【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第01讲《菱形的性质与判定》预习讲学案

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第01讲 菱形的性质与判定
【学习目标】
1. 理解菱形的概念.
2. 掌握菱形的性质定理与判定定理.
3. 了解平行四边形与菱形的概念之间的从属关系.
【基础知识】
一．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
二．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

三．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）
（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
【考点剖析】
一．菱形的性质（共3小题）
1．（2022•济南二模）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
2．（2021秋•白云区期末）一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长．
【分析】先设菱形的一条对角线为xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm，再利用菱形的面积＝对角线乘积的一半，即可列方程，解出得到两条对角线长，再利用菱形的性质和勾股定理即可求得边长，从而得到周长．
【解答】解：如图设菱形的一条对角线为xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm，
x（10﹣x）＝12，
解得x1＝4，x2＝6，
即BD＝4，AC＝6，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝，
所以菱形的周长为4．

【点评】本题主要考查菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是关键．
3．（2020秋•商河县校级期末）菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝4cm．
（1）求BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）利用菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出BO的长，即可得出BD的长；
（2）直接利用菱形对角线乘积的一半等于其面积，进而得出答案．
【解答】解：（1）连接AC，交BD于点O，
∵AE⊥BC于点E，且BE＝CE，
∴AB＝AC，
∵在菱形ABCD中，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABO＝30°，
∵AD＝4，
∴AB＝4，BO＝2，
∴BD＝4；
（2）菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×4＝8．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△ABC是等边三角形是解题关键．
二．菱形的判定（共4小题）
4．（2021春•大兴区期中）已知：如图，点F在△ABC的边AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，AB＝AF．
求证：四边形ABEF是菱形．

【分析】先由已知条件证得四边形ABEF是平行四边形，再由AB＝AF可得▱ABEF是菱形．
【解答】证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴▱ABEF是菱形．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，熟悉菱形的判定定理是解决问题的关键．
5．（2021春•饶平县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．

【分析】由已知条件得出DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，由平行线分线段成比例定理得出OG＝OD，OE＝OF，证出四边形DFGE是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．
【解答】证明：如图所示：
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DG⊥AC，EF⊥BC，
∴DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，
∵AE＝ED＝DB，
∴OG＝OD，OE＝OF，
∴四边形DFGE是平行四边形，
又∵DG⊥EF，
∴四边形DFGE是菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
6．（2019春•天心区校级期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA＝180°，从而得到∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，得到答案∠AOD＝90°；
（2）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∵AE∥BF，
∴∠DAB+∠CBA，＝180°，
∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOD＝90°；
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．
7．（2020秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．

【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
三．菱形的判定与性质（共4小题）
8．（2021春•柳南区校级期末）已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵BO⊥AE，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵BO＝BO，
∴△BOA≌△BOE（ASA），
∴AB＝BE，
∴BE＝AF，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，
∴BE＝＝5，
∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝．


【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．
9．（2021春•天心区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE为菱形；
（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．

【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，BC＝2DE，由已知条件得出EF＝BC，证出四边形BCFE是平行四边形，再由EF＝BE，即可得出结论；（2）作CM⊥DF于M，由菱形的性质得出EF＝CF，证出△CEF是等边三角形，得出CF＝CE＝8，由三角函数求出CM，即可得出四边形BCFE的面积．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴EF∥BC，
∵BE＝2DE，
∴BC＝BE，
∵EF＝BE，
∴EF＝BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE为菱形；
（2）解：作CM⊥DF于M，如图所示：
由（1）得：四边形BCFE为菱形，
∴EF＝CF，
∵∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CF＝CE＝8，
∴CM＝CF•sin60°＝8×＝4，
∴四边形BCFE的面积＝EF•CM＝8×4＝32．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△CEF是等边三角形是解决问题（2）的突破口．
10．（2020秋•陕西期中）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的长．

【分析】（1）首先证明四边形ABDF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
（2）在Rt△AFC中，利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ADF＝∠BAD，
∴AB∥DF，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）解：∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∵BD垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF，
∵DA＝DF＝DC，
∴∠DAF＝∠F，∠DAC＝∠DCA，
∴∠ADC＝180°﹣2∠DAC，∠ADF＝180°﹣2∠DAF，
∵∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠ADF+∠ADC＝360°﹣2（∠DAC+∠DAF）＝180°，
∴C，D，F三点共线，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，
∵FA＝FD，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝CD＝5，
∵∠FAC＝90°，
∴AC＝＝5．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程，属于中考常考题型．
11．（2021春•饶平县校级期末）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．

【分析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；
（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．
【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）∵四边形AEBO是矩形
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝DC．
∴EO＝DC．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共4小题）
1．（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（　　）
①；
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；

A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
2．（2022•播州区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定成立的是（　　）

A．∠BAD＝60° B．AC＝BD C．AB＝BC D．OA＝2OD
【分析】根据菱形的性质进行判断便可．
【解答】解：A．当BD≠AB时，∠BAD≠60°，此选项结论不一定成立；
B．当菱形ABCD不是正方形时，AC≠BD，此选项结论不一定成立；
C．因为菱形的四边相等，所以AB＝BC，此选项结论一定成立；
D．当OA≠BD时，OA≠2OD，此选项结论不一定成立；
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
3．（2022春•新邵县期中）如图，菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，则该菱形的面积为（　　）

