【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第14讲《勾股定理全章复习与测试》预习讲学案

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第14讲 勾股定理全章复习与测试
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
4. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
5. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
6. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
7.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间最短距离。
8.能够运用勾股定理解决生活中实际问题。
9.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
10.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
重点：学会运用勾股定理求立体图形中两点之间最短距离；体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
难点：能够运用勾股定理解决生活中实际问题；利用轴对称解决简单的最短路径问题．
【基础知识】
一．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
二．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
三．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
四．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
五．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
六．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
【考点剖析】
一．勾股定理（共5小题）
1．（2022春•江源区期中）等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为（　　）
A．24 B．7 C．6 D．5
【分析】根据题意画出图形，先用等腰三角形的性质求出BD，再用勾股定理求解即可．
【解答】解：根据题意画出如图所示，

根据题意得，AB＝AC＝25，BC＝14，AD⊥BC．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝7，
在Rt△ADB中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
∴AD＝＝＝24，
即：底边上的高为24，
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是作出图形．
2．（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，
∴DE＝CD＝1.5，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
BE＝＝＝2，
∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE，
设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，
由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，
即（x+2）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴AC＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并运用勾股定理列方程求解是解题的关键．
3．（2022春•玉山县期中）在Rt△ABC中，两条直角边AB，BC的长c，a满足|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0．
（1）求AC的长．
（2）求Rt△ABC的面积．
【分析】（1）先根据绝对值和平方的非负性求出c和a，再根据勾股定理即可求出答案；
（2）直接利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）∵|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0，
∴|4﹣c|+（a﹣5）2＝0，
∴a＝5，c＝4，
∴AC＝；
（2）△ABC的面积＝＝10．
【点评】本题考查了非负数的性质和勾股定理，属于基础题，解题的关键是求出a和c的值．
4．（2022春•蜀山区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．


【分析】（1）连接PB，根据勾股定理得到即可得到结论．
（2）过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可．
【解答】解：（1）连接PB，
∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm），
∵CP2+BC2＝PB2，
∵PA＝PB＝2tcm，
∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，
∴t＝；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝12时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上．

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．
5．（2022春•景县期中）如图，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，CE＝1，DE＝2，AE＝4．
（1）求AD的长；
（2）求证：AD垂直平分线段BC．

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角，根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
【解答】（1）解：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
∴AD＝2；
（2）证明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
同理：CD2＝5，
∴AD2+CD2＝25，
∵AC＝AE+CE＝4+1＝5，
∴AC2＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
∵AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC，
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．
二．勾股定理的证明（共3小题）
6．（2021秋•方城县期末）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则可求出答案．
【解答】解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，
∴a+b＝5．
∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，
∴b＝3，a＝2，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2＝a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
7．（2021秋•蓬江区月考）请用两种方法证明：△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2＝c2
【分析】方法一：用四个大小相同的直角三角形拼成正方形，其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b，斜边长为c，通过证明可得中间也是一个正方形，大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+2ab，利用面积相等即可证明；
方法二：两个大小相同的直角三角形，每个直角三角形的直角边长分别为a、b，斜边长为c，连接BE，构造直角梯形BCDE，利用梯形面积公式可得梯形面积为ab+（a2+b2），也可表示为ab+c2，利用面积相等即可证明．
【解答】证明：方法一：
如图，用四个大小相同的直角三角形拼成正方形，每个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，

∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝a+b，
∴四边形ABCD为正方形，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE＝∠DEH，
∴∠DEH+∠AEF＝90°，
∴∠FEH＝90°，
同理可得：
∠EFG＝∠FGH＝∠EHG＝90°，
∵EF＝FG＝GH＝EH＝c，
∴四边形EFGH为正方形，
∴S▱ABCD＝AB2＝（a+b）2，S▱ABCD＝S▱EFGH+4S△AEF＝c2+4×ab＝c2+2ab，
∴（a+b）2＝c2+2ab，
∴a2+b2+2ab＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2；
方法二：
如图，放置两个大小相同的直角三角形，每个直角三角形的直角边长分别为a、b，斜边长为c，连接BE，构造直角梯形BCDE，

