【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第12讲《直线与圆、圆与圆的位置关系》讲学案

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第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点.
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离.
知识点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.
知识点二：圆的切线方程的求法
1．点在圆上，如图．

法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是.
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系：
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.

2.圆与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解.
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离.
(2)几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含.
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.
3.两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4．两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题



【典型例题】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
1．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））圆与直线的位置关系为（       ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定

2．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是（       ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定

3．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（       ）
A． B．
C． D．

（多选题）4．（2022·江苏·高二）已知直线：与圆：，则（       ）
A．直线与圆相离 B．直线与圆相交
C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个

（多选题）5．（2022·江苏·高二）已知直线与圆，则下列结论正确的是（       ）
A．存在，使得的倾斜角为
B．存在，使得的倾斜角为
C．存在，使直线与圆相离
D．对任意的，直线与圆相交，且时相交弦最短

（多选题）6．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线与圆，则（       ）
A．直线与圆C相离
B．直线与圆C相交
C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个

7．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是___________.（选填“相交”、“相切”、“相离”）

8．（2022·全国·高二课时练习）直线和的位置关系是______．

9．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）直线与圆的位置关系是_________.（填相切、相交、相离）

10．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．

11．（2022·全国·高二课时练习）判断下列直线l与圆C的位置关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．

12．（2022·江苏·高二课时练习）对于圆，直线，分别根据下列条件，判断直线l与圆C的位置关系：
(1)点在圆C上；
(2)点在圆C外.

13．（2022·江苏·高二课时练习）设k为实数，证明：无论k取何值，直线与圆都有两个交点.

题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
1．（2022·江苏·高二）已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·吉林·长春市第六中学高二阶段练习（理））已知圆上的点到直线的距离等于，那么的值不可以是（       ）
A． B． C． D．

3．（2022·江苏·高二）过点的直线与圆交于、两点，当时，直线的斜率为（       ）
A． B． C． D．

4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（       ）
A．－2 B．2 C． D．

6．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.

7．（2022·安徽省舒城中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________.

8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．

9．（2022·江苏·高二）若圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为，求直线l的倾斜角的取值范围．

10．（2022·江苏·高二课时练习）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系.

题型三：切线与切线长问题
1．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2

2．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知圆，过点P（5，5）作圆M的一条切线，切点为N，则切点N到直线PM的距离为（          ）
A． B． C． D．

3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））若直线与圆相切，则的值是（       ）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12

4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程为，则过圆上一点的切线方程为___________.

5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________．

6．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）过点且与圆相切的直线的方程是______．

7．（2022·上海金山·高二期中）求过点 的圆 的切线方程__________.

8．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）若过点作圆的切线，则切线方程为___________.

9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））设P为已知直线上的动点，过点P向圆作一条切线，切点为Q，则的最小值为___________.

10．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______

11．（2022·广东·高二阶段练习）过点P（3，4）作圆O：的两条切线，设切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积=______．

12．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

13．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．求满足下列条件的切线方程．
(1)过点；
(2)过点．

14．（2022·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．

15．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）已知圆：，动直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.

16．（2022·江苏·高二课时练习）光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点为圆心的圆C相切，求圆C的方程．

题型四：弦长问题
1．（2022·江苏·高二）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（     ）
A． B．2 C．4 D．

2．（2022·江苏·高二）直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

3．（2022·江苏·高二）若直线与圆所截得的弦长为，则实数为（       ）．
A．或 B．1或3 C．3或6 D．0或4

4．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆相交所得的弦长是___________.

5．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知圆C过点两点，且圆心C在y轴上，经过点且倾斜角为锐角的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，则该直线l的斜率为________．

6．（2022·全国·高二课时练习）设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______．

7．（2022·北京昌平·高二期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．

8．（2022·江苏·高二）已知三点在圆C上，直线，
(1)求圆C的方程;
(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．

9．（2022·福建·高二学业考试）求直线被圆截得的弦长．

10．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）过点作圆的割线，割线被圆截得的弦长为，求该割线方程．

11．（2022·江苏·高二）已知圆M过点．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值．

12．（2022·江苏·高二）已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．

题型五：判断圆与圆的位置关系
1．（2022·江苏·高二）圆与圆的位置关系是（       ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．外切

2．（2022·湖南·炎陵县第一中学高二阶段练习）圆与圆的位置关系是(       )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在平面直角坐标系中，圆：和圆：的位置关系是（       ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切

（多选题）4．（2022·江苏南通·高二期末）已知，圆，，则（       ）
A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离
C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长

5．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的位置关系为___________.

6．（2022·江苏·高二）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为______．

7．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是______．

8．（2022·江苏·高二）（1）判断圆与圆的位置关系；
（2）证明圆与圆外切，并求出切点坐标.

