【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第08讲《二次根式的运算》预习讲学案

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第08讲 二次根式的运算
【学习目标】
1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；
2、理解并掌握同类二次根式的概念。
3、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
4、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【基础知识】
一．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
二．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
三．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
四．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
五．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
六．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【考点剖析】
一．二次根式的乘除法（共4小题）
1．（2022春•科左中旗月考）计算：×．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝＝2，
【点评】本题考查二次根式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
2．（2022春•科左中旗月考）计算：÷．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
3．（2021秋•顺义区期末）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2021春•静安区期中）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣÷2×
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
二．分母有理化（共3小题）
5．（2021•九龙坡区校级开学）已知x＝，y＝．
（1）求代数式2x2+2y2﹣xy的值；
（2）求代数式﹣xy的值．
【分析】（1）先将原式化为2x2+4xy+2y2﹣5xy，然后求出x+y与xy的值，最后代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2x2+4xy+2y2﹣5xy
＝2（x+y）2﹣5xy，
当x＝，y＝时，
∴x+y＝2﹣+2+＝4，
xy＝＝1，
∴原式＝2×42﹣5×1
＝2×16﹣5
＝27．
（2）x＝＝2﹣＜1，
原式＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣1
＝+1﹣1
＝．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
6．（2021秋•宝山区校级月考）已知x＝，求的值．
【分析】将x分母有理化化简后，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵x＝＝3﹣2，
∴＝3+2，
则原式＝＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2021春•蒙阴县期中）观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1；第2个等式：a2＝＝﹣；
第3个等式：a3＝＝2﹣；第4个等式：a4＝＝﹣2；
…
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an＝　﹣　；
（2）求a1+a2+a3+…+an的值．
【分析】（1）原式仿照阅读材料中的方法：结果与分母只差一个符号，根据此规律求出值即可；
（2）分别将阅读材料中结果依次代入，互为相反数为0，化简即可．
【解答】解：（1）an＝＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）a1+a2+a3+…+an，
＝﹣1+﹣+…+﹣，
＝﹣1．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
三．同类二次根式（共3小题）
8．（2021春•三门峡期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，求（a+b）a的值．
【分析】根据同类二次根式的定义进行计算即可．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
9．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：
，﹣，，，﹣7．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：＝，﹣＝﹣3，＝2，＝，﹣7＝﹣35，
∴、﹣、﹣7是同类二次根式，
、是同类二次根式．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
10．若最简二次根式与是同类二次根式．求m2+n2的值．
【分析】因为两个根式都是最简二次根式且是同类二次根式，可得出两者的被开方数相同，从而列出方程可求出m，n的值．
【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得
．
解得．
m2+n2＝8+3＝11．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，属于基础题，注意掌握同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
四．二次根式的加减法（共4小题）
11．（2022春•松江区校级期中）计算：2﹣+﹣．
【分析】首先合并同类二次根式，然后利用分数的加减法则计算括号里面即可求解．
【解答】解：原式＝（2﹣+﹣）
＝
＝2．
【点评】本题主要考查了同类二次根式的合并，同时利用了乘法的分配律．
12．（2022春•西城区校级期中）．
【分析】首先化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣3+
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
13．（2022春•静安区期中）．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣+）
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的加减运算法则是解题关键．
14．（2022春•丰台区校级期中）计算：+﹣﹣．
【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣3﹣
＝﹣+．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型．
五．二次根式的混合运算（共3小题）
15．（2022春•东莞市校级期中）计算：÷﹣×+﹣|2﹣|．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣+2﹣（﹣2）
＝2﹣+2﹣+2
＝4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
16．（2022春•松江区校级期中）计算：÷﹣（﹣）2．
【分析】根据二次根式的乘除运算、完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝×﹣（3﹣2+5）
＝1﹣（8﹣2）
＝1﹣8+2
＝2﹣7．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．（2022春•海淀区校级期中）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的乘法运算法则化简，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝6﹣+﹣
＝6﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
六．二次根式的化简求值（共3小题）
18．（2022春•大连月考）已知x＝﹣1，求代数式（3+2）x2+（+1）x+的值．
【分析】直接将x代入所求式子求解即可．
【解答】解：∵x＝﹣1，
∴（3+2）x2+（+1）x+
＝（3+2）（﹣1）2+（+1）（﹣1）+
＝（3+2）（3﹣2）+2﹣1+
＝9﹣8+1+
＝2+，
∴代数式（3+2）x2+（+1）x+的值为2+．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则．
19．（2021秋•洛江区期末）先化简，再求值：a（﹣a）+（a+）（a﹣），其中a＝﹣1．
【分析】先算乘法，再合并同类二次根式，最后求出答案即可．
【解答】解：原式＝
＝a﹣3，
当a＝﹣1时，
原式＝（﹣1）﹣3
＝2﹣﹣3
＝﹣1﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和求值，能正确根据二次根式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（2022春•汉阳区校级月考）化简并求值：+x﹣4y﹣，其中x＝1，y＝2．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式，把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝5+x×﹣4y×﹣×y
＝5+﹣4﹣
＝，