∵∠C＝∠D＝90°，
∴梯形BCDE为直角梯形，
∴S梯形BCDE＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），
∵∠BAC＝∠AED，∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴S梯形BCDE＝S△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，
∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般采用拼图的方法，然后再利用面积相等证明．
8．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立．
【解答】证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形．
三．勾股定理的逆定理（共3小题）
9．（2022春•龙岩期中）在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝5，c＝5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵62+82＝102，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵52+52＝（5）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵32+42＝52，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵42+25≠62，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题题意，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
10．（2022春•武昌区期中）如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由；
（2）求∠A+∠C的度数．

【分析】（1）连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D＝90°；
（2）根据四边形内角和为360°求出∠BAD+∠BCD＝180°．
【解答】解：（1）∠D是直角，理由见解答：
连接AC．
∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，
∴由勾股定理，得AC2＝202+152＝625．
又∵CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°；
（2）∠BAD+∠BCD＝360°﹣180°＝180°．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及四边形内角和定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
11．（2022春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝4，CD＝2，求∠BAD的度数．

【分析】连接AC，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC＝∠BCA＝45°，AC＝2，然后再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，

∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
AC＝＝＝2，
∵AD＝4，CD＝2，
∴AD2+AC2＝42+（2）2＝24，CD2＝（2）2＝24，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠BAD的度数为135°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
四．勾股数（共2小题）
12．（2022春•阳谷县期中）在下列各数中，不是勾股数的是（　　）
A．5，12，13 B．9，40，41 C．8，15，17 D．8.12.15
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A．52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B．92+402＝412，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
C．82+152＝172，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
D．82+122≠152，不是勾股数，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
13．（2020•鼓楼区一模）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
　15　
8
　17　
勾股数组Ⅱ
35
　12　
　37　

【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
故答案为：15，17；12，37．
【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
五．勾股定理的应用（共2小题）
14．（2022春•江城区期中）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝40米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．

【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）根据面积相等即可求出点B到直线AC的距离．
【解答】解：（1）在Rt△ABC，AB＝＝40（米），
∴两棵景观树之间的距离为40米；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，

∵S△ABC＝，
∴，
∴BD＝24（米），
∴点B到直线AC的距离为24米．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．
15．（2022春•彭州市校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．
【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，
∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，
∴600×800＝1000CD，
∴CD＝480，
∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响；
（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，
在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），
∴EF＝280m，
∵飞机的速度为10m/s，
∴280÷10＝28（秒），
∵28秒＞13秒，
∴着火点C能被扑灭，
答：着火点C能被扑灭．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
六．平面展开-最短路径问题（共2小题）
16．（2022春•连城县期中）如图，矩形ABCD为圆柱体的横截面，BC是上底的直径，其中AB为4cm，底面圆周长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　）

A．4 B．4 C．4 D．
【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：底面周长为16cm，半圆弧长为8cm，
画展开图形如下：

由题意得：BC＝8cm，AB＝4cm，
根据勾股定理得：AC＝＝＝4（cm）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．
17．（2021秋•峡江县期末）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．

【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．
∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝50cm，BD＝120cm，
∴在直角△A′DB中，A′B＝＝＝130（cm）．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021春•饶平县校级期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．
【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键．
2．（3分）（2020春•南岗区校级期中）一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（　　）
A．440m B．460m C．480m D．500m
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m，
答：该河流的宽度为480m．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．
3．（3分）一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司距离为（　　）米．
A．100 B．500 C．1240 D．1000
【分析】由于东西方向与南北方向互相垂直，两段路程与家离公司距离形成直角三角形，根据勾股定理可以求得家离公司距离．
【解答】由题意知，该职工下班后向东走了5.6×50米，向南走了19.2×50米，
∵东西方向与南北方向互相垂直，
∴该职工家离公司的距离为＝＝1000米．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解本题的关键是找出题目中隐藏的直角三角形，并且在直角三角形中根据勾股定理解决问题．
4．（3分）（2019秋•招远市期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）

