【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第01讲《探索勾股定理》预习讲学案

第01讲 探索勾股定理

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

【基础知识】

一．勾股定理的证明

（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．

（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

二．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

【考点剖析】

一．勾股定理的证明（共4小题）

1．（2021秋•蓬江区月考）请用两种方法证明：△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2＝c2

2．（2021秋•榆阳区校级月考）图中大正方形是由4个全等直角三角形和一个小正方形拼成的，其中每个直角三角形两直角边为a，b，斜边为c，你能通过此图验证得到勾股定理吗？请说说你的理由．

3．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按图4，图5所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2+b2＝c2．

4．如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．

二．勾股定理（共4小题）

5．（2022春•岳麓区校级期中）如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4．

（1）求OC的长；

（2）求BD的长．

6．（2021秋•礼泉县期末）如图，在△ABC中，D为AB的中点，且DC⊥BC，DE⊥DC交AC于点E，DE＝，CE＝2，求AB的长．

7．（2022春•红花岗区校级月考）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．

求BC的长．

8．（2022春•长沙期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．

【过关检测】

一．选择题（共5小题）

1．（2022春•渝北区期中）直角三角形的两条直角边长分别为9和12，则该直角三角形的斜边长为（　　）

A．13 B．14 C． D．15

2．（2022春•孟村县期中）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知b＝8，c＝10，则a的值为（　　）

A．2 B．6 C．5 D．36

3．（2022春•晋安区期中）若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的斜边长是（　　）

A．5 B． C．3或 D．5或

4．（2022春•西华县期中）如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

二．填空题（共6小题）

6．（2021秋•周村区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”，若AB＝15，AF＝12，则小正方形EFGH的面积为 　   　

7．（2022春•台江区期中）在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝，则AB2+BC2+AC2＝　   　．

8．（2022春•长垣市期中）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为 　   　．

9．（2021秋•凌海市期中）1876年美国总统加菲尔德利用图验证了一个十分著名的定理，这个定理称为 　   　，该定理的结论其数学表达式为 　   　．

10．（2022春•新邵县期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为 　   　．

11．（2022春•宁津县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为 　   　．

三．解答题（共7小题）

12．（2021•武陵区校级开学）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．

（1）求DC的长；

（2）求AB的长；

（3）求∠ACB的度数．

13．（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．

14．（2022春•大连月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．

15．（2021秋•伊川县期末）如图所示是用硬纸板做成的四个完全相同的直角三角形和一个边长为c的正方形，直角三角形两条直角边的长分别是a，b，斜边的长为c，请你将它们拼成一个能推导勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图；

（2）推导勾股定理．

16．（2022春•夏邑县期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝+，BC＝﹣，求：

（1）Rt△ABC的面积；

（2）求斜边AB上的高．

17．（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．

【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．

求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．

18．（2022春•广州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求斜边AB上的高；

（2）①当点P在BC上时，PC＝　   　；（用含t的代数式表示）

②若点P在∠BAC的角平分线上，求t的值．