐标.
题型四：异面直线所成的角
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·吉林长春·模拟预测（理））在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
7．（2022·江苏·高二阶段练习）如图，四棱雉的底面为直角梯形，∥，，，，平面．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求出点A在平面上的投影M的坐标．
8．（2022·天津·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平而ABCD，E为CD的中点，M在AB上，且
(1)求证：EM∥平面PAD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45°，求AF的长.
9．（2022·江苏常州·高二期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，直三棱柱中，底面边长为.
(1)若侧棱长为1，求证：；
(2)若与所成角的大小为，求侧棱的长.
题型五：线面角
1．（2022·全国·高三专题练习（理））在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
2．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角．
3．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.
4．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
(1)若时，求证：平面平面；
(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
5．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
6．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
9．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
10．（2022·吉林·三模（理））如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．
题型六：二面角
1．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，E，F分别为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.
2．（2022·福建·三明一中模拟预测）如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心．
(1)证明：∥平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））如图，在多面体ABCDFE中，平面平面ABEF，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且，，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，
(1)证明：平面ABD；
(2)若，求二面角的余弦值．
7．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，在平面的投影为边的中点..，，，，．
(1)求证： 平面 ；
(2)点为线段上靠近点的三等分点，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
8．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））如图，在三棱锥中，D，E分别为的中点，且平面．
(1)证明：；
(2)若，求锐二面角的大小．
9．（2022·山东聊城·三模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.
(1)求证：；
(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
10．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD平面ABCD，PA=PD=2，E为PA中点.
(1)求证：ED平面PBC；
(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由.
题型七：距离问题
1．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高二课时练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______．
4．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.
5．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．
6．（2022·全国·高二课时练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．
7．（2022·全国·高二期末）如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.
8．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高二阶段练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
9．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求点到平面PAD的距离．
11．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．
12．（2022·全国·高二）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．
(1)求证：平面平面EFG；
(2)求平面与平面EFG间的距离．
13．（2022·全国·高二课时练习）正方体的棱长为1，E､F分别为､CD的中点，求点F到平面的距离.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点.
(1)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高；
(2)在（1）的条件下，点是的中点，求点到直线的距离.
第07讲 空间向量的应用
【知识点梳理】
知识点一：直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.
知识点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．
2.平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
知识点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．
知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有．
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，
则二面角的平面角或，
即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
知识点五、用向量方法求空间距离
1.求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
3. 点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .
【题型归纳目录】
题型一：求平面的法向量
题型二：利用向量研究平行问题
题型三：利用向量研究垂直问题
题型四：异面直线所成的角
题型五：线面角
题型六：二面角
题型七：距离问题
【典型例题】
题型一：求平面的法向量
1．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
2．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）若是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是( )
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
6．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体，分别写出对角面和平面的一个法向量．
7．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面ABCD；
(2)平面；
(3)平面．
8．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中作出该向量．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知，求平面的一个单位法向量的坐标.
题型二：利用向量研究平行问题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
3．（2022·四川成都·高二期中（理））若直线l的方向向量，平面的法向量，则（ ）
A． B． C． D．或
4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______．
5．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．
(1)判断PQ与BD的位置关系；
(2)求的最小值．
6．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点M在棱PD上，点N为BC中点.
(1)若，证明：直线平面PAB：
(2)线段PD上是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由
7．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面.
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
(2)用向量法证明平面．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
10．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
11．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体中，M与N分别是棱与对角线的中点．求证：，并且．
题型三：利用向量研究垂直问题
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，若直线平面，则直线的方向向量可以为（ ）.
A．（8，6，4） B．
C． D．
3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（ ）
A．，平行 B．，垂直
C．，重合 D．，相交不垂直
4．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是___________.
5．（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
6．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期末（理））设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________．
7．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E､F分别是棱AB､BC上的动点，且.
(1)求证：；
(2)若､E､F､四点共面，求证：.
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点M，N是否存在：.
9．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
10．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正三棱锥中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面，且，平面与平面的交线为.
（1）求证：；
（2）试建立适当的空间直角坐标系，并求点在平面上的射影的坐标.
题型四：异面直线所成的角
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·吉林长春·模拟预测（理））在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
7．（2022·江苏·高二阶段练习）如图，四棱雉的底面为直角梯形，∥，，，，平面．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求出点A在平面上的投影M的坐标．
8．（2022·天津·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平而ABCD，E为CD的中点，M在AB上，且
(1)求证：EM∥平面PAD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45°，求AF的长.
9．（2022·江苏常州·高二期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，直三棱柱中，底面边长为.
(1)若侧棱长为1，求证：；
(2)若与所成角的大小为，求侧棱的长.
题型五：线面角
1．（2022·全国·高三专题练习（理））在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
2．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角．
3．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.
4．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
(1)若时，求证：平面平面；
(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
5．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
6．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
9．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
10．（2022·吉林·三模（理））如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．
题型六：二面角
1．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，E，F分别为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.
2．（2022·福建·三明一中模拟预测）如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心．
(1)证明：∥平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））如图，在多面体ABCDFE中，平面平面ABEF，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且，，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，
(1)证明：平面ABD；
(2)若，求二面角的余弦值．
7．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，在平面的投影为边的中点..，，，，．
(1)求证： 平面 ；
(2)点为线段上靠近点的三等分点，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
8．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））如图，在三棱锥中，D，E分别为的中点，且平面．
(1)证明：；
(2)若，求锐二面角的大小．
9．（2022·山东聊城·三模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.
(1)求证：；
(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
10．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD平面ABCD，PA=PD=2，E为PA中点.
(1)求证：ED平面PBC；
(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由.
题型七：距离问题
1．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高二课时练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______．
4．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.
5．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．
6．（2022·全国·高二课时练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．
7．（2022·全国·高二期末）如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.
8．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高二阶段练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
9．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求点到平面PAD的距离．
11．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．
12．（2022·全国·高二）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．
(1)求证：平面平面EFG；
(2)求平面与平面EFG间的距离．
13．（2022·全国·高二课时练习）正方体的棱长为1，E､F分别为､CD的中点，求点F到平面的距离.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点.
(1)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高；
(2)在（1）的条件下，点是的中点，求点到直线的距离.
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