A．60 B．80 C．100 D．120
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，然后代入数据即可解答本题．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，
∴该菱形的面积为：＝＝60，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积等于对角线乘积的一半．
4．（2022春•广州期中）在菱形ABCD中，AC是对角线，CD＝CE，连接DE．AC＝16，CD＝10，则DE的长为（　　）

A． B． C．或 D．
【分析】连接BD交AC于K．想办法求出DK，EK，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：连接BD交AC于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AK＝CK＝8，
在Rt△AKD中，DK＝＝＝6，
∵CD＝CE，
∴EK＝CE﹣CK＝10﹣8＝2，
在Rt△DKE中，DE＝＝2．
故选：A．

【点评】本题考查菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共7小题）
5．（2022春•东莞市校级期中）已知菱形的面积为18，一条对角线长为2，另一条对角线为 　6　．
【分析】根据菱形的面积＝对角线乘积的一半，可以计算出另一条对角线的长．
【解答】解：设菱形的另一条对角线的长为x，
∵菱形的面积为18，一条对角线长为2，
∴＝18，
解得x＝6，
即菱形的另一条对角线的长为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积＝对角线乘积的一半．
6．（2022•高州市一模）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝　20°　．

【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题．
【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，
∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BCA＝35°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，
∴∠FAB＝55°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20°．

【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．（2022•甘井子区校级模拟）菱形的两条对角线分别为6和8，则菱形的周长为　20　
【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，
∴OB＝4，OA＝3，
在Rt△ABO中，AB＝＝5＝13，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20，
故答案为20．

【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．
8．（2021秋•潍坊期末）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定平行四边形ABCD为菱形的是 　A、B、C　．
A．AC⊥BD
B．∠ABD＝∠CBD
C．AB＝BC
D．AC＝BD
【分析】由菱形的判定可直接求解．
【解答】解：当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当∠ABD＝∠CBD时，平行四边形ABCD是菱形
故选A、B、C．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
9．（2022春•凉州区期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是　平行四边形　．

【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定．关键是掌握平行四边形的判定方法．
10．（2021秋•陈仓区期中）如图，AD∥BC，AB∥DC，AB＝4，∠ADE＝150°，那么∠A＝　120°　时，四边形ABCD是菱形，且BD＝　4　．

【分析】首先根据菱形的性质及外角的性质求得∠ADB＝∠ABD，从而求得∠A，然后根据特殊角及AB的长即可求得对角线BD的长．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADE＝150°，
∴∠ADB＝30°，
当四边形ABCD是菱形时，AB＝AD，
则∠ADB＝∠ABD＝30°，
此时∠A＝120°，
∵AB＝4，
∴BD＝4，
故答案为：120°，4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的四条边相等且为特殊的平行的四边形，难度不大．
11．（2020•嘉兴）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　AD＝DC（答案不唯一）　，使▱ABCD是菱形．

【分析】根据菱形的定义得出答案即可．
【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当AD＝DC，▱ABCD为菱形；
故答案为：AD＝DC（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．
三．解答题（共6小题）
12．（2022•邢台模拟）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．

【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE＝∠C＝60°，再求出DE＝CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE＝∠CBF，然后求出∠EBF＝60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答；
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，
∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE＝∠C＝60°，
∵AE+CF＝2，
∴CF＝2﹣AE，
又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，
∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和锐角三角函数等知识，解题的关键是了解菱形的性质，难度中等．
13．（2020•延边州二模）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．

【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵菱形ABCD，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
14．（2018秋•宁德期末）利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．（写出已知、求证并加以证明）
已知：
求证：
证明：

【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△DAE≌△DCF，可得AD＝DC，即可得结论．
【解答】解：已知：在▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
求证：▱ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFC＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△DAE≌△DCF（AAS）
∴DA＝DC，
∴▱ABCD是菱形
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练运用菱形的判定是本题的关键．
15．（2018秋•揭西县校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证：
（1）∠E＝∠F；
（2）四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）首先判定四边形BPFD是平行四边形，所以BP∥DF，利用平行线的性质可得∠F＝∠BPE，又因为BE＝BP，可得∠E＝∠F；
（2）利用平行线的性质以及菱形的判定方法进而得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BP∥DF，
∵EF∥BD，
∴四边形BPFD是平行四边形，
∴BP∥DF，
∴∠F＝∠BPE，
∵BE＝BP，
∴∠E＝∠BPE，
∴∠E＝∠F；
（2）∵EF∥BD，
∴∠E＝∠ABD，∠F＝∠ADB
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定等知识，得出四边形BPFD是平行四边形是解题关键．
16．（2020•高明区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作AD∥BC，CD∥AB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．
（1）求证：四边形ACEB是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（2）连接AE，交BC于点O，根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵DC＝CE，
∴AB＝CE，
∵AB∥CD，
∴AB∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴平行四边形ACEB是菱形；
（2）如图，连接AE，交BC于点O，

∵四边形ACEB是菱形，
∴AE⊥BC，
∵AB＝4，BC＝6，
∴OB＝BC＝3，
∴OA＝，
∴AE＝2OA＝2，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形、菱形的判定方法是解决问题的关键．
17．（2020•皇姑区校级模拟）如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB
（1）求证：△DAF≌△BCE；
（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，证出∠DAF＝∠BCE，∠DFA＝∠BEC，由AAS证明△DAF≌△BCE即可；
（2）先证明四边形BEDF是平行四边形，再由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAF＝∠BCE，
∵DF∥EB，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（AAS）；
（2）证明：连接BD，如图所示：
由（1）得：△DAF≌△BCE，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．