A．1 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
5．（3分）（2019秋•沙河市期末）历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）

A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【解答】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
6．（3分）（2014春•株洲期中）在△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝15cm，则S△ABC等于（　　）
A．108cm2 B．54cm2 C．180cm2 D．90cm2
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵122+92＝225＝152，即AB2+AC2＝225＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝×12×9＝54cm2．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
7．（3分）已知a，b，c分别为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 D．∠C＝∠A+∠B
【分析】根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形，根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形．
【解答】解：A、∵b2﹣c2＝a2，
∴b2＝c2+a2，
∴△ABC为直角三角形．
B、∵a：b：c＝3：4：5，
∴32+42＝52，
∴△ABC为直角三角形．
C、∵∠A：∠B：∠C＝9：12：15，
∴∠C＝×180°＝75°，
故不能判定△ABC为直角三角形．
D、∵∠C＝∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理的应用以及三角形内角和定理，正确利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义是解题的关键．
8．（3分）（2019秋•淅川县期末）如图△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AD＝8，则DC的长是（　　）

A．8 B．9 C．6 D．15
【分析】根据勾股定理分在△ABD中求出BD，再根据线段的和差关系求解即可．
【解答】解：在△ABD中，∠D＝90°，AB＝17，AD＝8，
∴BD＝＝＝15，
∴DC＝BD﹣CB＝15﹣9＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键．
9．（3分）（2020秋•杏花岭区校级月考）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
10．（3分）如图所示，有一块长方形场地ABCD，长AB＝20m、宽AD＝10m，中间有一堵墙，高MN＝2m，一只蚂蚁要从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　）

A．20m B．24m C．25m D．26m
【分析】如图所示，将图展开，图形长度增加2个MN的长度，即原图长度增加4米，则AB＝24米，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长度为26米即可．
【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2个MN的长度，

即原图长度增加4米，
∴AB＝20+4＝24（米），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24米，宽AD＝10米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝26（米），
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26米的路程．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，明确将图展开，图形长度增加2个MN的长度，即原图长度增加4米，是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 　5cm　．

【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+4）2+12＝37；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（1+4）2+22＝29；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+42＝25．
所以最短路径的长为AB＝＝5cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15cm，则a＝　9　cm．
【分析】设a＝3x，则b＝4x，根据勾股定理即可列方程求得x的值，进而求得a的值．
【解答】解：设a＝3x，则b＝4x．
∵Rt△ABC中，a2+b2＝c2，
∴（3x）2+（4x）2＝152，
解得：x＝±3（负值舍去），
则a＝3x＝9（cm）．
故答案为：9．
【点评】本题综合考查了勾股定理与一元二次方程，正确求得方程的解是解决本题的关键．
13．（3分）如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 　10　．

【分析】根据正方形性质得出AB＝CB，∠ABC＝90°，求出∠MAB＝∠NBC，证明△AMB≌△BNC（AAS），求出BM＝CN＝3，在Rt△AMB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝180°﹣90°＝90°，∠ABM+∠MAB＝90°，
∴∠MAB＝∠CBN，
在△AMB和△BNC中，
，
∴△AMB≌△BNC（AAS），
∴BM＝CN＝3，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积是10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解题的关键是由全等三角形的性质求出BM＝CN．
14．（3分）（2007春•射洪县校级期末）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是　a2+b2＝c2　．

【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
【解答】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．

【点评】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
15．（3分）（2021秋•凤翔县期中）一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 　3　cm．

【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
16．（3分）（2015•江西校级模拟）小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是　170　m．
【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．
【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，
∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为＝170（米）．
故答案为：170．
【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．
17．（3分）（2013•睢宁县校级模拟）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长 　9　．

