【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第15讲《实数全章复习与测试》预习讲学案

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第15讲 实数全章复习与测试【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.6、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.7、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【基础知识】一、平方根和立方根        类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论二、实数有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；         ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数          大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．四、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；
（2）；
（3）.要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.五、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【考点剖析】一．平方根（共2小题）1．（2022春•岑溪市期中）若一个正数m的两个平方根分别是3a+2和a﹣10，则m的值为 　   　．2．（2022春•易县期中）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7，则a＝　   　，正数x＝　   　．二．算术平方根（共1小题）3．（2022春•范县期中）实数的算术平方根是（　　）A．±3 B． C．± D．3三．非负数的性质：算术平方根（共2小题）4．（2022春•仙居县期中）﹣2的最小值是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．25．（2022•昭阳区一模）已知实数a、b，满足，则ab的值 　   　．四．立方根（共2小题）6．（2022•石家庄二模）下列运算中，正确的是（　　）A．＝±3 B．（﹣2）0＝0 C．2﹣1＝﹣2 D．＝﹣27．（2022春•平邑县期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的算术平方根．   五．计算器—数的开方（共1小题）8．（2021秋•通川区校级期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：………0.250.79062.57.9062579.06250…根据以上规律，若，＝4.11，则　   　．六．无理数（共2小题）9．（2022•道里区二模）下列选项中的数，是无理数的为（　　）A．0 B． C．3.14 D．π10．（2022•兰山区一模）在实数﹣2，π，﹣，3.14，无理数有　   　个．七．实数（共1小题）11．（2022•宁远县模拟）在实数，，，中有理数有 　   　个．八．实数的性质（共2小题）12．（2022春•江源区期中）已知a是﹣，b的立方根为﹣2，则a+b的倒数为 　   　．13．（2022春•思明区校级期中）（1）4的平方根是 　   　；（2）25的算术平方根是 　   　；（3）﹣8的立方根是 　   　；（4）的相反数是 　   　．九．实数与数轴（共1小题）14．（2022春•长沙期中）如图，一条长度为的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数轴重合时，A点表示的数为 　   　． 一十．实数大小比较（共2小题）15．（2022春•德州期中）的算术平方根为 　   　；比较大小：　   　6（用“＞”，“＜”或“＝”连接）．16．（2022•碑林区校级模拟）比较大小：﹣　   　﹣3（填“＞”、“＜”或“＝”号）．一十一．估算无理数的大小（共2小题）17．（2022春•江油市期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 　   　．18．（2022春•单县期中）大于﹣小于的整数有 　   　个．一十二．实数的运算（共1小题）19．（2022春•平邑县期中）计算：（1）﹣﹣；           （2）﹣+|1﹣|；   （3）﹣+|π﹣3|．   一十三．二次根式的定义（共1小题）20．（2022春•西华县期中）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝　   　；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．     一十四．二次根式有意义的条件（共1小题）21．（2022春•高密市期中）已知．求﹣x﹣3y的立方根．   一十五．二次根式的性质与化简（共1小题）22．（2022春•西华县期中）计算：＝　   　，＝　   　，＝　   　，＝　   　，＝　   　，＝　   　．（1）根据你计算的结果回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗，请用自己的语言表述出来．（2）利用你总结的规律，结合图示计算+的值．   一十六．最简二次根式（共1小题）23．（2012秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）；              （2）．  一十七．二次根式的乘除法（共1小题）24．（2022春•南宁期中）计算：．    一十八．分母有理化（共1小题）25．（2022春•杨浦区校级期中）计算：÷×÷．   一十九．同类二次根式（共1小题）26．（2022春•怀远县期中）已知二次根式﹣．（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；（2）已知﹣为最简二次根式，且与为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．   二十．二次根式的加减法（共1小题）27．（2022春•松江区校级期中）计算：2﹣+﹣．   二十一．二次根式的混合运算（共1小题）28．（2022春•仙居县期中）计算：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0；               （2）．  二十二．二次根式的化简求值（共1小题）29．（2022春•陇县期中）已知x＝1﹣，求代数式（6+2）x2+（1）x﹣的值．  【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）4的算术平方根是（　　）A． B．±2 C．2 D．±2．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b3．（3分）实数的平方根为（　　）A．a B．±a C．± D．±4．（3分）的平方根是（　　）A．±3 B．3 C．±9 D．95．（3分）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣56．（3分）a2的算术平方根一定是（　　）A．a B．|a| C． D．﹣a7．（3分）下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（　　）A．①② B．③④ C．②④ D．①③8．（3分）的算术平方根是（　　）A． B． C．±2 D．29．（3分）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或110．（3分）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（　　）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）的算术平方根为　   　，﹣27立方根为　   　．12．（3分）已知正数x的两个平方根是2m﹣3和3m﹣17，则m＝　   　．13．（3分）如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是　   　．14．（3分）点A表示﹣，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬一个单位到达点B，则B表示的数为　   　．15．（3分）若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是　   　．16．（3分）如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是　   　．三．解答题（共8小题，满分52分）17．（6分）计算：  18．（6分）已知x+2是27的立方根，y﹣1的算术平方根是4，求13x+3y的平方根．   19．（6分）已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值．（1）x2﹣2xy+y2．（2）（x﹣1）（y﹣1）．        20．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离． 21．（6分）如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，求△ABE的面积和周长．  22．（6分）已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．   23．（8分）设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（海伦公式）；S＝（秦九韶公式）．（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；（2）一个三角形边长依次为、、，利用两个公式分别求这个三角形的面积．  24．（8分）观察下面的式子：S1＝1++，S2＝1++，S3＝1++…Sn＝1++（1）计算：＝　   　，＝　   　；猜想＝　   　（用n的代数式表示）；（2）计算：S＝+++…+（用n的代数式表示）．