9．（2022·江苏·高二）已知圆，点分别在轴和圆上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求的最小值.

10．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组中两个圆的位置关系：
(1)与；
(2)与；
(3)与．

11．（2022·全国·高二课时练习）判断圆与圆的位置关系，并画出两圆，的图形．

12．（2022·全国·高二课时练习）求证：圆与圆不可能相外切．

题型六：由圆的位置关系确定参数
1．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

2．（2022·全国·高二课时练习）古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（       ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在

3．（2022·江苏·高二）已知圆与圆内切，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

4．（2022·江苏·高二）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（       ）
A．12 B．11 C．10 D．9

5．（2022·江苏·高二）若圆与圆相外切，则的值为（       ）
A． B． C．1 D．

6．（2022·广东深圳·高二期末）若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

7．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

8．（2022·安徽·高二开学考试）若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是(       )
A． B．
C． D．

9．（2022·江苏·高二）在平面直角坐标系中，， ，动点满足，的轨迹方程为____，的轨迹与圆有公共点，则实数的取值范围是____．

10．（2022·江苏·高二）设P为曲线上动点，Q为曲线上动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记作.若，，则___________.

11．（2022·江苏·高二）已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆外切，求实数m的值;
(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.

12．（2022·全国·高二课时练习）求以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程．

题型七：公共弦与切点弦问题
1．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．

2．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知圆：和圆：，则（       ）
A．公共弦长为 B．公共弦长为
C．公切线长 D．公切线长

3．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（       ）
A． B． C． D．

4．（2022·全国·高二课时练习）若从坐标原点O向圆作两条切线，切点分别为A，B，则线段的长为（       ）
A． B．3 C． D．

5．（2022·江苏·高二）已知圆与圆相交于A，B两点，则______.

6．（2022·全国·高二期末）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.

7．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为___________.

8．（2022·全国·高二课时练习）已知两圆和.圆和公共弦方程为___________；圆和公共弦的长度为___________.

9．（2022·江苏·高二）已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．

10．（2022·江苏·高二）已知圆和圆，若点(，)在两圆的公共弦上，求的最小值．

11．（2022·江苏·高二）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．

12．（2022·江苏·高二）圆的方程为，圆的圆心，若圆与圆交于A、B两点且，求圆的方程.

13．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二期末）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.
(1)求圆C的方程；
(2)当时，求线段AB的长；
(3)当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.

题型八：公切线问题
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

2．（2022·江苏·高二）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（       ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条

3．（2022·江苏·高二）两圆与的公切线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

4．（2022·安徽省宣城中学高二开学考试）圆与圆的公切线条数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

5．（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（       ）
A． B．
C． D．

6．（2019·河北·高二学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（       ）
A． B． C． D．

（多选题）7．（2022·全国·高二课时练习）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ）

A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．与的公切线的方程为
C．所在圆与 所在圆的公共弦所在直线的方程为 D．所在的圆截直线所得弦的长为

8．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））圆和圆的公切线的条数为______．

9．（2022·江苏·高二）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

10．（2021·全国·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．

题型九：圆中范围与最值问题
1．（2022·江苏·高二）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（     ）
A． B．2 C．4 D．

2．（2022·广西梧州·高二期中（理））已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．3

3．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（       ）
A．-1 B． C．+1 D．6

4．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））直线与圆 交于两点，则弦长的最小值为（     ）
A．1 B．2 C． D．2

5．（2022·江苏·南京市第十三中学高二开学考试）若是直线上的动点，PA、PB与圆相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（       ）
A． B． C．7 D．8

6．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二开学考试）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

7．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（       ）
A．最大值为2＋，最小值为—2－
B．最大值为2＋，最小值为2－
C．最大值为－2＋，最小值为－2－
D．最大值为—2＋，最小值为2－

8．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线与圆交于､两点，点在圆上，则面积的最大值为（       ）
A． B． C． D．

9．（2022·山东德州·高二期末）已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（       ）．
A．3 B．4 C．5 D．6

10．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，则圆C的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．

11．（2022·湖南郴州·高二期末）已知圆与圆相交于A､B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（       ）
A． B． C． D．

12．（2022·湖北襄阳·高二期末）已知x，y是实数，且，则的最大值是（       ）
A． B． C． D．

13．（2022·四川内江·高二期末（文））几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（       ）

A．
B．
C．或
D．或

14．（2022·江苏南通·高二开学考试）圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（       ）
A． B． C． D．

15．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知圆，若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A，B，且，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期末（理））已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（       ）．
A． B．
C． D．

17．（2022·四川资阳·高二期末（理））已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

18．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．