【分析】由四边形ABCD是长方形，可得∠B＝90°，AB＝CD，由折叠的性质可得：EF＝AE＝5，然后由勾股定理求得BE的长，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝90°，AB＝CD，
由折叠的性质可得：EF＝AE＝5，
在Rt△BEF中，BE＝＝＝4，
∴CD＝AB＝AE+BE＝5+4＝9．
故答案为：9．
【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
18．（3分）（2017•长春）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为 　10　．

【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣BF＝6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．
故答案是：10．
【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）如图所示，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4m吗？

【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的长度，用其减去BC的长度即可得出结论．
【解答】解：在Rt△AOB中，∵AB＝25m，OB＝7m，OA2＝AB2﹣OB2，
∴OA＝＝＝24（ m），
∵AA′＝4m，
∴OA′＝OA﹣AA′＝20m；
在Rt△A′OB′中，∵OB′2＝A′B′2﹣OA′2，
∴OB′＝＝15（ m），
∴BB′＝OB′﹣OB＝8（m）．
故这个梯子的顶端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑动了4m，而是滑动了8m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．（6分）如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3．求证：
（1）△BEC为等边三角形；
（2）ED⊥CD．

【分析】（1）在Rt△ABE中，求得AE＝2，BE2＝12，从而有BE＝BC，即可得出△BEC为等边三角形；
（2）求得DE2+CD2＝12＝EC2，所以△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，即可解决问题．
【解答】证明：（1）在Rt△ABE中，
∵∠A＝60°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝30°．
∵AB＝4，
∴AE＝AB＝2，BE2＝AB2﹣AE2＝12．
又∵BC2＝12，
∴BE＝BC．
又∵∠CBE＝60°，
∴△BEC为等边三角形．
（2）∵△BEC为等边三角形，
∴EC2＝BC2＝12．
又∵DE2＝9，CD2＝3，
∴DE2+CD2＝12＝EC2，
∴△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，
∴ED⊥CD．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和其逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．（6分）阅读理解：
我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：
（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；
（2）在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设出三个连续的偶数，利用勾股定理列方程求解即可；
（2）设出三个连续的正整数，利用勾股定理求解，检验即可．
【解答】解：（1）设中间的偶数为m，则较大的偶数为m+2，较小的偶数为m﹣2，由勾股定理得，
（m﹣2）2+m2＝（m+2）2，
解得m＝8，m＝0（舍去）
所以这三个连续偶数为6，8，10，
因此存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10；
（2）不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．
设这三个正整数分别为n﹣1、n、n+1，
由勾股定理得，
（n﹣1）2+n2＝（n+1）2，
解得n＝4，n＝0（舍去）．
所以三个连续正整数是3，4，5，
所以除了3、4、5以外，不存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．
【点评】本题考查勾股定理，理解“勾股数”的意义是得出正确答案的前提．
22．（6分）（2017春•岱岳区期中）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20，求四边形ABCD的面积．

【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
【解答】解：连接AC，
在△ADC中，
∵∠D＝90°，AD＝12，CD＝9，
∴AC＝＝15，
S△ABC＝AD•CD＝×12×9＝54，
在△ABC中，
∵AC＝15，AB＝25，BC＝20，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴S△ACB＝AC•BC＝×15×20＝150．
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝150+54＝204．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
23．（6分）（2014春•霸州市期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

【分析】先由勾股定理求AB＝10．再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．
【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，
现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，
∴BE＝10﹣6＝4，
设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
即CD的长为3cm．
【点评】此题不但考查了勾股定理，还考查了学生折叠的知识，折叠中学生一定要弄清其中的等量关系．
24．（6分）（2021春•庄浪县期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．

【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】解：连接AC，
∵CD⊥AD
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝30﹣6＝24m2．

【点评】本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
25．（10分）（2017秋•盱眙县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．

【分析】（1）根据勾股定理AB＝，代入计算即可；
（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴AB＝，
∵BC＝15，AC＝20，
∴AB＝＝＝25，
∴AB的长是25；
（2）∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴20×15＝25CD，
∴CD＝12，
∴CD的长是12．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键．