当x＝1，y＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022春•东莞市期中）计算的结果为（　　）
A． B． C．2 D．4a
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：＝＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键．
2．（2021秋•思明区校级期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+）y的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分x＝2，
则小数部分是：6﹣﹣2＝4﹣，
则（2x+）y＝（4+）（4﹣）
＝16﹣13＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的运算，正确确定6﹣的整数部分x与小数部分y的值是关键．
3．（2022春•淄川区期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义，进而分析得出答案．
【解答】解：A.＝，故此选项不合题意；
B.＝，故此选项不合题意；
C.＝，故此选项不合题意；
D.是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
4．（2022春•周村区期中）下列各式中，与是同类二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝＝2，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、＝＝2，与是同类二次根式，符合题意；
C、＝，与不是同类二次根式，不符合题意；
D、＝＝，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是同类二次根式，二次根式的性质，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
5．（2022春•秭归县期中）下列运算正确的是（　　）
A．+3＝3 B．4﹣＝4 C．+＝ D．3﹣＝2
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则，分别判断得出答案．
【解答】解：A．+3无法合并，故此选项不合题意；
B．4﹣＝3，故此选项不合题意；
C．+无法合并，故此选项不合题意；
D．3﹣＝2，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2022春•高密市期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A.+不能合并为一项，故此选项不合题意；
B.4﹣＝3，故此选项不合题意；
C.×＝，故此选项符合题意；
D.÷＝，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二．填空题（共8小题）
7．（2022春•滑县校级月考）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝　1　．
【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得a+1＝2，解出a的值即可．
【解答】解：＝2，
根据题意得：a+1＝2，
解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查同类二次根式这个知识点，清楚同类二次根式的概念，即可解决该类试题．
8．（2022春•江源区期中）化简＝　5　．
【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质求出即可．
【解答】解：
＝×
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次根式的乘法和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
9．（2022春•沂南县期中）计算：×（﹣）＝　﹣3　．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
10．（2022春•福清市校级月考）2÷×＝　　
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2××
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
11．（2021秋•滦州市期末）若a＝3﹣，b＝，则a　＝　b（用“＜”，“＞”或“＝”填空）．
【分析】直接利用二次根式的性质，将b分母有理化，进而得出答案．
【解答】解：∵a＝3﹣，b＝＝＝3﹣，
∴a＝b．
故答案为：＝．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
12．（2022•阿城区一模）计算：＝　　．
【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣3
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型．
13．（2022•津南区一模）计算的结果等于 　19　．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣（）2
＝22﹣3
＝19．
故答案为：19．
【点评】本题考查平方公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14．（2022•江北区开学）已知，则的值为 　2．　．
【分析】先求出m+n＝6，mn＝（3+）（3﹣）＝4，再将原式化为，代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴m+n＝6，mn＝（3+）（3﹣）＝4，
∴＝
＝
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练运用二次根式运算法则是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
15．（2021秋•长春期末）先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），其中x＝，y＝．
【分析】根据整式的加减法则进行化简，再把值代入化简后的整式计算即可求解．
【解答】解：原式＝6x2+2xy﹣8y2﹣6xy+8y2﹣6x2
＝（6x2﹣6x2）+（2xy﹣6xy）+（﹣8y2+8y2）
＝﹣4xy．
当x＝，y＝时，
原式＝﹣4××
＝﹣8．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值、二次根式乘法，解决本题的关键是数值要代入化简后的整式．
16．分别求出满足下列条件的字母a的取值：
（1）若最简二次根式与﹣是同类二次根式；
（2）若二次根式与﹣是同类二次根式．
【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；
（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．
【解答】解：（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式，
∴3a＝2，
解得a＝．
（2）∵二次根式与﹣是同类二次根式，
∴3a＝2n2，
解得a＝．
【点评】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
17．（2022春•丰台区期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算．
（2）利用平方差公式计算．
（3）先化简二次根式，并利用绝对值的定义去掉绝对值符号，再合并计算．
（4）利用二次根式的乘法和除法运算法则计算．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝．
（2）
＝
＝5﹣3
＝2．
（3）
＝
＝
＝2．
（4）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查实数的混合运算，涉及到二次根式的性质及相关运算、去绝对值运算、平方差公式的运用等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
18．（2022春•黄冈期中）已知等式＝成立，化简|x﹣6|+的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再将x代入化简即可求值．
【解答】解：由题意得，，
∴3＜x≤5，
∴|x﹣6|+
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键．
19．（2021春•麻城市期中）计算：﹣（）2+（π﹣2）0﹣+||．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣2+2﹣
＝﹣2+1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（2021秋•盐田区校级期末）计算：﹣6．
【分析】直接利用平方根以及立方根的定义化简进而得出答案，需注意可转化为．
【解答】解：原式＝+﹣6﹣
＝3+3﹣3﹣8
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
21．（2022春•海淀区校级期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求xy（x+y）的值．
【分析】先求出x+y＝2，xy＝2，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，xy＝2，
∴xy（x+y）
＝2×2
＝4，
答：xy（x+y）的值是4．
【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是整体思想的应用．